徐艷

例題呈現(xiàn) （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第25頁例題）不畫圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點(diǎn)。（解答過程略）

研究函數(shù)時(shí)，我們研究的是函數(shù)關(guān)系的表述、函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法是解決函數(shù)問題的絕佳工具。本題可以有以下變式。

變式1 條件結(jié)論互換

（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第36頁第10題）（1）已知二次函數(shù)y=x2-mx+m的圖像與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；

（2）已知二次函數(shù)y=ax2-2x-3的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍。

【解析】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2-mx+m的圖像與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以一元二次方程x2-mx+m=0的根的判別式b2-4ac=m2-4m=0。所以m=4或0。

（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2-2x-3的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以一元二次方程ax2-2x-3=0（a≠0）的根的判別式b2-4ac=4+12a＞0。所以a＞[-13]，且a≠0。

變式2 變換表達(dá)式，增加參數(shù)

已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

（2）當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

【解析】（1）令y=0。因?yàn)橐辉畏匠?（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，所以方程一定有實(shí)數(shù)根。因此，二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）的圖像與x軸總有公共點(diǎn)。

（2）令x=0，則y=2m+6。要使得該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，則2m+6＞0，所以m＞-3。

變式3 變“等”為“不等”

已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）。

（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)。

（2）若a=-1，求證：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y＞0。

（3）若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0）、（x2，0），且-1＜x1＜x2＜3，則a的取值范圍是。

【解析】（1）令y=0，得方程ax2-2ax+3=0，則Δ=4a2-12a=4a（a-3）。由a＜0，得a-3＜0。所以4a（a-3）＞0。所以方程ax2-2ax+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故函數(shù)y=ax2-2ax+3的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)。

（2）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y=

-x2+2x+3，因式分解得y=-（x+1）（x-3）。當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，x+1＞0，x-3＜0，所以

-（x+1）（x-3）＞0，即y＞0。

（3）因?yàn)?1＜x1＜x2＜3，由函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1可知，-1＜x1＜1＜x2＜3。

方法1 當(dāng)a＞0時(shí)，符合題意的函數(shù)圖像大致如圖1所示。由題意，只需圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即可符合要求。

故令y=0，得方程ax2-2ax+3=0，使得Δ=4a2-12a=4a（a-3）＞0即可。由a＞0，所以a-3＞0，解得a＞3。

當(dāng)a＜0時(shí)，符合題意的函數(shù)圖像大致如圖2所示。由題意，只需當(dāng)x=-1或3時(shí)，y＜0即可，即a+2a+3＜0或9a-6a+3＜0，解得a＜-1。

綜上可知，a＞3或a＜-1。

方法2 考慮臨界情況。當(dāng)a＞0時(shí)，只需圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可符合要求。先考慮特殊情況，圖像與x軸恰好有一個(gè)公共點(diǎn)（即拋物線頂點(diǎn)在x軸上）時(shí)，易求得a=3。為使圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則需圖像的開口變小，即a＞3。

當(dāng)a＜0時(shí)，還是先考慮特殊情況，即當(dāng)x1=-1時(shí)，函數(shù)圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)

（-1，0），代入表達(dá)式求得a=-1。為使圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足-1＜x1＜x2＜3，則需圖像的開口變小，即a＜-1。

綜合可知，a＞3或a＜-1。

（作者單位：江蘇省南京市竹山中學(xué)）