李智強(qiáng)　高云　王偉宇　李磊　閆明寶　范琦

摘 要 將偏振片引入楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，并討論不同組合時(shí)干涉條紋的規(guī)律，是一道很有意義的習(xí)題，然而，常見的解答———“無固定相位差”，對(duì)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠深入。本文運(yùn)用馬呂斯定律和波的疊加原理，計(jì)算了疊加后的襯比度。定量計(jì)算表明，在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，引入三個(gè)偏振片時(shí)，沒有干涉條紋的物理實(shí)質(zhì)是存在投影相位差，并且指出，在這一問題中，投影相位差是干涉條紋存在與否的決定性因素。文章物理圖像直觀，適合在課堂教學(xué)中運(yùn)用，清晰地展示投影相位差的作用，也有助于學(xué)生對(duì)光源發(fā)光機(jī)理、干涉、偏振的概念以及偏振光干涉的深入理解與運(yùn)用。

關(guān)鍵詞 楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn);偏振片;馬呂斯定律;疊加原理;襯比度;投影相位差

0 引言

光學(xué)是一門古老而新興的學(xué)科，它包含的范圍很廣。在理工類院校的大學(xué)物理課程中，主要涉及波動(dòng)光學(xué)，包括光的干涉、衍射和偏振三部分內(nèi)容，它們之間都有相互聯(lián)系。如果在教學(xué)中能設(shè)計(jì)并討論一些將它們聯(lián)系起來的問題，那將對(duì)此部分的教學(xué)產(chǎn)生很好的效果。在一些經(jīng)典的光學(xué)教材和著作[1-4]中就有一道既涉及干涉又涉及偏振的題目，例如文獻(xiàn)[2]的332頁習(xí)題6-39，其背景是著名的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，在課堂教學(xué)中討論這個(gè)題目會(huì)非常有意義，對(duì)學(xué)生深刻理解發(fā)光機(jī)理、自然光、偏振光、干涉等重要概念很有幫助。但是，上述教材和著作對(duì)于該習(xí)題第5問的解答都非常簡短，不夠明晰，老師們?cè)谡n堂上大多也采用此說法，導(dǎo)致沒有達(dá)到這道題目應(yīng)有的教學(xué)效果。

文獻(xiàn)[4]相應(yīng)的解答為：“從P1 和P2 射出的兩個(gè)垂直振動(dòng)之間不具有固定的相位關(guān)系，經(jīng)過P3 后，……它們的疊加是非相干疊加”。文獻(xiàn)[5]中給出的解答為：“通過偏振片P1、P2 的光沒有穩(wěn)定的相位關(guān)系，幕上干涉條紋消失”。概括起來就是通過偏振片P1、P2 的光沒有穩(wěn)定/固定的相位關(guān)系。針對(duì)這一情況，已有學(xué)者專門進(jìn)行了深入細(xì)致地分析和研究，大部分研究主要采用了將自然光等效為一對(duì)正交線偏振光的思想，其核心仍是上述解答中“無固定相位關(guān)系”的觀點(diǎn)[6-10]。

為此，本文應(yīng)用馬呂斯定律和波的疊加原理，從普通光源的發(fā)光機(jī)理出發(fā)，將楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的偏振干涉問題分解轉(zhuǎn)化為容易理解的矢量疊加問題，通過定量計(jì)算說明了觀察屏上的光強(qiáng)分布規(guī)律;并且提出，存在投影相位差是沒有干涉條紋出現(xiàn)的物理實(shí)質(zhì)。運(yùn)用這一方法，可以加深對(duì)發(fā)光機(jī)理、自然光、偏振光、干涉等重要概念的理解，也為大學(xué)物理教學(xué)同行提供參考。

1 理論分析

文獻(xiàn)[2]的332頁習(xí)題6-39摘錄如下（略有刪減）。圖1所示為楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置，其中O為單色自然光源，S 為單孔，S1、S2 為雙孔，本題的第5問為：在S1、S2 之前各放一偏振片P1、P2，它們的透振方向相互垂直，在幕Σ 前放置偏振片P3，其透振方向與P1、P2 的透振方向成45°角，問幕Σ 上是否有干涉條紋。

可以從兩個(gè)角度分析屏幕上是否有干涉條紋，其一為定性分析，即采用干涉條件進(jìn)行判斷，看兩光束是否滿足同頻率、同振動(dòng)方向和具有固定相位差的相干條件;其二為采用定量的方法，即計(jì)算屏幕上的光強(qiáng)分布，進(jìn)而可得襯比度，用于判斷有無干涉條紋。

由圖1裝置可知，單色自然光經(jīng)偏振片P1、P2 后，從S1、S2 雙孔透射并再經(jīng)偏振片P3 后在屏上相遇的兩束光的頻率和振動(dòng)方向相同，因此，是否有干涉條紋就僅在于是否有固定的相位差了。由于O 為單色自然光源，發(fā)光具有隨機(jī)性，因此常將自然光看作兩束相互正交（兩正交方向任意）的無固定相位關(guān)系的偏振光。這正是上述文獻(xiàn)得出屏幕上無干涉條紋的依據(jù)。顯然，這種解釋過于簡潔，不利于學(xué)生對(duì)物理概念的理解，同時(shí)，會(huì)留下一個(gè)迷惑，即自然光的這種無固定相位差的特性為什么沒有影響常規(guī)的楊氏雙縫干涉？

為了有利于教學(xué)，并解釋這個(gè)迷惑，下面將采用定量的方法進(jìn)行分析。

設(shè)光源O 發(fā)出單色自然光，平均來看，光矢量在與傳播方向垂直的平面內(nèi)對(duì)稱分布，哪個(gè)方向也不比其他方向更為優(yōu)勢(shì)。選取任意偏振方向的線偏振光（其振動(dòng)面與偏振片P1 和P2 的透振方向都不平行），某時(shí)刻這一線偏振光光矢量記為E，光矢量E 與偏振片P1、P2 和P3 的透振方向的取向關(guān)系如圖2所示。

3 討論

將單色自然光視作光矢量振動(dòng)方向在[0，2π）范圍的線偏振光時(shí)，任意光矢量振動(dòng)方向（不含與偏振片P1 和P2 的透振方向平行的方向）的線偏振光在幕上疊加時(shí)，都有著固定的相位差，而將所有方向的光矢量疊加后，幕上襯比度為0，沒有干涉條紋?？梢?，簡單的說“無固定相位關(guān)系”是沒有干涉條紋的原因是不全面的。從上面的分析計(jì)算可以看出，導(dǎo)致沒有干涉條紋出現(xiàn)的根本原因是：有一半的偏振光在P3 上投影時(shí)，有投影相位差，而另一半恰好沒有。

亦可以采取如下方式直觀的說明，式（5）給出了光矢量振動(dòng)方向?yàn)棣?的線偏振光在幕上F 的干涉條紋的光強(qiáng)，類似的，計(jì)算光矢量振動(dòng)方向?yàn)棣?θ 的線偏振光在幕上F 的干涉條紋的光強(qiáng)Iπ-θ：

可以看出，式（5）與式（9）反映的就是兩套明暗分布恰好相反的條紋，而之所以明暗分布恰好相反，正是因?yàn)樵趦蓚€(gè)方向θ 和π-θ 上，總是一個(gè)有投影相位差，另一個(gè)沒有，而幾何路徑帶來的相位差完全相同，所以在任意位置處，兩個(gè)相位差的“差”總是等于π，條紋明暗也就是相反的。

同時(shí)，形成這兩套條紋的兩束線偏振光間沒有固定相位差，所以兩套干涉條紋的疊加是非相干疊加，而且，這兩套條紋的強(qiáng)度極大值和極小值完全相同，所以，強(qiáng)度疊加后的襯比度為0。顯然，這里的θ 具有一般性，從對(duì)稱性出發(fā)，單色自然光總是可以視作這樣一對(duì)對(duì)的線偏振光，結(jié)果幕Σ上自然不會(huì)有干涉條紋。這里，若取光矢量振動(dòng)方向?yàn)棣?和-θ 的兩束線偏振光，也可以得到相同的結(jié)論。

若光矢量振動(dòng)方向恰好為P1 方向，由馬呂斯定律即可得出，沒有光波穿過狹縫S2，則在幕Σ上形成均勻場(chǎng);若恰好為P2 方向，結(jié)果是一致的，而這兩束線偏振光之間沒有固定相位關(guān)系，疊加是非相干疊加，即沒有干涉條紋。

然而，當(dāng)在單縫S 后放置一個(gè)偏振片P 時(shí)，幕上會(huì)出現(xiàn)干涉條紋，這是因?yàn)樵谄衿琍 的存在下，在幕上疊加的兩束偏振光之間是確定的投影相位差，即0或π。偏振片P 的放置相當(dāng)于從兩個(gè)可能的相位差中選擇一個(gè)，因此盡管存在投影相位差，但由于取值唯一，所以不會(huì)對(duì)條紋的襯比度產(chǎn)生影響。

另一方面，當(dāng)移除所有偏振片時(shí)，由于沒有偏振光需要在特定透振方向進(jìn)行投影，因此不存在投影相位差。這個(gè)解釋很好地解決了學(xué)生對(duì)于無固定相位差的自然光入射卻能形成干涉條紋所產(chǎn)生的困惑。因此，在偏振光的楊氏雙縫干涉問題中，投影相位差對(duì)襯比度的影響是干涉條紋存在的決定性因素。

4 總結(jié)

使用“無固定相位差”的說法解釋上述習(xí)題，指向不夠清晰，容易引起誤解。運(yùn)用投影相位差的概念解釋楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中引入三個(gè)偏振片時(shí)沒有干涉條紋的現(xiàn)象，計(jì)算過程簡潔明了，物理圖像直觀，便于理解，也適合在課堂教學(xué)中運(yùn)用。通過進(jìn)一步分析增加偏振片以及去除所有偏振片的情況，更清晰地展示投影相位差的作用，有助于學(xué)生對(duì)光源發(fā)光機(jī)理、干涉、偏振的概念以及偏振光干涉的深入理解與運(yùn)用，這樣的教學(xué)研究能夠提升教學(xué)效果，是非常有效的教學(xué)探索。

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