2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷模擬試卷

李昌成

(烏魯木齊市第八中學(xué),新疆 烏魯木齊 830002)

一、單選題：本大題共8小題,共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng).

1.設(shè)集合U=R,A={x|1

A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}

C.{x|1

圖1 第1題圖

A.-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i

4.已知三棱臺ABC-A1B1C1中,三棱錐A-A1B1C1的體積為4,三棱錐A1-ABC的體積為8,則該三棱臺的體積為( ).

5.從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取2個球,則所取的2個球中至少有1個白球的概率是( ).

6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的部分圖象如圖2所示,則下列判斷錯誤的是( ).

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2

B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-4,4]

圖2 第6題圖

7.若a>b>1,0

A.ac

C.abc

8.某四棱錐的底面為正方形,頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心,該四棱錐內(nèi)有一個半徑為1的球,則該四棱錐的表面積的最小值是( ).

A.16 B.8 C.32 D.24

二、多選題:本大題共4小題,共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求.

9.如圖3,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是線段AD1上的動點(diǎn),則下列命題正確的是( ).

A.異面直線C1P與CB1所成角的大小為定值

B.三棱錐D-BPC1的體積是定值

C.直線CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值

D.若點(diǎn)Q是線段BD上動點(diǎn),則直線PQ與A1C不可能平行

圖3 第9題圖

10.已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,g(x)=f(x)-ax(a∈R),則( ).

A.f(x)有兩個極值點(diǎn)

B.f(x)的圖象與x軸有三個交點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.若g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則a≥-1

11.已知拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是C上的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則( ).

A.l的方程為y=-1

B.若方程kf(x)=x2恰好只有一個實(shí)數(shù)根,則k<0

C.若x1>x2>0,總有m[g(x1)-g(x2)]>f(x1)-f(x2)恒成立,則m≥1

三、填空題:本大題共4小題,共20.0分

13.(x2-x+2)5的展開式中x3的系數(shù)為____.

14.已知圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,點(diǎn)P是直線y=4上的動點(diǎn),過P作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則|AB|的最小值為____.

15.已知函數(shù)f(x)=x3+mx,若f(ex)≥f(x+1)對x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____.

四、解答題:本大題共6小題,共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2-bn.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

(1)求△ABC外接圓的半徑;

(2)若c=3,求△ABC的面積.

19.如圖4,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F分別是CC1,BC的中點(diǎn),AE⊥A1B1,D為棱A1B1上的點(diǎn).

圖4 第19題圖

(1)證明:DF⊥AE;

20.某劇場的座位數(shù)量是固定的,管理人員統(tǒng)計(jì)了最近在該劇場舉辦的五場表演的票價xi(單位:元)和上座率yi(上座人數(shù)與總座位數(shù)的比值)的數(shù)據(jù),其中i=1,2,3,4,5,并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如圖5的散點(diǎn)圖:

圖5 第20題圖

(1)由散點(diǎn)圖判斷y=bx+a與y=clnx+d哪個模型能更好地對y與x的關(guān)系進(jìn)行擬合(給出判斷即可,不必說明理由),并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程;

(2)根據(jù)(1)所求的回歸方程,預(yù)測票價為多少時,劇場的門票收入最多.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)已知Q(0,-2),D為PQ的中點(diǎn),作PQ的平行線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線AQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)M,直線BQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)N,證明:M,N,D三點(diǎn)共線.

22.已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-sinx.

參考答案

1.由Venn圖可知,陰影部分的元素由屬于集合A但不屬于集合B的元素構(gòu)成,所以陰影部分表示的集合為A∩(UB).因?yàn)榧蟄=R,A={x|1

故選D.

故選B.

圖6 第3題解析圖

故選B.

故選B.

故選C.

故選D.

7.因?yàn)閍>b>1,0bc,故A錯誤.

因?yàn)閍>b>1,0ba>bb.

即alogbc

因?yàn)閍>b>1,0

即abc>bac,故C錯誤.

因?yàn)閍>b>1,0logbc,故D錯誤.

故選B.

設(shè)t=h-2>0,可得h=t+2.

故選C.

9.因?yàn)镃B1⊥BC1,CB1⊥AB,BC1∩AB=B,所以CB1⊥平面ABC1D1.又C1P?平面ABC1D1,得CB1⊥C1P,所以異面直線C1P與CB1垂直,選項(xiàng)A正確.三棱錐D-BPC1以BDC1為底面,因?yàn)锳D1∥平面BDC1,所以點(diǎn)P到平面BDC1的距離為定值,故三棱錐D-BPC1的體積是定值,選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)C在平面ABC1D1的射影是定點(diǎn)(BC1與B1C的交點(diǎn)),線段CP長度顯然隨位置變化而變化,故直線CP和平面ABC1D1所成的角的正弦在變化,角的大小不是定值,選項(xiàng)C錯誤.

故選AB.

圖7 第9題解析圖

10.已知f(x)=x3-x+1,則f′(x)=3x2-1.

令f′(x)=3x2-1=h(x),得h′(x)=6x=0,得x=0,此時f(0)=1,得曲線y=f(x)的對稱中心為(0,1),故C項(xiàng)正確.

由g(x)=f(x)-ax,得g′(x)=f′(x)-a=3x2-1-a,若g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,即g′(x)<0有解,得a>3x2-1有解,等價于a>(3x2-1)min,則a>-1,故D項(xiàng)錯誤.

故選AC.

故選BC.

圖8 第11題解析圖

圖9 第12題解析圖

故選ACD.

14.圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,

即(x-2)2+(y-1)2=4.

圖10 第14題解析圖

如圖10,由于PA,PB分別切圓C于點(diǎn)A,B,則|PA|=|PB|,CA⊥PA,CB⊥PB,所以S四邊形APBC=2S△ACP=|CA|·|PA|.

因?yàn)閨CA|=|CB|=r=2,所以S四邊形APBC=2|PA|.

所以|AB|最短時,|CP|最短,點(diǎn)C到直線y=4的距離即為|CP|的最小值,所以|CP|min=3.

15.令y=ex-(x+1),所以y′=ex-1.顯然當(dāng)x>0時,y′>0,則y在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時,y′<0,則y在(-∞,0)上單調(diào)遞減.即x=0時取得最小值ymin=0,故ex≥x+1恒成立.

若f(ex)≥f(x+1)對x∈R恒成立,則f(x)在R上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0恒成立,f′(x)=3x2+m≥0,m≥-3x2,又(-3x2)max=0,故m≥0.

故答案為[0,+∞).

(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0.

如圖11,因?yàn)橹本€l與橢圓E相切,所以△=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)=0,解得4k2=b2-1.

圖11 第16題解析圖

即m=2n.

17.(1)由題知,a1=1,an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

所以an=1+(n-1)×2=2n-1.

當(dāng)n=1時,b1=S1=2-b1,所以b1=1.

當(dāng)n≥2時,Sn=2-bn,

①

Sn-1=2-bn-1.

②

由①-②,得bn=-bn+bn-1.

利用分組求和可得,

整理,得b2+c2-a2=-bc.

所以由余弦定理,得

解得b=1或b=-4(舍).

19.(1)因?yàn)锳E⊥A1B1,A1B1∥AB,

所以AE⊥AB.

又因?yàn)锳A1⊥平面ABC,AB?平面ABC,

所以AA1⊥AB.

又AA1∩AE=A,AA1,AE?平面A1ACC1,

所以AB⊥平面A1ACC1.

圖12 第19題解析圖

又因?yàn)锳C?平面A1ACC1,所以AB⊥AC.

所以AB,AC,AA1兩兩垂直.

所以DF⊥AE.

令x=3,則y=1+2λ,z=2(1-λ).

則n=(3,1+2λ,2(1-λ)).

所以當(dāng)D為A1B1中點(diǎn)時滿足要求.

20.(1)y=clnx+d能更好地對y與x的關(guān)系進(jìn)行擬合.

設(shè)z=lnx,先求y關(guān)于z的線性回歸方程.

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=-0.5lnx+3.2.

(2)設(shè)該劇場的總座位數(shù)為M,由題意得門票收入為M(-0.5xlnx+3.2x),設(shè)函數(shù)f(x)=-0.5xlnx+3.2x,則f′(x)=-0.5lnx+2.7,當(dāng)f′(x)<0,即x>e5.4時,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)f′(x)>0,即0

故預(yù)測票價為220元時,劇場的門票收入最多.

(2)因?yàn)镻(4,2),Q(0,-2),D為PQ的中點(diǎn),所以D(2,0),kPQ=1.

設(shè)直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN),

所以kMN=kMD.

故M,N,D三點(diǎn)共線.

22.(1)由題意得:函數(shù)定義域?yàn)?-1,+∞).

令g(x)=(x+1)cosx,則

g′(x)=cosx-(x+1)sinx.

g′(x)=cosx[1-(x+1)·tanx].

所以a≤[g(x)]min=0.

即a的取值范圍為(-∞,0].

當(dāng)x>e-1時,ln(x+1)>lne=1≥sinx,所以f(x)>0在(e-1,+∞)上恒成立.

f(e-1)=1-sin(e-1)>0,