楊曉梅，白 鈺

(太原科技大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，山西 太原 030024)

生產(chǎn)計劃作為企業(yè)經(jīng)營計劃的重要組成部分，是企業(yè)對生產(chǎn)任務(wù)作出統(tǒng)籌的安排。Taft[1]首次提出側(cè)重于庫存式生產(chǎn)的經(jīng)濟生產(chǎn)批量，其假設(shè)在整個生產(chǎn)過程中設(shè)備一直處于完美的運行狀態(tài)，不會劣化至發(fā)生故障，并且生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量全部合格。然而，在實際的生產(chǎn)過程中，設(shè)備的可靠性隨著使用時間逐漸降低，故障率和不合格品率不斷增大，需要對設(shè)備進行維修活動[2]，保證設(shè)備的正常運轉(zhuǎn)。但若只考慮維修計劃，會對生產(chǎn)進程造成影響，使設(shè)備的有效運行時間達不到預(yù)期，發(fā)生延遲交貨的情況，導(dǎo)致客戶滿意度下降。因此，有必要進行經(jīng)濟生產(chǎn)批量與設(shè)備維修的聯(lián)合決策研究。

考慮到設(shè)備維修和生產(chǎn)計劃之間的相關(guān)性，學(xué)者們首先進行了基于時間的預(yù)防性維修與經(jīng)濟生產(chǎn)批量的集成研究。如Chelbi 等[3]考慮故障停機對經(jīng)濟生產(chǎn)批量和周期性預(yù)防性維修的聯(lián)合決策產(chǎn)生的影響。Suliman 等[4]為了降低生產(chǎn)過程從受控狀態(tài)轉(zhuǎn)換到失控狀態(tài)的概率，定期對設(shè)備進行預(yù)防性維修。盧震等[5]和Nourelfath 等[6]分別建立單機環(huán)境下單產(chǎn)品和多產(chǎn)品的經(jīng)濟生產(chǎn)批量與周期性不完全預(yù)防性維修集成優(yōu)化模型。Fitouhi 等[7]提出非周期性預(yù)防性維修和經(jīng)濟生產(chǎn)批量問題的聯(lián)合策略。上述研究往往是采用基于時間的預(yù)防性維修策略，這一策略在實際運用過程中沒有考慮設(shè)備個體間的差異，可能會導(dǎo)致維修不足或維修過剩。隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展，使得視情維修策略在設(shè)備管理中得以應(yīng)用。近年來，學(xué)者開始進行經(jīng)濟生產(chǎn)批量和視情維修的集成研究。Jafari 等[8]利用比例風險模型對設(shè)備的可靠度進行分析，以經(jīng)濟生產(chǎn)批量和預(yù)防性維修閾值為決策變量構(gòu)建了生產(chǎn)和維修的聯(lián)合優(yōu)化模型。Peng 等[9]通過連續(xù)監(jiān)測設(shè)備的劣化狀態(tài)，建立基于狀態(tài)的維修和EPQ (economic production quantity，經(jīng)濟生產(chǎn)批量) 的聯(lián)合優(yōu)化模型。鄭睿等[10]分析生產(chǎn)過程失控、故障率和故障停機時間對生產(chǎn)和維修聯(lián)合決策的影響。Abdelhakim 等[11]針對單產(chǎn)品的生產(chǎn)系統(tǒng)的維修策略進行研究，設(shè)定在一個生產(chǎn)周期內(nèi)定期對設(shè)備檢測，當劣化水平超過維修閾值則停止生產(chǎn)并實施相應(yīng)的維修。成國慶等[12]在一個批量生產(chǎn)結(jié)束后對設(shè)備狀態(tài)以及產(chǎn)品質(zhì)量進行檢測，根據(jù)檢測到的信息決定維修活動。劉勤明等[13]基于時間延遲理論描述了不同的故障類型，建立多類型維修和經(jīng)濟生產(chǎn)批量聯(lián)合優(yōu)化模型。方葉祥等[14]針對實際生產(chǎn)中設(shè)備劣化及產(chǎn)品返工的情況尋求最佳生產(chǎn)批量。劉學(xué)娟等[15]將設(shè)備劣化問題與EPQ 聯(lián)合研究，運用隨機系數(shù)回歸模型描述設(shè)備的劣化狀態(tài)，并且選擇加速失效時間模型分析協(xié)變量的影響。

上述研究通常假設(shè)生產(chǎn)需求是固定的，但是，在實際生產(chǎn)過程中，由于生產(chǎn)環(huán)境、設(shè)備使用條件等不確定性，生產(chǎn)需求往往會隨著銷售價格、時間和產(chǎn)品質(zhì)量而變化，因此，有必要研究可變需求下經(jīng)濟生產(chǎn)批量與設(shè)備維修的聯(lián)合決策。本文針對可變需求下的經(jīng)濟生產(chǎn)批量與視情維修聯(lián)合決策問題，設(shè)計周期性狀態(tài)檢測的維修策略，根據(jù)此策略建立單位時間平均利潤最大化模型，通過對模型進行求解，可得到最優(yōu)的檢測間隔期和預(yù)防性維修閾值，從而確定最優(yōu)經(jīng)濟生產(chǎn)批量。

1 符號定義及相關(guān)假設(shè)

1.1 符號定義

本文相關(guān)的符號定義如表1 所示。

表1 符號說明Table 1 Notation description

1.2 相關(guān)假設(shè)

1) 產(chǎn)品的生產(chǎn)率p恒定；

2) 產(chǎn)品的價格在一個生產(chǎn)周期內(nèi)不發(fā)生變化；

3) 考慮設(shè)備狀態(tài)的檢測費用，檢測時間忽略不計；

4) 設(shè)備在“受控”“失控”狀態(tài)下均會產(chǎn)生一定比率的不合格品；

5) 在生產(chǎn)過程中一旦發(fā)現(xiàn)不合格品，對其進行修復(fù)，修復(fù)時間忽略不計。

2 問題描述

本文考慮的是單設(shè)備生產(chǎn)系統(tǒng)，該設(shè)備以生產(chǎn)率p進行產(chǎn)品的生產(chǎn)，產(chǎn)品的需求率為d(p＞d) 。生產(chǎn)過程中，設(shè)備隨著運行時間的增加會發(fā)生劣化直至故障，當劣化狀態(tài)水平低于故障后維修閾值，設(shè)備處于受控狀態(tài)。當劣化狀態(tài)水平達到或高于故障后維修閾值，設(shè)備轉(zhuǎn)換為失控狀態(tài)。兩種狀態(tài)下均會生產(chǎn)出不合格品，但相比而言，在失控狀態(tài)下會產(chǎn)出更多的不合格品。由于設(shè)備問題直接影響了產(chǎn)品的質(zhì)量水平，為了提升產(chǎn)品質(zhì)量水平，就需要提高設(shè)備可靠性，因此在一個生產(chǎn)周期內(nèi)對設(shè)備狀態(tài)進行檢測，根據(jù)所檢測到的設(shè)備所處劣化水平實施相應(yīng)的維修活動，包括預(yù)防性維修和故障后維修，兩種維修活動都保證設(shè)備修復(fù)如新。一旦設(shè)備進行維修，生產(chǎn)過程就結(jié)束，完成批量為Q的產(chǎn)品的生產(chǎn)，之后以需求率d消耗庫存，若設(shè)備維修花費的時間小于庫存消耗的時間，在庫存消耗完畢后開始下一更新周期的生產(chǎn)；若設(shè)備維修的時間大于庫存消耗的時間則會產(chǎn)生缺貨，維修結(jié)束后再進行下一更新周期的生產(chǎn)。

根據(jù)上述策略，庫存水平和維修活動的對應(yīng)關(guān)系可分為兩種情形 (如圖1 所示)。其中，X(t) 為設(shè)備在t時刻的劣化狀態(tài)水平，I(t) 為庫存水平；?表示檢測點。

圖1 各情形的示意圖Figure 1 The example of each scenario

情形1在一個生產(chǎn)周期內(nèi)每隔時間T對設(shè)備進行檢測，在檢測點Ti(i=1,2,3,···) 發(fā)現(xiàn)設(shè)備劣化水平達到或超過預(yù)防性維修閾值Lpm，立即進行預(yù)防性維修，如圖1 (a) 所示。

情形2在一個生產(chǎn)周期內(nèi)每隔時間T對設(shè)備進行檢測，如果設(shè)備劣化水平達到或超過故障后維修閾值Lcm，設(shè)備仍然劣化運行，直到在檢測點Tj(j=1,2,3,···)被檢測出來，立即進行故障后維修，如圖1 (b) 所示。

3 模型建立

以單位時間平均利潤最大化為目標構(gòu)建聯(lián)合優(yōu)化模型，其中將兩次設(shè)備開始生產(chǎn)之間的時間間隔定義為一個生產(chǎn)周期，根據(jù)更新報酬理論[16]，可以利用一個生產(chǎn)周期的單位平均利潤來代替整個生產(chǎn)計劃期內(nèi)的單位平均利潤，一個生產(chǎn)周期的單位時間平均利潤為生產(chǎn)周期的平均利潤E(Pro) 除以生產(chǎn)周期的平均時長E(Tc) ，即

式 (1) 中，平均利潤為平均總收入減去平均總費用，產(chǎn)品銷售價格乘以平均生產(chǎn)批量得到平均總收入，總費用包括生產(chǎn)準備費用、不合格品返工費用、庫存持有費用、檢測費用、維修費用、缺貨費用。

根據(jù)所設(shè)計的聯(lián)合策略可知，通過檢測設(shè)備劣化的狀態(tài)，對設(shè)備進行預(yù)防性維修或故障后維修兩種維修活動。Gamma 過程可描述連續(xù)且單調(diào)遞增的隨機過程，適用于刻畫設(shè)備的劣化現(xiàn)象。本文利用此過程來描述設(shè)備的劣化進程。設(shè)X(t) 為 設(shè)備在t時刻的劣化狀態(tài)水平，且X(0)=0 ， 形狀參數(shù)為 γ ，尺度參數(shù)為 η ，概率密度函數(shù)

下面對一個生產(chǎn)周期內(nèi)兩種情形下的平均費用和平均時長進行描述。

3.1 情形1

該情形用S1表 示，即當Ti時刻對設(shè)備進行檢測時發(fā)現(xiàn)設(shè)備劣化水平達到或超過預(yù)防性維修閾值Lpm，對設(shè)備進行預(yù)防性維修，該情形發(fā)生的概率為

該情形發(fā)生時產(chǎn)生的費用包括生產(chǎn)準備費用、不合格品返工費用、庫存持有費用、檢測費用、預(yù)防性維修費用、缺貨費用。

1) 生產(chǎn)準備費用。

由于生產(chǎn)啟動前會產(chǎn)生各種準備工作的費用，則平均生產(chǎn)準備費用為

2) 不合格品返工費用。

該情形下的生產(chǎn)運行平均時長為

在這種情形下，設(shè)備始終處于“受控狀態(tài)”，“受控狀態(tài)”下產(chǎn)生不合格品的比率為 α1，則平均不合格品數(shù)為

為了提升產(chǎn)品的質(zhì)量，減少不合格品的產(chǎn)生，在不合格品流入市場后采取召回措施將其進行返工，產(chǎn)生相應(yīng)的返工費用。設(shè)定單位不合格品返工費用為Cr，因此產(chǎn)生的平均不合格品返工費用為

3) 庫存持有費用。

考慮到需求會隨時間的推移發(fā)生變化，本文針對需求隨時間指數(shù)增長的產(chǎn)品。根據(jù)需求定律可知，產(chǎn)品的需求量和價格呈反比關(guān)系，即隨價格上升，產(chǎn)品的需求量會減少；反之，產(chǎn)品的需求量會增加。同時，由于客戶的需求與產(chǎn)品的質(zhì)量水平也相關(guān)。因而，產(chǎn)品的需求率受時間、銷售價格和生產(chǎn)的不合格品數(shù)3 個因素的影響，本文構(gòu)建了產(chǎn)品需求率函數(shù)模型如式(8)所示。

其中，dmax是不受任何因素影響的最大需求；a、b、λ為需求率對價格、不合格品數(shù)和時間的敏感系數(shù)，a，b，λ＞0 。

令庫存水平用I(t) 表示，由式 (8) 可以得到庫存水平I(t) 的微分方程為

根據(jù)條件I(0)=0,I(Tpm)=0 ，求解微分方程得到

利用I(t) 在t=Ti的連續(xù)性可得庫存消耗完的時刻為

根據(jù)式 (10) 、式 (11) 可知，在該情形下一個生產(chǎn)周期內(nèi)的平均庫存持有費用為

4) 檢測費用。

該情形下，由于在Ti時刻設(shè)備會停機進行預(yù)防性維修，因此設(shè)備狀態(tài)的檢測次數(shù)為i次，則平均檢測費用為

5) 預(yù)防性維修費用。

當在檢測點Ti發(fā)現(xiàn)設(shè)備劣化水平達到或超過預(yù)防性維修閾值，立即進行預(yù)防性維修活動，產(chǎn)生的平均預(yù)防性維修費用為

6) 缺貨費用。

當設(shè)備預(yù)防性維修時間ypm超過庫存的消耗時間Tpm-E(Ti)，則會出現(xiàn)缺貨，在缺貨期，客戶的需求是一個常數(shù)ds，缺貨費用為缺貨數(shù)量乘以單位產(chǎn)品單位時間內(nèi)的缺貨費用Cs，因此平均缺貨費用為

由此可得到情形1 的平均總費用E(C|S1) ，即

該情形下一個生產(chǎn)周期的平均時長為

3.2 情形2

該情形用S2表示，即設(shè)備在Tj-1時刻的劣化水平低于預(yù)防性維修閾值，而在Tj時刻檢測到劣化水平達到或超過故障后維修閾值Lcm，對設(shè)備采取故障后維修，該情形發(fā)生的概率為

該情形發(fā)生時產(chǎn)生的費用包括生產(chǎn)準備費用、不合格品返工費用、庫存持有費用、檢測費用、故障后維修費用、缺貨費用。

1) 生產(chǎn)準備費用。

2) 不合格品返工費用。

當劣化狀態(tài)水平X(t)＞Lcm，設(shè)備處于“失控狀態(tài)”，“失控狀態(tài)”下產(chǎn)生不合格品的比率為 α2，根據(jù)式 (2) 可得，設(shè)備從初始狀態(tài)0 到達某一狀態(tài)x的時間tx的分布函數(shù)為

則生產(chǎn)期間產(chǎn)生的平均不合格品數(shù)為

可得平均不合格品返工費用為

3) 庫存持有費用。

該情形下的生產(chǎn)運行平均時長為

同樣由式 (8) 可得庫存水平I(t) 的微分方程為

根據(jù)條件I(0)=0,I(Tf)=0 可以得到庫存函數(shù)

利用I(t)在t=Tj的連續(xù)性得到庫存消耗完的時刻為

根據(jù)式 (25) 、式 (26) 可知，在該情形下一個生產(chǎn)周期內(nèi)的平均庫存持有費用為

4) 檢測費用。

對設(shè)備狀態(tài)進行j次檢測產(chǎn)生的平均檢測費用為

5) 故障后維修費用。

當在檢測點Tj發(fā)現(xiàn)設(shè)備劣化水平達到或超過故障后的維修閾值，實施故障后維修活動。鑒于實際設(shè)備維修時的故障后維修費用往往比預(yù)防性維修費用更高，因此該情形下產(chǎn)生的平均故障后維修費用為

6) 缺貨費用。

當設(shè)備故障后維修時間ycm超過庫存的消耗時間Tcm-E(Tj)，會出現(xiàn)缺貨，因此產(chǎn)生的平均缺貨費用為

由此可得該情形下的平均總費用E(C|S2) ，即

該情形下一個生產(chǎn)周期的平均時長為

綜上所示，一個生產(chǎn)周期內(nèi)的平均總費用為

一個生產(chǎn)周期的平均總時長為

由此，以單位時間平均利潤最大化作為目標，根據(jù)式 (1) 、式 (33) 、式 (34)，可得目標函數(shù)為

在上式中，根據(jù)對兩種情形下的分析可知，預(yù)防性維修閾值Lpm、設(shè)備狀態(tài)檢測間隔期T這兩個變量的變化會影響目標函數(shù)值，因此將Lpm和T作為所構(gòu)建模型的決策變量，對應(yīng)的約束條件為

4 數(shù)值實驗

4.1 數(shù)值仿真

假設(shè)某設(shè)備的劣化過程服從 γ =0.6，η=0.8 的Gamma 分布，設(shè)備處于“受控狀態(tài)”下產(chǎn)生的不合格品比率 α1=0.03 ，設(shè)備處于“失控狀態(tài)”下產(chǎn)生的不合格品比率α2=0.3 ，故障后維修閾值Lcm=9 ，預(yù)防性維修時間和故障后維修時間服從指數(shù)分布F(t)=1-e-0.8t和F(t)=1-e-1.6t，該設(shè)備的生產(chǎn)率p=300 件/d，最大需求dmax=180 件/d，產(chǎn)品銷售價格Pri=30元/件，其他參數(shù)值如表2 所示。

表2 相關(guān)參數(shù)值Table 2 Related parameters

遺傳算法作為優(yōu)化算法之一，具有隱含并行性和全局搜索的特點，適用于求解各類離散、連續(xù)優(yōu)化問題，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)設(shè)計、生產(chǎn)管理、交通運輸?shù)阮I(lǐng)域。鑒于此，本文引入遺傳算法進行模型的求解。根據(jù)式 (36) 中各決策變量的取值范圍，采用實數(shù)編碼的方法，設(shè)定種群規(guī)模為50，迭代次數(shù)為100，交叉概率為0.8，變異概率為0.2，進行50 次仿真實驗，可得到最優(yōu)解為單位時間平均利潤=6 547.2元/d，對應(yīng)的最佳決策方案為檢測間隔期T?=2.325 d ，預(yù)防性維修閾值=6.997 。單位時間平均利潤Pro隨檢測間隔期T和預(yù)防性維修閾值Lpm的變化如圖2 所示。

圖2 Pro 隨T，Lpm 的變化Figure 2 The variation of Pro with T and Lpm

由圖2 可以看出，當T或Lpm不變時，單位時間平均利潤Pro隨著預(yù)防性維修閾值Lpm或檢測間隔期T先增大后減小變化。這是因為Lpm或T較小時，雖然生產(chǎn)周期內(nèi)的平均總費用減少，但也導(dǎo)致平均生產(chǎn)量降低，使企業(yè)平均總收入的下降幅度大于平均總費用；而當Lpm或T較大時，雖然平均生產(chǎn)量的增加使平均總收入升高，但由于設(shè)備故障概率的增加，會產(chǎn)生過高的故障后維修費用，使平均總費用的增長速率高于平均總收入。

為了更好地驗證本文策略的可行性，將本文的EPQ 模型和基于固定需求的EPQ 模型分別與視情維修聯(lián)合決策所得到的仿真結(jié)果進行對比，基于固定需求的模型記為模型1，在建立模型1 時，考慮需求不受任何因素影響，即設(shè)定需求d=dmax=180件/d，表3 列出了兩種模型的最優(yōu)結(jié)果。

表3 模型1 和本文模型的最優(yōu)結(jié)果Table 3 Optimal results of model 1 and the proposed model

根據(jù)表3 可以看出，本文模型與模型1 相比，檢測間隔期減小，預(yù)防性維修閾值增大，進而使單位時間平均利潤增大，因此本文所提出的策略能夠使企業(yè)有效節(jié)約成本，提高利潤。

4.2 敏感性分析

為了了解此模型中最優(yōu)決策變量和最優(yōu)目標值對相關(guān)參數(shù)的敏感程度，通過逐一改變相關(guān)參數(shù)值來尋找最優(yōu)決策變量和最優(yōu)目標值受其影響變化的規(guī)律。分析的參數(shù)包括維修相關(guān)參數(shù)和需求相關(guān)參數(shù)，通常設(shè)定參數(shù)變化的幅度為 - 50%～50% 。

首先，針對維修相關(guān)參數(shù)對最優(yōu)決策變量和最優(yōu)目標值的影響進行分析，分析結(jié)果如表4 和圖3所示。

圖3 維修相關(guān)參數(shù)變化對最優(yōu)決策變量和最優(yōu)目標值的影響Figure 3 Impact of changes in related maintenance parameters on the optimal decision variables and the optimal objective values

表4 維修相關(guān)參數(shù)的分析結(jié)果Table 4 Analysis results of related maintenance parameters

由表4 和圖3 可知，維修相關(guān)參數(shù)對最優(yōu)解的影響如下。

1) 隨著單位檢測費用Cin的增加，增加最優(yōu)檢測間隔期T以減少檢測次數(shù)，進而降低檢測總費用，但導(dǎo)致設(shè)備發(fā)生故障的概率增加，因此降低最優(yōu)預(yù)防性維修閾值Lpm以減小設(shè)備故障的概率。

2) 隨著單位返工費用Cr的增加，由于設(shè)備在失控狀態(tài)下產(chǎn)生不合格品的比率高，逐漸降低最優(yōu)檢測間隔期和預(yù)防性維修閾值以減小設(shè)備故障的概率。

3) 隨著單位預(yù)防性維修費用Cpm的增加，逐漸增加最優(yōu)檢測間隔期T和最優(yōu)預(yù)防性維修閾值Lpm以減小設(shè)備進行預(yù)防性維修的概率和費用。

4) 與單位預(yù)防性維修費用Cpm的情況相反，隨著單位故障后維修費用Ccm的增加，逐漸降低最優(yōu)檢測間隔期和最優(yōu)預(yù)防性維修閾值以增加實施預(yù)防性維修的概率，減少設(shè)備發(fā)生故障的概率和費用。

其次，針對需求相關(guān)參數(shù)對最優(yōu)決策變量和最優(yōu)目標值的影響進行分析，分析結(jié)果如表5 和圖4所示。需求相關(guān)參數(shù)對最優(yōu)解的影響如下。

圖4 需求相關(guān)參數(shù)變化對最優(yōu)決策變量和最優(yōu)目標值的影響Figure 4 Impact of changes in related demand parameters on the optimal decision variables and the optimal objective values

表5 需求相關(guān)參數(shù)的分析結(jié)果Table 5 Analysis results of related demand parameters

1) 隨著單位產(chǎn)品銷售價格Pri的增加，產(chǎn)品的需求減少，逐漸降低最優(yōu)檢測間隔期T和最優(yōu)預(yù)防性維修閾值Lpm以減少產(chǎn)生的庫存總費用，而單位時間平均利潤隨之大幅度增加。

2) 隨著失控狀態(tài)下產(chǎn)生不合格品比率 α2的增加，失控狀態(tài)下產(chǎn)生不合格品的數(shù)量增加，因此逐漸降低最優(yōu)檢測間隔期T和最優(yōu)預(yù)防性維修閾值Lpm以減小設(shè)備故障的概率。

3) 隨著單位庫存持有費用Ch的增加，逐漸降低最優(yōu)檢測間隔期T和最優(yōu)預(yù)防性維修閾值Lpm以縮短生產(chǎn)周期，減少庫存的持有總費用。

5 結(jié)論

本文進行了可變需求下的經(jīng)濟生產(chǎn)批量與視情維修聯(lián)合優(yōu)化研究，其中需求率取決于3 個因素：銷售價格、時間和不合格品數(shù)。運用Gamma 過程描述設(shè)備的劣化過程，根據(jù)檢測到的設(shè)備劣化水平確定維修行為，包括預(yù)防性維修和故障后維修?；诟禄貓蠖ɡ斫挝粫r間平均利潤最大化模型。利用遺傳算法對該模型進行求解，得到最佳的決策方案。本文研究可輔助企業(yè)進行生產(chǎn)和維修決策，使企業(yè)能夠更加持久穩(wěn)定地發(fā)展。隨著制造業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，為了滿足客戶的多樣化需求，以后的研究可以擴展到針對多設(shè)備生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)和維修的聯(lián)合決策研究。