陳俊

從“數(shù)”上看，二次函數(shù)是研究最優(yōu)化問題的常用數(shù)學(xué)模型。我們常用它來研究最大面積、最大利潤、最小能耗等數(shù)學(xué)問題。從“形”上看，二次函數(shù)的圖像是拋物線——人們常見的曲線之一，拱橋、隧道、美麗的噴泉、鉛球的投擲、跳遠(yuǎn)、跨欄等都與拋物線有關(guān)。

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第20頁習(xí)題第9題：怎樣平移函數(shù)y=-x2的圖像，可以得到函數(shù)y=-x2-8x-7的圖像？

【解析】二次項系數(shù)a相同的情況下，二次函數(shù)圖像的平移，其實質(zhì)就是頂點(diǎn)的平移。因此，解決這個問題的關(guān)鍵就是要抓住一個關(guān)鍵點(diǎn)——頂點(diǎn)。

函數(shù)y=-x2的頂點(diǎn)是（0，0），函數(shù)y=-x2-8x-7=-（x+4）2+9的頂點(diǎn)是（-4，9）。

因為點(diǎn)（0，0）先向左平移4個單位長度，再向上平移9個單位長度，可得到點(diǎn)（-4，9），所以函數(shù)y=-x2的圖像也同樣先向左平移4個單位長度，再向上平移9個單位長度，可得到函數(shù)y=-x2-8x-7的圖像。

利用二次函數(shù)表達(dá)式確定頂點(diǎn)，通過頂點(diǎn)的平移，可以確定二次函數(shù)圖像的平移。反之，利用二次函數(shù)圖像的平移，可以確定頂點(diǎn)的平移，從而確定平移后的函數(shù)表達(dá)式。

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第37頁復(fù)習(xí)鞏固第14題：把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度后，所得的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）。寫出原拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

【解析】二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度，說明頂點(diǎn)也發(fā)生了同樣的平移。我們將平移后得到的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0）先向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度，就可以反向平移到變化前的位置（3，1）。由頂點(diǎn)式就可以寫出原來的二次函數(shù)表達(dá)式：y=（x-3）2+1=x2-6x+10。

我們通過教材上的這兩個問題，可以知道：二次項系數(shù)a相同的情況下，二次函數(shù)圖像的平移，其實質(zhì)就是頂點(diǎn)的平移。緊扣這個關(guān)鍵點(diǎn)，抓住本質(zhì)，在解決更復(fù)雜的二次函數(shù)平移問題時，就會有思路和方法了。

（2023·浙江溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線。當(dāng)球飛行的水平距離為6m時，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時球離地面3m。已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）。

（2）對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？

【解析】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），則我們可以設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a（x-2）2+3。

把點(diǎn)A（8，0）代入，得36a+3=0，解得a=[-112]。

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=[-112]（x-2）2+3。

當(dāng)x=0時，y=[83]＞2.44，∴球不能射進(jìn)球門。

（2）設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=[-112]（x-2-m）2+3。

把點(diǎn)（0，2.25）代入，得2.25=[-112]（0-2-m）2+3。解得m1=-5（舍去），m2=1。

∴當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動1米射門。

函數(shù)圖像是由點(diǎn)構(gòu)成的。函數(shù)圖像位置的變化，實質(zhì)就是圖像上點(diǎn)的位置的變化。因此，同學(xué)們可以通過研究點(diǎn)的位置變換與其坐標(biāo)的變化，來研究函數(shù)圖像的變換及其表達(dá)式的變化。

（作者單位：江蘇省南京外國語學(xué)校方山分校）