數(shù)列通項(xiàng)公式解法探究

鄭偉民

(福建省永春第四中學(xué),福建 泉州 362608)

眾所周知,數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù),函數(shù)的解析表達(dá)式是函數(shù)表示的一種類型.同樣,數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列最重要的表示.因?yàn)檎业綌?shù)列的通項(xiàng)公式可以給出數(shù)列的概貌,所以研究數(shù)列的通項(xiàng)公式非常重要.因此,在一些數(shù)列求解問題中,第一個(gè)小問題往往是找到一般項(xiàng)的公式.

1 Sn法

直接利用Sn定義求通項(xiàng)an,由Sn-Sn-1得到an的這種方法常用于已知數(shù)列前n和的通項(xiàng)公式求解題目.

當(dāng)n≥2時(shí),由5an+1+Sn+16=0,

①

得5an+Sn-1+16=0.

②

①～②,得5an+1=4an.因?yàn)閍2≠0,所以an≠0.

點(diǎn)評(píng)本題以數(shù)列前n項(xiàng)和為主要條件求解通項(xiàng)公式,可直接抓住an=Sn-Sn-1,可以便捷求出通項(xiàng)公式.

點(diǎn)評(píng)本題以遞推公式f(Sn,an)=0為條件求解數(shù)列通項(xiàng)公式,將數(shù)列前n項(xiàng)和Sn轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)an,也可以將數(shù)列通項(xiàng)an轉(zhuǎn)化為數(shù)列前n項(xiàng)和Sn,從而得到關(guān)于an(Sn)的遞推關(guān)系,然后求出數(shù)列通項(xiàng)an.

2 數(shù)列前n項(xiàng)積Tn作商法

因?yàn)閍n>0,所以an-an-1=2.

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2+(n-1)×2=2n.

3 累加法

當(dāng)an+1=an+f(n)且f(1)+f(2)+…+f(n)的和易求時(shí),可將an+1=an+f(n)轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),結(jié)合累加法求解.

所以a10=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a10-a9)=3+lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg10-lg9=3-lg1+lg10=3+1=4.

4 累乘法

例5已知數(shù)列{an}滿足a1=1,(2n-1)an+1=(2n+1)an.求{an}的通項(xiàng)公式.

當(dāng)n=1時(shí),a1=1,符合上式,所以an=2n-1.

5 構(gòu)造法

例6已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=4an-6,則a2023=____.

分析由an+1=4an-6,得an+1-2=4(an-2).

而a1-2=-1,因此數(shù)列{an-2}是首項(xiàng)為-1,公比為4的等比數(shù)列,則an-2=-1×4n-1.即an=-4n-1+2.所以a2023=-42022+2.

例7 在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.

解析由an+1=4an-3n+1,得

an+1-(n+1)=4(an-n).

又a1-1=1,所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列.所以an-n=4n-1.即an=4n-1+n.

例8 已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+4×3n-1,a1=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

所以an=4×3n-1-3×2n-1.

6 結(jié)束語

本文梳理了通項(xiàng)公式的一些解法:Sn法、數(shù)列前n項(xiàng)積Tn作商法、累加法、累乘法、構(gòu)造法.這些方法在數(shù)列通項(xiàng)求解中起到了化繁為簡的作用,破解了數(shù)列通項(xiàng)的解題障礙點(diǎn)[1],值得我們深入研究,不斷發(fā)現(xiàn)新問題,扎實(shí)基礎(chǔ),從而對(duì)這一專題熟練掌握.