采用聯(lián)合算法識別人-橋耦合系統(tǒng)時變模態(tài)參數(shù)

方露，彭佳敏

（福建農(nóng)林大學(xué)交通與土木工程學(xué)院，福州 350002）

0 引言

在人致激勵下，人行橋的頻率和阻尼比不可避免地會發(fā)生變化[1]，這使得其在服役過程中存在嚴重的安全隱患。為監(jiān)控服役期間人行橋的安全狀態(tài)，需對其頻率和阻尼比進行識別。獲得自由衰減振動信號是識別人行橋時變模態(tài)參數(shù)的首要工作。當人行橋受到近似周期性激勵時，其響應(yīng)信號由強迫振動分量和自由衰減振動分量兩個部分構(gòu)成[2]。因此，通過解析模態(tài)分解（Analytical Mode Decomposition,AMD）[3]等分解方法可以獲取自由衰減振動信號[4]。然而，受測量方法和噪聲的影響，自由衰減振動信號的獲取結(jié)果可能存在失真情況，這導(dǎo)致阻尼診斷結(jié)果相對頻率的識別結(jié)果而言偏差較大[5]。為此，本文引入差分自回歸移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA）[6]對失真處的信號進行預(yù)測。目前，基于自由衰減振動信號識別結(jié)構(gòu)時變阻尼比的主要方法有連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform,CWT）[7]和同步擠壓小波變換（Synchrosqueezing Wavelet Transform,SWT）[8]等。然而，CWT在低頻信號的處理過程中頻率分辨率較低[9]，從而降低了阻尼比識別結(jié)果的精度。雖然SWT通過同步擠壓操作可以提高頻率分辨率，但也會造成對數(shù)形式的SWT系數(shù)模值曲線產(chǎn)生不平穩(wěn)現(xiàn)象，從而影響了阻尼比的識別效果。作為一種新的瞬時頻率識別方法，多重同步提取變換（Multi-Synchrosqueezing Extracting Transform, MSSET）[10]不僅擁有較高的時頻分辨率，而且具有穩(wěn)定的時頻系數(shù)模值。因此，本文基于AMD、ARIMA和MSSET算法提出了一種識別人-橋耦合系統(tǒng)時變模態(tài)參數(shù)的聯(lián)合方法。通過人橋耦合數(shù)值算例和華威人行試驗橋?qū)λ岱椒ㄟM行了驗證。研究表明：聯(lián)合方法可以有效解決多種因素下自由衰減振動信號提取結(jié)果不準確的問題。此外，該方法識別的瞬時頻率和時變阻尼比曲線可以清晰地表征行人空間位置變化對鋼-混組合人行橋頻率和阻尼比的變化趨勢。

1 聯(lián)合方法

聯(lián)合方法結(jié)合了AMD、ARIMA和MSSET等算法。首先，通過AMD從人-橋耦合系統(tǒng)響應(yīng)信號中分解出人行橋在人行荷載激勵下被激發(fā)的模態(tài)分量信號。當人行橋作受迫振動時，AMD分解獲得的模態(tài)分量信號即為自由衰減振動分量信號。然后，根據(jù)時頻方法識別的瞬時頻率和對數(shù)時頻系數(shù)模值曲線的結(jié)果，判斷并舍棄自由衰減振動信號中失真的部分。在此之后，采用ARIMA預(yù)測該失真部分的信號。最后，結(jié)合MSSET識別第一階豎向模態(tài)振型分量信號和自由衰減振動信號的MSSET系數(shù)及瞬時頻率，再將MSSET系數(shù)模值以對數(shù)的形式表示并推導(dǎo)瞬時頻率、MSSET系數(shù)模值與阻尼比三者之間的函數(shù)關(guān)系，從而最終估算出系統(tǒng)的時變阻尼比。其中，有關(guān)AMD、ARIMA和MSSET的詳細內(nèi)容可參考文獻[3]、[6]和[10]，在此不再贅述。本文主要闡述瞬時頻率、MSSET系數(shù)模值與阻尼比三者之間函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過程。

在t時刻有阻尼的單自由度振動系統(tǒng)的自由衰減振動幅值信號為XA（t）=Aef0 t，（f0=－ξωn），將XA（t）經(jīng)過MSSET后得到的MSSET系數(shù)如式（1）所示：

式中，g贊ω（·）為緊支高斯窗函數(shù)gω（·）的傅里葉變換。

由于MSSET提取的結(jié)果為瞬時頻帶而非時頻脊線，因此，本文引入模極大值法求取MSSET的時頻脊線，如式（2）所示：

式中，k為時頻圖中頻率軸的最大值，c為MSSET系數(shù)矩陣的維數(shù)，P（t，η）為TMSSET（t，η）的模極大值。

在得到MSSET系數(shù)和瞬時頻率之后，人-橋耦合系統(tǒng)時變阻尼比的具體估算過程如下。

在式（1）中，當ω=f0時，g贊（ω－f0）=1。此時，可得

將式（3）左右兩邊先同時取絕對值，再將其結(jié)果以對數(shù)形式表示，如式（4）所示：

式（4）兩邊同時對時間t求導(dǎo)，可得時頻系數(shù)、瞬時頻率和阻尼比之間的函數(shù)關(guān)系，如式（5）所示：

式中，ωMSSET為人-橋耦合系統(tǒng)的瞬時圓頻率。

2 數(shù)值算例驗證

2.1 人-橋耦合有限元模型的建立

2.1.1 連續(xù)步行荷載模型

本文采用傅里葉級數(shù)表示具有近似周期性的連續(xù)步行荷載模型[11]。為符合我國國民的體質(zhì)，本文行人模型的體重和步頻參數(shù)根據(jù)文獻[12]分別選取626.34 N和1.77 Hz。最終模擬的連續(xù)步行激勵荷載曲線如圖1所示。根據(jù)參考文獻[11]，人行橋上所施加的連續(xù)步行激勵如式（6）和圖2所示。

圖1 連續(xù)步行激勵荷載曲線

圖2 連續(xù)步行激勵豎向加速度曲線

式中：Fh為連續(xù)步行荷載，N；W為行人體重，N；g為重力加速度。

2.1.2 人-橋耦合模型

通過ABAQUS建立連續(xù)鋼-混凝土組合人行橋模型，如圖3所示。該人行橋總跨長為16 m，共兩跨，每跨8 m，橋面凈寬為1.6 m，板內(nèi)布置雙層鋼筋網(wǎng)，布置情況均為?8@200 mm。人行橋中的主梁和橫梁均采用H型鋼梁。鋼筋和混凝土面板的彈性模量E和泊松比等材料參數(shù)如表1所示。

表1 鋼筋混凝土面板材料參數(shù)

圖3 鋼-混組合人行橋有限元模型

通過ABAQUS計算獲得人行橋的一階和二階豎向彎曲模態(tài)頻率分別為9.816 Hz。根據(jù)規(guī)范ISO 10137，將鋼-混組合人行橋模型的阻尼比設(shè)定為0.6%[13]。

在人-橋耦合系統(tǒng)中，行人應(yīng)作為一個獨立的動力系統(tǒng)依附在人行橋上。根據(jù)文獻[14]，本文通過彈簧阻尼器連接兩個不同的質(zhì)量塊建立SMD人體模型。行人模型的剛度設(shè)為14.11 kN/m，阻尼比為0.3[15]。將質(zhì)量塊與橋面之間的摩擦因數(shù)設(shè)為0。為防止行人模型行進時發(fā)生穿刺現(xiàn)象，將行人模型與橋面的法向?qū)傩远x為硬接觸以此實現(xiàn)人橋耦合，如圖4所示。然后，設(shè)定人體模型以1 m/s沿縱橋方向勻速行進，將隱式動力分析步中默認施加的重力加速度替換為式（6）中的豎向加速度Ah。

圖4 人-橋耦合有限元模型

2.2 數(shù)值算例結(jié)果

設(shè)定分析步時間間隔為2 ms，對組合人行橋進行隱式動力分析，提取鋼-混組合人行橋左側(cè)跨中的加速度響應(yīng)信號，如圖5所示。從圖5可以觀察到行人剛進入人行橋時產(chǎn)生了較大的沖擊，然后隨著行人的行進響應(yīng)逐漸增大，當行至跨中位置時達到頂峰，隨后逐漸減小。對鋼-混組合人行橋響應(yīng)信號進行快速傅里葉變換，結(jié)果如圖6所示。在圖6中，0～9 Hz范圍內(nèi)的5個分量信號為5個強迫振動分量信號，而在9～12 Hz區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的信號為人行橋一階豎向彎曲模態(tài)振型的分量信號。根據(jù)文獻[2]、[4]可知該信號也為自由衰減振動分量信號（圖6中方框）。選取截止頻率為9.6 Hz和13 Hz，采用AMD分解獲得的自由衰減振動分量信號如圖7所示。

圖5 鋼-混組合人行橋響應(yīng)信號

圖6 鋼-混組合人行橋響應(yīng)信號FFT幅值圖

圖7 AMD分解獲得的自由衰減振動響應(yīng)信號

通過觀察圖7可知：在14～16 s區(qū)域，自由衰減振動響應(yīng)信號并未較好地呈現(xiàn)出遞減的現(xiàn)象，其原因是受到了提取方法的限制以及結(jié)構(gòu)阻尼衰減的影響。為解決此問題，本文采用ARIMA對14～16 s區(qū)域的信號進行預(yù)測，其最終得到的預(yù)測模型為ARIMA（19, 0, 0），預(yù)測的自由衰減振動分量信號如圖8所示。通過對比圖7和8可知：圖8在14～16 s區(qū)域中信號衰減的現(xiàn)象更為明顯。

圖8 預(yù)測后鋼-混組合人行橋自由衰減振動響應(yīng)信號

采用附加移動質(zhì)量法獲得人行橋固有頻率理論值[11]，設(shè)定每次移動的距離為1000 mm，最終得到圖9和10中黑色實線所示的理論固有頻率曲線。將AMD分解出的自由衰減振動信號和預(yù)測后的自由衰減振動信號分別進行CWT、SWT、SET和MSSET處理得到系統(tǒng)的瞬時頻率曲線，如圖9和10所示。從圖9可知：CWT（十字實線）和SWT（菱形點線）識別的瞬時頻率曲線無法反映人行橋在服役狀態(tài)下的時變特性，而SET（菱形虛線）和MSSET（圓形虛線）識別的結(jié)果可以很好地表現(xiàn)出時變特性，其中MSSET的效果最佳（圖9矩形框）。對比圖9與10可知：圖10在14～16 s區(qū)域中各算法識別的頻率結(jié)果與理論值更為吻合（圖10矩形框所示）。

圖9 預(yù)測前鋼-混組合人行橋瞬時頻率

圖10 預(yù)測后鋼-混組合人行橋瞬時頻率

對AMD分解獲得的自由衰減振動信號及其預(yù)測后信號分別進行CWT、SWT、SET和MSSET處理，提取各算法時頻系數(shù)模值并以對數(shù)形式表示，如圖11和圖12所示。在圖11和圖12中，除了在14～16 s區(qū)域外，相比SWT，CWT、SET和MSSET均較好地保持了對數(shù)時頻系數(shù)模值的穩(wěn)定性。然后，通過線性最小二乘擬合對數(shù)時頻系數(shù)模值曲線，如圖11和圖12中虛線所示。

圖11 預(yù)測前時頻系數(shù)對數(shù)模值圖及其擬合曲線

圖12 預(yù)測后時頻系數(shù)對數(shù)模值圖及其擬合曲線

在獲取各算法識別的瞬時頻率和對數(shù)時頻系數(shù)模值之后，根據(jù)式（5）估算人-橋耦合系統(tǒng)的時變阻尼比，如圖13和14所示。從圖13和圖14可以得知：除14～16 s之外的時間范圍內(nèi)，MSSET和SET的識別結(jié)果精度高于CWT和SWT的識別結(jié)果，即MSSET和SET的識別結(jié)果與理論阻尼比值（理論阻尼比值為0.6%）更為接近，其中MSSET的識別結(jié)果略高于SET的識別結(jié)果（圖13矩形框所示）。此外，從圖13和14可以觀察到：行人在行進時，阻尼比在逐漸增大。當行人行至各跨跨中時，阻尼比值達到峰值，隨后又在逐漸減小。通過對比圖13與圖14可知：圖14在14～16 s區(qū)域中各算法識別的時變阻尼比結(jié)果與理論值更為吻合（圖14矩形框所示）。

圖13 預(yù)測前鋼-混組合人行橋時變阻尼比

圖14 預(yù)測后鋼-混組合人行橋時變阻尼比

3 試驗驗證

在本節(jié)中，采用文獻[16]提供的華威橋試驗數(shù)據(jù)來證明聯(lián)合方法的有效性。華威橋是單跨鋼-混組合人行橋，全長19.9 m，橋體由混凝土面板和兩根H型鋼梁組成。該橋在一階豎向彎曲模態(tài)振型下的頻率為2.4 Hz，模態(tài)阻尼比為0.3%[16]。試驗時，測試者在華威橋上近似勻速行走，使其位置隨時間而變化，從而實現(xiàn)了人-橋耦合系統(tǒng)的時變特性。此次試驗采用QA加速度傳感器和NI9234采集卡獲取步行激勵下人行橋垂直方向的加速度，采樣頻率為100 Hz。

本文截取測試者返程時走過全橋的加速度信號，時長約為11 s，如圖15所示。從圖15可知：當行人逐漸行至跨中時，華威橋的響應(yīng)逐漸增大并在跨中位置達至頂峰，隨后逐漸減小。將其響應(yīng)信號經(jīng)過CWT處理得到圖16所示的小波量圖，其中處于2 Hz的分量信號為激勵信號，2.4 Hz的分量信號為人行橋受步行激勵而產(chǎn)生的一階豎向彎曲模態(tài)信號。

圖15 華威橋響應(yīng)信號

圖16 華威橋響應(yīng)信號小波量圖

選取AMD的截止頻率分別為2.2 Hz和4.0 Hz，從華威橋響應(yīng)信號中分解出圖16中2.4 Hz處的分量信號。將分解出的信號經(jīng)過CWT、SWT、SET和MSSET處理后得到該信號的瞬時頻率，如圖17所示，其中，黑色實線是根據(jù)文獻[11]求得的公式值。從圖17可以看出：相比于其他3種方法，MSSET不僅能夠更穩(wěn)定地反映出頻率隨行人空間位置發(fā)生的變化趨勢，而且具有更高的時頻分辨率。

圖17 華威橋瞬時頻率識別結(jié)果圖

文獻[16]采集的自由衰減振動信號如圖18所示。類似地，分別采用CWT、SWT、SET和MSSET處理自由衰減振動信號得到各算法時頻系數(shù)的對數(shù)模值，通過最小二乘擬合各對數(shù)模值曲線得到各曲線的斜率，如圖19虛線所示。

圖18 預(yù)測前華威橋自由衰減振動響應(yīng)信號

圖19 預(yù)測前華威橋時頻系數(shù)對數(shù)模值曲線圖及其擬合曲線

由于自由衰減振動信號末端的能量相對較小，因而容易被噪聲淹沒并產(chǎn)生一定的誤差，這導(dǎo)致CWT對數(shù)模值曲線在尾部失真。為改善此問題，通過ARIMA對85～100 s的自由衰減振動信號（如圖20）進行預(yù)測，經(jīng)計算，其預(yù)測模型為ARIMA（19, 0, 7），失真區(qū)域信號的預(yù)測結(jié)果如圖21所示。對比圖20和圖21可知，經(jīng)預(yù)測后的信號曲線更光滑，信號幅值遞減趨勢更顯著。為更好地表征目標信號，圖22給出了0～100 s的預(yù)測自由衰減振動信號。

圖20 預(yù)測前85～100 s華威橋自由衰減振動響應(yīng)信號

圖21 預(yù)測后85～100 s華威橋自由衰減振動響應(yīng)信號

圖22 預(yù)測后華威橋自由衰減振動響應(yīng)信號

類似地，將預(yù)測后的信號分別進行CWT、SWT、SET和MSSET處理，得到其時頻系數(shù)模值并以對數(shù)表示，結(jié)果如圖23所示。通過對比圖19（a）、（b）和圖23（a）、（b）圖可以觀察到：CWT和SWT處理預(yù)測后信號所得到的時頻系數(shù)對數(shù)模值曲線比未預(yù)測的結(jié)果更加理想，遞減的趨勢更趨于穩(wěn)定。然后，通過線性最小二乘擬合得到各算法對數(shù)模值曲線的斜率值，如圖23虛線所示。

圖23 預(yù)測后華威橋時頻系數(shù)對數(shù)模值曲線圖及其擬合曲線

根據(jù)式（5）估算華威橋時變阻尼比，結(jié)果如圖24和圖25所示。從圖24和圖25可知：人行橋在服役期間，其阻尼比將隨行人空間位置變化而變化；相比于其他算法，MSSET的識別結(jié)果更能清晰穩(wěn)定地體現(xiàn)出人行橋的時變模態(tài)參數(shù)隨行人空間變化而引起的變化趨勢。通過對比圖24和圖25可知：ARIMA可以顯著地改善CWT和SWT算法的阻尼比識別效果。因此，本文提出的方法不僅可以較好地解決提取自由衰減振動信號中尾部信號不夠精確的問題，而且基于該方法識別的時變模態(tài)參數(shù)具有更高的精確度。

圖24 預(yù)測前華威橋時變阻尼比曲線圖

圖25 預(yù)測后華威橋時變阻尼比曲線圖

4 結(jié)語

為更加準確地識別服役狀態(tài)下鋼-混組合人行橋的時變模態(tài)參數(shù)，本文從人-結(jié)構(gòu)相互作用的角度出發(fā)，提出了一種基于AMD、ARIMA和MSSET等算法的人-橋耦合系統(tǒng)時變模態(tài)參數(shù)聯(lián)合算法。最后，通過數(shù)值算例和步行試驗對文中方法的有效性和準確性進行了驗證。研究結(jié)果表明：聯(lián)合方法可以有效解決自由衰減振動信號提取結(jié)果不準確的問題，并且該方法識別的瞬時頻率和時變阻尼比曲線可以清晰地表征行人空間位置變化對鋼-混組合人行橋頻率和阻尼比的變化趨勢。