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      關(guān)于軌跡方程問題的解法探究

      2024-01-12 09:10:17魯媛媛
      數(shù)理天地(高中版) 2024年1期
      關(guān)鍵詞:解題技巧高中數(shù)學(xué)

      魯媛媛

      【摘? 要】? 軌跡方程問題較為常見,具體求解時(shí)需要深入分析動(dòng)點(diǎn)條件,確定解法,進(jìn)而構(gòu)建思路,簡(jiǎn)化求解.常見的方法有定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法,本文深入解析方法,探索構(gòu)建策略,并結(jié)合實(shí)例加以探究.

      【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué);軌跡方程;解題技巧

      軌跡方程問題解法眾多,具體求解時(shí)可根據(jù)問題情形來選擇.常見的有定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法,下面深入解析方法,并結(jié)合實(shí)例加以探究.

      解法1? 定義法

      定義法,即使用曲線的定義求解軌跡方程的方法.具體求解時(shí)可分兩步:第一步,根據(jù)已知條件判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡條件符合的基本軌跡,如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等;第二步,直接根據(jù)已知曲線的定義來求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡,并討論特殊點(diǎn)或特殊位置,確定最終答案.

      例1? 已知?jiǎng)訄A與圓:外切,與圓內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

      解析? 上述求解動(dòng)圓圓心的軌跡方程,可采用定義法.

      設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,則根據(jù)已知可得

      ,,

      所以.

      又知,,

      則可得.

      根據(jù)雙曲線的定義可知,點(diǎn)M的軌跡是以,為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

      因?yàn)椋?/p>

      所以,

      則點(diǎn)M的軌跡方程為.

      點(diǎn)評(píng)? 定義法求解軌跡方程,關(guān)鍵是把握曲線的特性,故總結(jié)常見曲線的幾何與參數(shù)特性是解題的關(guān)鍵.上述求解動(dòng)圓圓心M的軌跡方程,易錯(cuò)點(diǎn)為將點(diǎn)的軌跡誤認(rèn)為是整條雙曲線.

      解法2? 相關(guān)點(diǎn)法

      相關(guān)點(diǎn)法又名代入法,即將所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)聯(lián)已知點(diǎn)軌跡方程的方法,適用于所求動(dòng)點(diǎn)依賴于已知曲線上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題中.具體求解時(shí)分三步進(jìn)行:第一步,分析判斷動(dòng)點(diǎn)隨著已知曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng);第二步,推求兩者的關(guān)系式,即,;第三步,將關(guān)系式代入到已知曲線動(dòng)點(diǎn)方程中,整理分析.

      例2? 定點(diǎn)為圓外一定點(diǎn),為圓上任一點(diǎn),的平分線交于點(diǎn)的軌跡方程.

      解析? 求點(diǎn)Q的軌跡方程,點(diǎn)A為定點(diǎn),點(diǎn)P為圓上的一點(diǎn),則點(diǎn)Q與點(diǎn)A之間存在關(guān)聯(lián)性,可采用相關(guān)點(diǎn)法來求解.

      設(shè)點(diǎn),,

      由于OQ平分,

      則,

      所以,

      則,

      可解得,

      將其代入到圓方程中,

      可得,

      整理可得 .

      由于存在兩種情況可能會(huì)影響軌跡,具體如下.

      情況1? 當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí),點(diǎn)Q與O也重合,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,0),該點(diǎn)已包含在上述軌跡中;

      情況2? 當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí),將變?yōu)?°角,

      此時(shí)點(diǎn)Q的軌跡方程為(),且點(diǎn)(,0)也滿足方程.

      綜上可知,點(diǎn)Q的軌跡方程為

      和.

      點(diǎn)評(píng)? 使用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,解題的關(guān)鍵是:探尋所求的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系.上述求解動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程時(shí),借助線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式來建立所求點(diǎn)與關(guān)聯(lián)點(diǎn)間的關(guān)系,再代入關(guān)聯(lián)點(diǎn)的方程,整理變形終獲所得.

      解法3? 參數(shù)法

      參數(shù)法,即求解時(shí)采用設(shè)參—消參來求解的方法,設(shè)定動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo),利用條件消去參數(shù)求解.具體求解時(shí)可分兩步:第一步,引入?yún)?shù),用此參數(shù)分別表示動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo);第二步,消去參數(shù),得到關(guān)于x與y的方程,即為所求的軌跡方程.

      例3? 橢圓的準(zhǔn)線垂直于軸,離心率為,并且經(jīng)過點(diǎn),.試求橢圓中心的軌跡方程.

      解析? 設(shè)橢圓中心的坐標(biāo)為,長半軸長為,短半軸長為,半焦距為,

      則.

      由,

      得,,

      所以橢圓的方程為.

      因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,將它們的坐標(biāo)代入橢圓方程,

      可得,

      即,

      消去,得,

      所以橢圓中心的軌跡方程為.

      點(diǎn)評(píng)? 參數(shù)法是求軌跡方程的重要方法,解題的關(guān)鍵是合理選擇參數(shù),常用的參數(shù)有線參數(shù)、角參數(shù)、k參數(shù)、t參數(shù)和點(diǎn)參數(shù)等.上述問題中采用參數(shù)法求解橢圓中心的軌跡方程,其中c2為參數(shù).

      結(jié)語

      總之,上述深入解析了定義法、相關(guān)點(diǎn)法和參數(shù)法的構(gòu)建策略,并結(jié)合實(shí)例探究解題過程.三種方法適用于不同問題情形,探究學(xué)習(xí)時(shí)要關(guān)注三點(diǎn):一是解讀方法,總結(jié)適用題型;二是構(gòu)建分析,探尋解題步驟;三是實(shí)例強(qiáng)化,針對(duì)性訓(xùn)練,積累解題經(jīng)驗(yàn).

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