曹元志 黃長軍

摘要：在某幾何模型中，總的實際觀測次數(shù)為n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r=n－t，那么可列立r=n－t個獨立條件方程，這種以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。在變形監(jiān)測控制網(wǎng)數(shù)據(jù)處理中，通常可以采用條件平差法對網(wǎng)中的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行平差和點位精度分析，求出最弱點中誤差、最弱邊中誤差、繪制誤差橢圓。其中處理的關(guān)鍵是條件方程式的列立、非線性條件方程式線性化、誤差方程式的求解及未知點精度評定。本文以在益陽市資江三橋布設(shè)的橋梁控制網(wǎng)為例，推導(dǎo)了全部的橋梁控制網(wǎng)解算過程，并得出了結(jié)論。

關(guān)鍵詞：條件平差；法方程；測量平差；線性方程組

DataProcessingandAnalysisofDeformationMonitoring

andControlNetworkBasedonConditionAdjustment

CaoYuanzhiHuangChangjun

HunanCityUniversityInstituteofMunicipalandMappingEngineeringHunanYiyang413000

Abstract：Inacertaingeometricmodel，thetotalactualnumberofobservationsisn，andthenecessarynumberofobservationsist，sothenumberofobservationsrisredundant.Thenanindependentconditionalequationr=ntcanbelisted.Thisadjustmentmethodbasedonconditionalequationasafunctionmodeliscalledconditionaladjustmentmethod.Inthedataprocessingofdeformationmonitoringandcontrolnetwork，itisusuallypossibletousetheconditionadjustmentmethodtoanalyzetheadjustmentandpointpositionaccuracyoftheobserveddatainthenetwork，tofindouttheerroroftheweakestpoint，theerroroftheweakestedge，anddrawtheerrorellipse.Thekeytodealwiththeseproblemsaretheformulationofconditionalequations，linearizationofnonlinearconditionalequations，solvingoferrorequationsandevaluatingtheaccuracyofunknownpoints.TakingthebridgecontrolnetworkinZijiangBridgeNo.3ofYiyangCityasanexample，thispaperdeducesalltheprocessofsolvingthebridgecontrolnetworkanddrawsaconclusion.

Keywords：Adjustmentofconditions；Normalequation；Adjustmentofmeasurement；Systemoflinearequations

在現(xiàn)代橋梁控制網(wǎng)布設(shè)中，通常布設(shè)成GPS網(wǎng)或邊角網(wǎng)［1］。布設(shè)為GPS網(wǎng)的優(yōu)點是不受地形和通視條件的限制，布設(shè)為邊角網(wǎng)的優(yōu)點是既觀測角度又觀測距離，精度相對較高［2］。本課題結(jié)合邊角網(wǎng)的布設(shè)優(yōu)點對益陽市資江三橋進(jìn)行控制測量。2021年以來，益陽市資江三橋由于車流量較大，投入使用時間較長，在運營過程中出現(xiàn)了橋墩傾斜下沉、橋面平整度發(fā)生變化的情況。為了了解資江三橋的真實變形速率及沉降規(guī)律，筆者布置了一測角測距的邊角控制網(wǎng)。所用儀器為徠卡TC702型全站儀，測角中誤差為±2″，測距精度為1mm+2ppm×D（公里）。如圖1所示，A，B，C是已知點，P1，P2為待定點，網(wǎng)中觀測了12個角度，2條邊長（在條件平差中，不用觀測邊長；在間接平差中，用16，17作為觀測邊長），觀測4個測回?？刂凭W(wǎng)圖見圖1。

圖1控制網(wǎng)圖

已知點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

1條件平差解算

1.1條件方程的列立

觀測值n=12，必要觀測t=4，多余觀測r=8，可知要列8個條件方程，如下：

圖形條件：

V1+V2+V3+W1=0V4+V5+V6+W2=0

V7+V8+V9+W3=0V10+V11+V12+W4=0

圓周條件：

V1+V5+V8+V11+W5=0

已知方位角條件：

V2+V4+W6=0

極條件（已線性化）：

cotL12V12+cotL5V5+cotL9V9-cotL10V10-cotL6V6-cotL2V2-cotL7V7+ρ×1-sinL2sinL6sinL7sinL10sinL3sinL5sinL9sinL12=0

已知邊條件：

cotL1V1+cotL6V6-cotL3V3-cotL5V5+ρ×1-sinL3sinL5sinL1sinL6=0

其中：

W1=L1+L2+L3-180°W2=L4+L5+L6-180°

W3=L7+L8+L9-180°W4=L10+L11+L12-180°

W5=L1+L8+L11+L5-360°W6=L2+L4-（BA-BC）

代入數(shù)據(jù)，得：

V1+V2+V3-2.8=0V4+V5+V6+1.2=0

V7+V8+V9-0.9=0V10+V11+V12-3.8=0

V1+V5+V8+V11-1.2=0V2+V4+1.1=0

0.1V1-0.62V3+0.73V5+2.62V6-1.92=0

-1.29V2+0.62V3+1.54V4-2.62V6-0.28V7+1.86V9-0.69V10+0.77V12=0

得到基礎(chǔ)方程系數(shù)陣：

Naa300011-0.6-0.5030011-1.13.30030102.100003100.1011114000.81100020.20-0.7-1.12.10.0800.215.8-7.2-0.53.4000.80-7.27.7

由法方程式可以解出：

2條件平差精度評定

未知點坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式為：

XP1=cos（AB+L＾3）+XAYP1=sin（AB+L＾3）+YA

XP2=cos（360°-P2P1+L＾9）+XAYP2=sin（360°-P2P1+L＾9）+YA

對其進(jìn)行全微分，得其系數(shù)陣：

表8平差值函數(shù)全微分系數(shù)陣

L1L2L3L4L5L6L7L8L9L10L11L12X（P1）00-0.95000000000Y（P1）000.31000000000X（P2）00000000-0.56000Y（P2）000000000.83000

按照協(xié)因數(shù)傳播律，未知點坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)為：

Qσ＾σ＾=fTQf-（AQf）TN-1aaAQf

得平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)陣：

根據(jù)點位誤差橢圓公式，可以得到P1，P2點的誤差橢圓參數(shù)：

結(jié)語

通過條件平差條件對益陽市紫江三橋控制網(wǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和精度評定，可以看出條件平差和間接平差的不同點。條件平差和間接平差都是具有無窮多組解的相容方程組［7］。條件平差與間接平差都是在最小二乘準(zhǔn)則的約束下求得最優(yōu)解［8］。對于同一平差問題，無論采用何種平差方法，所得到的平差結(jié)果和精度（包括點位中誤差，點位誤差橢圓）都是相同的。條件平差與間接平差是整個測量平差的基礎(chǔ)，其他諸多平差方法都是在這兩種平差方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。對于任一問題，既可采用條件平差又可采用間接平差進(jìn)行計算，不同平差方法所產(chǎn)生的條件系數(shù)陣A與間接平差系數(shù)陣B的積為0，即A*B=0。

參考文獻(xiàn)：

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［6］周世健，臧德彥，魯鐵定.測量平差中各種模型的等價轉(zhuǎn)換關(guān)系［J］.測繪學(xué)院學(xué)報，2001（01）：13+7.

［7］袁澤喜.導(dǎo)線平差方法的應(yīng)用與分析［J］.西部探礦工程，2005（09）.

［8］梁永成，曲建光.相對點位中誤差及其在工程測量中的作用［J］.測繪工程，1995（04）：4854.

基金項目：湖南省自然科學(xué)基金聯(lián)合基金項目（2022JJ50261）；湖南省自然科學(xué)基金面上項目（2021JJ30076）

作者簡介：曹元志（1977—），男，漢族，河南信陽人，碩士，副教授，注冊測繪師，主要從事工程測量及數(shù)據(jù)處理的教學(xué)和科研。