［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)不可能將所有題都講一遍、做一遍，想要實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通，最便捷的方式就是從不同的背景、視角來(lái)變化問題的呈現(xiàn)形式，但保持問題的本質(zhì)特征不變. 由此，變式教學(xué)應(yīng)運(yùn)而生. 研究者從“提煉并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法”與“聚攏相對(duì)分散的教學(xué)內(nèi)容”兩方面出發(fā)，談?wù)勛兪浇虒W(xué)的現(xiàn)實(shí)意義，并以“動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問題”為例，闡述如何應(yīng)用變式實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

［關(guān)鍵詞］ 變式訓(xùn)練；問題；動(dòng)態(tài)空間；幾何

變式訓(xùn)練是數(shù)學(xué)課堂常用的一種教學(xué)方式. 在日常教學(xué)中，學(xué)生自主難以將復(fù)雜、零散的知識(shí)整理成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，變式則可讓學(xué)生更好地了解知識(shí)點(diǎn)的諸多變化，幫助學(xué)生在解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，從而快速探尋到解題的突破口. 因此，這是一種教育發(fā)展的產(chǎn)物，能有效改進(jìn)教學(xué)上的一些不足，對(duì)提高教學(xué)實(shí)效，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要價(jià)值與意義.

變式教學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義

1. 提煉并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫穿學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)生涯. 多年后，學(xué)生有可能忘記當(dāng)年所學(xué)的知識(shí)與解題方法，但在學(xué)習(xí)過(guò)程中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法卻能讓其受益終身. 最常見的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等，變式教學(xué)能幫助學(xué)生更好地提煉這些思想方法，讓學(xué)生利用這些數(shù)學(xué)思想方法來(lái)分析與解決問題. 變式將不同的問題有機(jī)地融合在一起，讓學(xué)生透過(guò)問題的表象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，為后續(xù)更好地解題與學(xué)習(xí)新知夯實(shí)方法基礎(chǔ).

2. 聚攏相對(duì)分散的教學(xué)內(nèi)容

從高中知識(shí)板塊的劃分來(lái)看，它們并沒有直觀的相關(guān)性. 變式教學(xué)的應(yīng)用，則可將這些看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)聚攏起來(lái)，幫助學(xué)生更好地把握其中的規(guī)律，完善知識(shí)體系，提煉數(shù)學(xué)思想方法. 解題教學(xué)中變式的應(yīng)用，可促使學(xué)生根據(jù)問題所提供的條件提取有用的信息進(jìn)行解題，這對(duì)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的了解具有重要意義，能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.

筆者以“動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問題”為例，探討如何開展變式教學(xué)，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

1. 展示問題，提煉本質(zhì)

原題 如圖1所示，正方形ABCD和ABEF的邊長(zhǎng)均為1，平面ABCD與平面ABEF垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別于所在正方形的對(duì)角線AC，BF上移動(dòng)，始終保持CM=BN，記作CM=BN=a（0

分析 由題設(shè)條件可知，AB與BC，BE垂直，因此AB與平面CBE垂直. 因?yàn)镸N與平面CBE平行，所以AB⊥MN. 如圖5所示，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AB，P為垂足，連接NP，則AB與平面MPN垂直，所以AB⊥NP；過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥BC，Q為垂足，△MQC與△BPN均為等腰直角三角形，同時(shí)MQ=BP，所以△MQC≌△BPN，可得CM=BN. 至此，變式題1就轉(zhuǎn)化成了原題，此為“化未知為已知”的過(guò)程，即將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的問題來(lái)分析，解題得心應(yīng)手.

設(shè)計(jì)意圖 變式題1的得出，意在引導(dǎo)學(xué)生感知對(duì)于同一個(gè)問題可用不同的方式來(lái)表述，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)問題間的聯(lián)系. 雖然學(xué)生基于直觀視覺會(huì)發(fā)現(xiàn)本題和原題具有高度相似的地方，抑或具有等價(jià)的特點(diǎn)，卻礙于缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程無(wú)法直接下結(jié)論. 借助變式暴露學(xué)生的思維，可及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的優(yōu)劣點(diǎn)，以此為依據(jù)點(diǎn)撥、發(fā)展學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 同時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生“化未知為已知”，對(duì)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力、直觀想象能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想等具有重要意義.

2. 變式探究，豐富思維

變式題2 如圖6所示，已知ABEF是邊長(zhǎng)為1的正方形，弧APB為以AB為直徑的半圓，AP=BP，平面ABEF與平面ABP垂直，M，N為線段BF上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠MAN=30°，則三棱錐P-ANM體積的最小值是多少？

設(shè)計(jì)意圖 變式題3蘊(yùn)含“翻折”這個(gè)隱含條件，且該條件具備動(dòng)態(tài)特征，也就是將原本單動(dòng)態(tài)的問題轉(zhuǎn)化成多動(dòng)態(tài)的最值問題，問題變得更加復(fù)雜. 基于“化未知為已知”的思想，想要解決此類題型，最好的辦法就是將多變量轉(zhuǎn)化為單變量，基于以上探索方法從三角函數(shù)出發(fā)探索結(jié)論，一方面幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的性質(zhì)，另一方面發(fā)展學(xué)生的推理素養(yǎng). 基于類比思想的輔助，學(xué)生很快就從變式題2的解法中得到啟發(fā)獲得結(jié)論. 因此，變式題3的提出，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)搭建好了平臺(tái).

設(shè)計(jì)意圖 變式題4的應(yīng)用，意在引導(dǎo)學(xué)生在深度理解的基礎(chǔ)上構(gòu)建函數(shù)模型，為解決動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問題奠定基礎(chǔ). 學(xué)生在解題過(guò)程中，不僅體驗(yàn)了結(jié)論的形成過(guò)程，還深切體會(huì)了怎樣擇取最優(yōu)的解題方法、如何合理引入?yún)?shù)、如何應(yīng)用最簡(jiǎn)運(yùn)算方法等，這對(duì)優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力具有重要意義.

變式題5 如圖10所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，如果平面CBA外的點(diǎn)P與線段AC上的點(diǎn)D，滿足DP=DA，BP=BA，那么點(diǎn)P到平面BCD的距離的最大值為______.

設(shè)計(jì)意圖 變式題5的應(yīng)用，意在引導(dǎo)學(xué)生切身感知數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)系，從而體會(huì)各類問題的源流，消減學(xué)生對(duì)立體幾何的畏難心理，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的融會(huì)貫通能力以及“四能”具有重要意義.

4. 梳理總結(jié)，提煉升華

帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧本節(jié)課的教學(xué)，根據(jù)變式探索來(lái)總結(jié)用函數(shù)模型解決動(dòng)態(tài)空間幾何中的最值問題的常規(guī)方法，以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)間聯(lián)系的理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、類比推理、分類討論等思想方法的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，提煉數(shù)學(xué)思想方法等是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù). 課堂總結(jié)并非單純地將教學(xué)流程重新捋一遍，而是歸納本節(jié)課的教學(xué)手段、數(shù)學(xué)思想方法等，有效地重組新舊知識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù).

幾點(diǎn)思考

本節(jié)課探索的是動(dòng)態(tài)幾何中的最值問題，此類問題除了考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與技能的掌握程度外，更重要的是拔高學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的輔助下，借助類比推理活化思維，發(fā)展學(xué)力. 此類問題常考常新，雖說(shuō)學(xué)生遇到的問題可能不一樣，但解題的核心理念是相通的——可以用代數(shù)法與幾何法來(lái)解題. 在此，筆者談幾點(diǎn)思考.

1. 學(xué)生是變式訓(xùn)練的主體

知識(shí)的“再創(chuàng)造”是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，即讓學(xué)生親歷實(shí)踐、探索與思考，去創(chuàng)造并獲取知識(shí)，而非被動(dòng)接受. 變式教學(xué)的目的在于提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這需要將學(xué)生放在首位.

在教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)一些豐富的問題情境引發(fā)學(xué)生對(duì)變式進(jìn)行合作交流、反思評(píng)價(jià)，從真正意義上完成知識(shí)的“再創(chuàng)造”，使教學(xué)成為一個(gè)思維遞增的過(guò)程. 學(xué)生自主將獲得的知識(shí)與能力有機(jī)地融合起來(lái)，從真正意義上實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的正遷移. 如本節(jié)課，多個(gè)變式題相連，逐層遞進(jìn)，有效拓展了學(xué)生的思維，使得每一個(gè)學(xué)生都從中構(gòu)建了屬于自己的解題思路.

2. 問題是變式的表達(dá)方式

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的源泉. 變式題在解題教學(xué)中的應(yīng)用，就是用問題鏈組織教學(xué)的過(guò)程，學(xué)生通過(guò)對(duì)問題的了解與突破可有效激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，對(duì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)產(chǎn)生探索欲，這對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維、促進(jìn)知識(shí)遷移具有重要作用.

變式訓(xùn)練需要將原題作為“母題”，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)與學(xué)情特征循序漸進(jìn)地設(shè)計(jì)難易程度適中的問題，以啟發(fā)學(xué)生的思維. 本節(jié)課就是在原題的基礎(chǔ)上，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)與學(xué)生的認(rèn)知水平，根據(jù)新課標(biāo)的要求設(shè)計(jì)了5道變式題. 變式題的難度逐層遞增，有效發(fā)展了學(xué)生的解題能力與綜合素養(yǎng).

3. 探究是變式的研究手段

變式教學(xué)離不開探究活動(dòng)的開展，探究是發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要方式. 教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力以及認(rèn)知水平有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，緊扣學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，通過(guò)對(duì)典型問題進(jìn)行變式，為學(xué)生提供更多自主探究的機(jī)會(huì)，不斷錘煉學(xué)生的認(rèn)知能力，促使學(xué)生學(xué)會(huì)從不同層次與視角來(lái)分析問題，進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)與內(nèi)涵的理解.

實(shí)踐證明，隨著變式教學(xué)應(yīng)用的推廣，學(xué)生的思維越來(lái)越活躍，這與新課標(biāo)的要求相一致. 為此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)情應(yīng)用變式教學(xué)從真正意義上發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造能力、思維能力以及融會(huì)貫通能力.

作者簡(jiǎn)介：魏新超（1982—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲全國(guó)青年教師展示課二等獎(jiǎng)、浙江省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比二等獎(jiǎng).