共振激勵(lì)和重力作用下一維水平弦垂直振動(dòng)駐波理論與實(shí)驗(yàn)研究

蔡為睿,李智超,沈 韓,2,王 猛,2,方奕忠,2

(1.中山大學(xué) 物理學(xué)院,廣東 廣州 510275;2. 中山大學(xué) 物理學(xué)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,廣東 廣州 510275)

共振現(xiàn)象在自然界廣泛存在,在工程應(yīng)用中有利也有弊. 在眾多振動(dòng)共振現(xiàn)象中,簡(jiǎn)諧振動(dòng)共振作為最基本的共振模式,在理論上和應(yīng)用中均具有重要的研究意義. 對(duì)于均勻柔軟彈性弦的橫向小振動(dòng)方程有大量的理論研究和介紹[1-8]. 文獻(xiàn)[9,10]對(duì)一維弦的橫向自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)作了深入的理論研究. 文獻(xiàn)[11]討論了弦的橫振動(dòng), 證明了當(dāng)弦的橫振幅與波長(zhǎng)之比為常量時(shí),即使波的振幅較大,其波速也近似是個(gè)常量. 文獻(xiàn)[12]研究了兩端固定弦駐波的進(jìn)動(dòng), 得到了進(jìn)動(dòng)速度的依賴性及進(jìn)動(dòng)頻率在橢圓半長(zhǎng)軸的修正. 文獻(xiàn)[13]利用幅頻公式研究了弦大振幅橫向振動(dòng)的近似解,改進(jìn)了幅頻公式的最大、最小近似. 文獻(xiàn)[14]用變分迭代法和哈密頓近似法研究了常張力易彎曲弦大振幅橫振動(dòng)的確定解,并與變分近似及龍格-庫(kù)塔四階方法進(jìn)行比較,符合得很好. 文獻(xiàn)[15]在不考慮重力的情況下,用非齊次常微分方程的通解等于它的一個(gè)特解加上與其相應(yīng)的齊次方程的通解[16]的辦法求解了共振頻率激勵(lì)下一端固定、一端連接振源時(shí)弦的橫向振動(dòng)問(wèn)題的解析解. 文獻(xiàn)[17]通過(guò)靜力稱衡法和拉伸法利用駐波測(cè)量了弦線的直徑及其楊氏模量,得到與實(shí)際較為接近的結(jié)果. 文獻(xiàn)[18]用旋轉(zhuǎn)矢量和幾何圖形的方法,把駐波這個(gè)物理現(xiàn)象較好地用到了直觀教學(xué)上. 文獻(xiàn)[19]利用已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和弦振動(dòng)方程模擬計(jì)算了存在阻尼時(shí),弦振動(dòng)駐波的形成過(guò)程以及空氣阻力、弦長(zhǎng)度對(duì)駐波的影響.

本文將研究考慮重力影響下的一維水平弦的垂直振動(dòng)模型,與實(shí)際應(yīng)用情況更為吻合.分析共振時(shí)的駐波現(xiàn)象,探討產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因,由此可推廣到復(fù)雜系統(tǒng)的共振研究.與文獻(xiàn)[15,16]中所用的求解非齊次常微分方程的方法不同,本文用本征函數(shù)展開(kāi)和拉普拉斯變換法求解重力作用下一端固定、另一端以小振幅作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)一維水平弦的垂直振動(dòng)波動(dòng)方程的定解問(wèn)題,求出解析解,并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn).求解得到共振形成駐波解的條件,以及弦傳播簡(jiǎn)諧波的波速a的表達(dá)式.實(shí)驗(yàn)上連續(xù)調(diào)節(jié)弦作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率讓其共振形成駐波,測(cè)量出此時(shí)弦的張力T,記下波腹個(gè)數(shù)n和頻率f,測(cè)量出相鄰兩波節(jié)之間的距離再乘以2得到波長(zhǎng)λ, 從而在實(shí)驗(yàn)上求出波速a=λf;再代入弦的張力T,即得弦的質(zhì)量線密度ρ,并與實(shí)測(cè)線密度值進(jìn)行比較,對(duì)理論進(jìn)行檢驗(yàn).

1 理論模型及求解

(1)

圖1 一小段弦豎向振動(dòng)受力分析示意圖

對(duì)于小振動(dòng),可設(shè)θ角很小,T1=T2=T,方程(1)成為

T(tanθ2-tanθ1)-ρΔxg=

(2)

(3)

(4)

(5)

方程(4)即為外力作用下弦的橫振動(dòng)方程,a為波速.體現(xiàn)外力作用的項(xiàng)為重力加速度的負(fù)值,即-g,為弦單位質(zhì)量所受的重力.

假設(shè)弦的左端點(diǎn)(x=0)固定,右端點(diǎn)(x=l)接一振源(振動(dòng)發(fā)生器),振源以振幅A(A<<1)作嚴(yán)格的垂直方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)Asinωt,設(shè)繩子的初位移和初速度均為零,則得定解問(wèn)題:

(6)

u|x=0=0,u|x=l=Asinωt,(t≥0)

(7)

(8)

由于邊界條件(7)非齊次,需要將邊界條件齊次化,

(9)

得v=v(x,t)滿足的定解問(wèn)題為

(10)

v|x=0=0,v|x=l=0, (t≥0)

(11)

(12)

(13)

該本征函數(shù)族是完備的.于是,定解問(wèn)題式(10)—(12)可以用本征函數(shù)展開(kāi)法來(lái)求解.令

(14)

同時(shí)把方程式(10)的右邊也按本征函數(shù)族式(13)展開(kāi),利用

(15)

(16)

代入式(10)和(12),比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得常微分方程的初值問(wèn)題:

(17)

(18)

該初值問(wèn)題可以用常微分方程理論中常用的非齊次方程式(17)的通解等于它的一個(gè)特解加上與其相應(yīng)的齊次方程的通解的方法來(lái)求解[16].不同于文獻(xiàn)[15], 本文采用拉普拉斯變換法[1-7, 20]來(lái)求解初值問(wèn)題式(17)—(18).

(19)

(20)

式(17)兩邊分別作拉普拉斯變換,利用式(20),由線性定理,有

Rep>0.

(21)

其中,Rep>0是為了保證變換的積分收斂,是拉普拉斯變換存在的條件.由式(21),用代數(shù)方法解出

(22)

注意到

(23)

(24)

(25)

由折積定理,若f1(t)≒F1(p),f2(t)≒F2(p),則

(26)

(27)

式(27)中的第一個(gè)定積分:

(28)

式(27)中的第二個(gè)定積分:

(29)

得初值問(wèn)題式(17)—(18)的解式(27)可寫(xiě)為

(30)

代回式(14)和式(9),得定解問(wèn)題式(6)—式(8)的解為

(31)

其中Tn(t)由式(30)給出.

(32)

即得

(33)

其中k=1,2,3,…為正整數(shù),且當(dāng)n的取值確定時(shí),k≠n.

由于振源的振幅A很小, 隨著時(shí)間t的增加,式(33)中右邊的第二項(xiàng)起主要作用,則有

(34)

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

圖2 一維弦垂直方向振動(dòng)駐波的實(shí)驗(yàn)裝置圖

開(kāi)啟振動(dòng)驅(qū)動(dòng)器,從零振幅和0 Hz開(kāi)始, 緩慢增加振幅和頻率,以得出最明顯的振幅駐波現(xiàn)象(即共振),數(shù)出共振時(shí)的駐波波腹個(gè)數(shù)n,從振動(dòng)驅(qū)動(dòng)器讀出頻率f,由λ=2l/n算出波長(zhǎng)λ,由a=λf算出波速a,記錄的波腹個(gè)數(shù)n、波長(zhǎng)λ、波速a與頻率f如表1所示.進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合,可得波腹個(gè)數(shù)n隨共振頻率f變化的曲線如圖3所示.由圖3可以看到,R平方值為0.999,皮爾遜相關(guān)系數(shù)值為0.999 5,說(shuō)明其線性擬合程度非常好,波腹個(gè)數(shù)n隨著頻率f的增加嚴(yán)格線性增加.

表1 不同頻率f下波腹個(gè)數(shù)n、波長(zhǎng)λ及波速a的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值

圖3 駐波波腹個(gè)數(shù)n隨共振頻率f的變化

對(duì)于本實(shí)驗(yàn),由圖3可知,n=15時(shí)的點(diǎn)明顯偏離擬合曲線(直線),會(huì)引入較大的誤差,若把該點(diǎn)校正或舍棄,理論與實(shí)驗(yàn)更加符合,誤差會(huì)更小.

3 結(jié)果和討論

本文用本征函數(shù)展開(kāi)和拉普拉斯變換法,求解了考慮重力作用情況下一維水平弦的垂直方向振動(dòng)在方程非齊次、邊界條件非齊次下的嚴(yán)格解析解,得到共振產(chǎn)生駐波時(shí)的條件,發(fā)現(xiàn)共振頻率和共振時(shí)駐波波腹大小、位置均與重力無(wú)關(guān).通過(guò)一維水平繩子的垂直方向振動(dòng)實(shí)驗(yàn),觀察到其共振時(shí)的駐波現(xiàn)象,分析其產(chǎn)生的原因?yàn)橄业娜我夥€(wěn)態(tài)振動(dòng)是一系列本征振動(dòng)的疊加,并且從定量上探究其物理意義與物理圖像,得到的理論與實(shí)驗(yàn)均符合得相當(dāng)好.另外,本文利用理論推導(dǎo)公式從測(cè)量弦在振動(dòng)時(shí)的波腹個(gè)數(shù)隨著共振頻率變化的關(guān)系來(lái)求解繩子的質(zhì)量線密度,進(jìn)一步可求出繩子的質(zhì)量,在教學(xué)和工程上有一定應(yīng)用價(jià)值.