◎ 李志鵬

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱《2020 修訂版課標(biāo)》）將數(shù)學(xué)建模作為高中六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光分析和解決生活中實(shí)際問題的能力。數(shù)學(xué)建模單列為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)主題，卻與函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率等知識(shí)緊密聯(lián)系，起到整合、融會(huì)、運(yùn)用的作用。數(shù)學(xué)建模是學(xué)生必備的關(guān)鍵能力，也是學(xué)生適應(yīng)今后社會(huì)發(fā)展的需要。［1］

在“雙新”背景下，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)不應(yīng)成為數(shù)學(xué)應(yīng)用問題求解的教學(xué)，而要讓學(xué)生感受生活中實(shí)際問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用題的區(qū)別。實(shí)際問題在解決過程中會(huì)出現(xiàn)諸多干擾因素和不確定因素，甚至問題和條件可能都是不明確的，學(xué)生需要在建模過程中自主探究。我們期望通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可以解決的數(shù)學(xué)問題的能力，在此基礎(chǔ)上，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的價(jià)值和意義。

如何以學(xué)生為中心、關(guān)注學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)、落實(shí)教學(xué)基本要求，本文以“雨中行”一課為例進(jìn)行了初步探索。

一、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)教學(xué)分析

對(duì)剛接觸數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)選取學(xué)生熟悉的生活情境。在雨中淋雨行走，大多數(shù)學(xué)生可能體驗(yàn)過，但他們不一定會(huì)深入思考減少淋雨量的策略，這就能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究熱情?？紤]到學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，雨中行問題主要涉及簡單的函數(shù)模型，在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決該問題，因此選擇“雨中行”作為數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的課題。

（一）教材分析

本節(jié)課是滬教版高中數(shù)學(xué)教材必修第四冊(cè)第一部分?jǐn)?shù)學(xué)建模活動(dòng)案例中的最后一課。教材完整地呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的各環(huán)節(jié)，搭建了較完備的探究框架，但較之前的課例保留了更多空白以便于學(xué)生自行探究、思考和分析，對(duì)于剛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的學(xué)生提出了更高的要求。

教材中出現(xiàn)了較多的幾何模型抽象與函數(shù)模型推導(dǎo)，是學(xué)生不易于理解的，有必要重新設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生理清問題，克服學(xué)習(xí)過程中的畏難情緒。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在第一階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)建模引論課及兩個(gè)建模實(shí)例，掌握了數(shù)學(xué)建模的一般流程和方法，對(duì)于“雨中行”的建模活動(dòng)有良好的知識(shí)和能力基礎(chǔ)，但對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的轉(zhuǎn)化仍是學(xué)生比較薄弱的地方。

（三）教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)指出要培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際情景中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力，其關(guān)鍵在于確定研究的問題和研究對(duì)象是什么，進(jìn)而分析影響研究對(duì)象的相關(guān)因素，然后將主要的因素用參數(shù)表達(dá)，將次要的或干擾因素通過合理的假設(shè)忽略，這一過程是讓學(xué)生抓住問題的本質(zhì)。由于現(xiàn)實(shí)問題是非常復(fù)雜的，學(xué)生難以把握，需要教師的引導(dǎo)和幫助，本環(huán)節(jié)是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)還指出要培養(yǎng)學(xué)生檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃侠硇?、將?shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)化為生活結(jié)論的能力。通過教學(xué)，幫助學(xué)生養(yǎng)成反思和檢驗(yàn)的習(xí)慣，進(jìn)一步的層次還可以提高至對(duì)模型的改進(jìn)和優(yōu)化。根據(jù)數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)果還要與生活聯(lián)系起來，從而對(duì)生活產(chǎn)生指導(dǎo)和啟發(fā)，這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模興趣的關(guān)鍵。

根據(jù)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的要求和教學(xué)基本要求，筆者制定以下教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)。

（1）通過對(duì)實(shí)際情境的分析，提出問題，找到解決問題的相關(guān)因素，設(shè)置合理假設(shè)，建立雨中行策略的初步模型并在此基礎(chǔ)上改進(jìn)；

（2）經(jīng)歷“雨中行”建?；顒?dòng)的全過程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問題中的作用。

教學(xué)重點(diǎn)：針對(duì)情境提出問題并分析影響問題的相關(guān)因素，建立雨中行走的淋雨量模型。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：明確影響淋雨量的主要因素，設(shè)置合理的假設(shè)，改進(jìn)淋雨量模型。

二、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)教學(xué)實(shí)踐

教師首先復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)建模的主要流程，讓學(xué)生回憶建模的步驟。本節(jié)課主要圍繞建模的主要環(huán)節(jié)依次展開（見圖1）。

圖1 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

情境取自一件真實(shí)的事：老師要去校門口取信件，走到圖書館附近突然下起了雨，由于沒帶雨傘，不得不淋雨走一段路。在這個(gè)過程中，你能提出怎樣的問題?

設(shè)計(jì)意圖：通過自由提問環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題的素養(yǎng)。從學(xué)生提出的問題中歸納共性——希望老師的淋雨量盡可能少，并有小組指出跑得越快越好，有小組不同意此看法，進(jìn)而發(fā)起是否同意“跑得越快淋雨量越小”這一觀點(diǎn)的線上投票，直觀地反映不同小組成員之間的認(rèn)知矛盾，造成沖突。

兩個(gè)小組的學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，說出了各自的理由，但并不充分。因此有必要通過數(shù)學(xué)建模來研究“如何制定行走策略，盡量減少淋雨量”。學(xué)生體會(huì)到利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的重要意義。

（二）分析因素，設(shè)置假設(shè)

要減少雨中行走的淋雨量，則要建立描述淋雨量的數(shù)學(xué)模型，需要先分析影響淋雨量大小的因素。

【活動(dòng)】 小組討論分析影響淋雨量大小的因素，將結(jié)果寫下來并貼在黑板上。

小組1：風(fēng)速、行走速度、風(fēng)向、遮擋物。

小組2：降雨量、雨速、距離。

小組3：下雨量、人相對(duì)地面的速度、投影面積。

小組4：行走速度。

小組5：體型、風(fēng)速、行走速度、降雨量、路程。

設(shè)計(jì)意圖：直觀上給出影響淋雨量的因素，對(duì)學(xué)生來說并不困難，但更需要具體說明每個(gè)因素對(duì)淋雨量大小可能產(chǎn)生怎樣的影響。通過這個(gè)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，找到各個(gè)因素與淋雨量之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而為構(gòu)建描述淋雨量大小的模型作鋪墊，例如，淋雨量與某一因素在模型中可能成正比，還是成反比？讓學(xué)生把握因素與結(jié)果之間的關(guān)系。

從學(xué)生討論的結(jié)果可以看到，有些因素出現(xiàn)的頻率很高，自然地讓學(xué)生分析主要因素和次要因素，忽略次要因素的影響，降低建立模型的難度。

真實(shí)生活中，影響淋雨量的主要因素（人的行走速度、風(fēng)速與風(fēng)向、人體的形狀、降雨強(qiáng)度）中有一些是在時(shí)刻變化的，這為建立模型帶來困難，有必要設(shè)置合理的假設(shè)，將實(shí)際問題簡化。

【問題】 為建立描述淋雨量的模型，需要作哪些假設(shè)？

小組2：人體有凹凸，難以計(jì)算跟雨水的接觸面積，因此假設(shè)人是一個(gè)長方體。

小組4：假設(shè)人勻速直線行走，風(fēng)速和風(fēng)向不變化。

小組6：假設(shè)雨勢不變，雨不會(huì)突然變大或變小。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能夠利用控制變量、理想模型等方法簡化問題，但在設(shè)置假設(shè)時(shí)，仍然請(qǐng)學(xué)生充分地說明理由，討論假設(shè)的合理性，是否符合生活實(shí)際。同時(shí)也要讓學(xué)生理解，后續(xù)建立的數(shù)學(xué)模型是基于當(dāng)前假設(shè)的結(jié)果，如果假設(shè)調(diào)整，模型一般也會(huì)相應(yīng)變化。

根據(jù)主要因素和設(shè)置的假設(shè)設(shè)定參數(shù)，如表1 所示。

表1 淋雨量模型參數(shù)表

本環(huán)節(jié)的最后，組織學(xué)生思考并討論從數(shù)學(xué)的角度，怎樣描述淋雨量。該問題旨在幫助學(xué)生分析理解建模的對(duì)象如何量化，即明確用何物理量來刻畫淋雨量。

【問題】 從數(shù)學(xué)的角度，怎樣描述淋雨量?

小組3：可以計(jì)算雨滴滴在身上的數(shù)量，但較難計(jì)算，可以算淋雨的體積。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)明確了淋雨量為行走的總時(shí)間內(nèi)落在身上的雨水體積Q（m3）。培養(yǎng)學(xué)生將提出的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，知道如何確定參數(shù)，并且理解參數(shù)的意義。

（三）建立模型，求解模型

首先建立頭頂?shù)牧苡炅磕Ｐ?，這部分是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)。學(xué)生將落在身上的雨水“量化”是很困難的，也十分抽象。為了讓學(xué)生直觀感受雨水落在頭頂?shù)倪^程，教師設(shè)置了課堂演示實(shí)驗(yàn)，如圖2 所示。

圖2 頭頂淋雨量演示實(shí)驗(yàn)

【演示實(shí)驗(yàn)】 長方體紙盒在“雨水”中靜止，觀察頭頂淋雨的情況。

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)落在頭頂?shù)挠晁谝粋€(gè)長方體內(nèi)，為計(jì)算淋雨量需明確長方體的體積。長方體的底面是wd，高度是雨豎直下落的速度vr（m/s）乘以1s，而長方體中真實(shí)的雨滴體積還需乘以降雨強(qiáng)度系數(shù)p（即雨滴的密度），從而自然地引入描述降雨強(qiáng)度的兩個(gè)方面，也解決了學(xué)生指出“雨勢大小”這一因素卻不知道如何描述的困惑。

學(xué)生能在實(shí)驗(yàn)情境中抽象出幾何圖形，建立圖形與實(shí)物的關(guān)聯(lián)并分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而建立描述頭頂淋雨量的數(shù)學(xué)模型。

經(jīng)由小組合作探究，學(xué)生自主得到有風(fēng)和人運(yùn)動(dòng)條件下頭頂?shù)牧苡炅?，仍由式?）給出。根據(jù)模型得出跑得越快淋雨量越小的結(jié)論。由此實(shí)現(xiàn)了淋雨量由“物”到“量”的轉(zhuǎn)化。

（四）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，改進(jìn)模型

建立初步模型后，本節(jié)課的又一難點(diǎn)是改進(jìn)模型。學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型后，往往就結(jié)束了建模的全部工作，忽視對(duì)模型的檢驗(yàn)。為了在課堂上檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，教師設(shè)計(jì)了“無風(fēng)雨中行走實(shí)驗(yàn)”。實(shí)驗(yàn)分為三組：一組學(xué)生頭頂紙板分別快跑和慢走，二組學(xué)生將紙板擋在身體前面分別快跑和慢走，三組學(xué)生將紙板擋在背部分別快跑和慢走。

學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)視頻和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了頭頂結(jié)論的合理性，并發(fā)現(xiàn)在無風(fēng)雨中行走過程中前胸的淋雨量非常多，由此提出建立只考慮頭頂淋雨的模型不合乎實(shí)際，需要改進(jìn)模型考慮身體前后的淋雨量。在建立頭頂淋雨量模型的基礎(chǔ)上，學(xué)生合作得到不同條件下的改進(jìn)模型，如表2 所示。

表2 不同條件下頭頂及身體前后的淋雨量

設(shè)計(jì)意圖：通過此實(shí)驗(yàn)，解決了學(xué)生的兩個(gè)問題：已經(jīng)建立的模型合乎實(shí)際嗎？如果要改進(jìn)模型，改進(jìn)的方向又是什么？經(jīng)過探究，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果、完善模型的素養(yǎng)，培育學(xué)生在研究問題時(shí)要善于反思、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的精神品質(zhì)。

（五）解析模型，得出結(jié)論

建立改進(jìn)的模型后，教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論。在現(xiàn)有假設(shè)的基礎(chǔ)上，根據(jù)建立的淋雨量模型和函數(shù)草圖，發(fā)現(xiàn)順風(fēng)行走且dvr＜hvw情形下，v＞vw時(shí)增加行走速度，淋雨量反而會(huì)更多，將數(shù)學(xué)的結(jié)論回歸到生活實(shí)際中，解決了雨中行走減小淋雨量策略的問題。

針對(duì)雨中行走問題，雖然在很多條件下都得到“跑得越快，淋雨量越少”的結(jié)論，但教師在教學(xué)過程中還是提醒學(xué)生，雨天路滑，應(yīng)該在保證安全的前提下盡可能走快來減少淋雨量，將德育有機(jī)地融入數(shù)學(xué)建模課堂，落實(shí)安全教育和生命教育。

（六）課堂小結(jié)，布置作業(yè)

師生共同進(jìn)行課堂小結(jié)，學(xué)生交流了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的心得，教師布置開放性的探究作業(yè)。

【作業(yè)】 針對(duì)建立的淋雨量模型，還能做出哪些改進(jìn)或探究？請(qǐng)同學(xué)以小組為單位，把問題提出來并嘗試解決，完善本次數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)報(bào)告。

設(shè)計(jì)意圖：通過作業(yè)培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作研究、類比探究、問題推廣的能力，積累探究經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)到探索的樂趣。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)不應(yīng)片面地追求教給學(xué)生復(fù)雜、高深的數(shù)學(xué)模型。把握問題的本質(zhì)，分析、厘清影響問題的因素，設(shè)置必要且合理的假設(shè)，對(duì)學(xué)生來說也很重要，也往往是困難的。特別是學(xué)生不熟悉的情境，教師要在這一環(huán)節(jié)給予學(xué)生必要的幫助和指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生思考每個(gè)因素與所研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，甚至在一些問題中要考慮因素與因素之間的相互影響，更要兼顧假設(shè)，既符合生活實(shí)際，又利于問題的解決。這樣能有效地培養(yǎng)學(xué)生思考問題和分析問題的能力，抓住問題的關(guān)鍵。

在開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)，可以設(shè)計(jì)一定的實(shí)驗(yàn)或活動(dòng)，幫助學(xué)生理解建模環(huán)節(jié)中抽象的部分。例如，本例中的淋雨量、車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的內(nèi)輪差、家具搬運(yùn)時(shí)卡在墻角的條件，等等，都可以讓學(xué)生從實(shí)踐中獲得相應(yīng)的認(rèn)識(shí)，也能增加數(shù)學(xué)建模過程的趣味性和生動(dòng)性。

在進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)時(shí)，我們往往從模型出發(fā)，得到相應(yīng)的結(jié)論，但有時(shí)能否借生活中的“經(jīng)驗(yàn)”“結(jié)果”，經(jīng)由數(shù)學(xué)建模，探究其原因呢？例如，在合適的雨天讓學(xué)生穿上雨衣，先開展雨中行走實(shí)驗(yàn)，探索減少淋雨量的行走策略，找到規(guī)律，然后建模分析原因，用數(shù)學(xué)工具來解釋“經(jīng)驗(yàn)結(jié)論”，再用數(shù)學(xué)結(jié)論指導(dǎo)實(shí)踐，優(yōu)化行走策略使淋雨量更小，形成一個(gè)探究閉環(huán)，學(xué)生能真切感受到數(shù)學(xué)指導(dǎo)生活的重要作用。

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)要更加關(guān)注學(xué)生的活動(dòng)和參與度，通過合適的選題，讓學(xué)生充滿探究興趣，沉浸在整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程中，積極發(fā)問，勇于思考，敢于提出新的想法和觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的價(jià)值和意義。