許璐

【摘? 要】? 平面幾何一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn).學(xué)生在遇到平面幾何問題時(shí)，由于缺乏系統(tǒng)性的分析方法和解題技巧，常常難以入手.總的來說，解決平面幾何問題需要學(xué)生掌握并熟練運(yùn)用所學(xué)的幾何知識(shí)，并且擁有一定的圖形想象能力.本文根據(jù)一道初中平面幾何的例題來談?wù)劥祟愵}目的解法.

【關(guān)鍵詞】? 平面幾何；初中數(shù)學(xué)；輔助圓

平面幾何問題一直是初中數(shù)學(xué)中的重要問題之一，且難度分布廣泛，無論是簡(jiǎn)單題目還是復(fù)雜題目都可以有平面幾何問題，題型復(fù)雜多樣，知識(shí)點(diǎn)廣泛.此外，平面幾何問題還需要掌握一定的作圖技巧和輔助線畫法.下面根據(jù)一道初中平面幾何問題談?wù)劥祟悊栴}的幾種解法.

例題? 如圖1，在四邊形中，，，，，求的長(zhǎng).

解法1? 構(gòu)造輔助線

根據(jù)題目所給的幾何條件合理構(gòu)造輔助線是解決平面幾何問題的常用方法.一般來說，構(gòu)造輔助線主要有三大方向：一是為了得到長(zhǎng)度相等的線段，二是為了得到全等的三角形，三是為了得到角度相同的角.

解析? 如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上截取，并連接，在的延長(zhǎng)線上截取，并連接，，

由此易證相似于，

得到，

設(shè)，則，

，所以得到，

解得符合題意，即.

構(gòu)造輔助線的首要目的在于簡(jiǎn)化解題，使題目中的條件能夠有機(jī)轉(zhuǎn)化，如果在構(gòu)造完輔助線后問題反而變得復(fù)雜，就需要重新考慮.此外，當(dāng)沒有構(gòu)造思路時(shí)，要圍繞著條件多的角，邊等進(jìn)行構(gòu)造.

解法2? 構(gòu)造直角三角形

直角三角形作為一類重要的三角形，其蘊(yùn)含的條件是豐富的，同時(shí)利用勾股定理還可以由直角得到有關(guān)于三角形邊的長(zhǎng)度的等式.

解析? 如圖2所示，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，再分別過兩點(diǎn)作的垂線，垂足分別是，

易得矩形，且全等于，設(shè)為，則，

又，所以得到，

再由相似于，

得到，即，

解得符合題意，即.

構(gòu)造直角三角形時(shí)不能構(gòu)造的憑空無據(jù)，而是要尋找一些可能存在直角的幾何位置.例如，在三角形的某個(gè)定點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，或是補(bǔ)齊圖形變?yōu)榫匦蔚鹊?，?duì)于有全等三角形的題目還可以考慮用三垂直模型解題.

解法3? 構(gòu)造輔助圓

平面幾何中最常見的圖形就是三角形，幾乎所有的圖形都可以由一個(gè)個(gè)三角形拼接而成.而與三角形密切相關(guān)的一個(gè)圖形則是圓，無論是外接圓還是內(nèi)接圓都能夠提供許多有關(guān)三角形的性質(zhì).所以構(gòu)造輔助圓同樣是簡(jiǎn)化平面幾何問題的一類重要方法.

解析? 如圖3，點(diǎn)是的外接圓，則 ，

易得是以為斜邊的等腰直角三角形，

所以，

過點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于點(diǎn)，

則，

設(shè)，由于，得到，

在，，

即得到，

解得符合題意，即.

在構(gòu)造出輔助圓后最常用的性質(zhì)就是利用圓中弦所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，可以使角的位置發(fā)生變化，而大小不變，這就使題目條件的使用變得更加靈活.

解法4? 構(gòu)造并利用相似三角形

三角形中除了全等三角形，相似三角形的性質(zhì)同樣重要，雖然不是完全相等，但是角的關(guān)系和邊長(zhǎng)的比例關(guān)系對(duì)于解題同樣重要.

解析? 如圖4所示，作垂直于于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上截取，

則，易得相似于，

所以.

又由勾股定理可以得到，

設(shè)，則，

，

所以，

即，

解得符合題意，即.

相似三角形的構(gòu)造和利用是極其靈活的，一般是圍繞角來構(gòu)造，延長(zhǎng)或者截取線段是常用的方法.

結(jié)語

對(duì)于這道平面幾何問題，上述四種解法殊途同歸，都是對(duì)于題目條件的發(fā)散，合理構(gòu)造，巧妙轉(zhuǎn)化.在解決此類問題時(shí)，一定要牢牢抓住已知條件，才能在構(gòu)造時(shí)有方向.

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