寬象限相依樣本下頻率插值密度估計(jì)的收斂性質(zhì)

潮學(xué)琳，胡學(xué)平

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽安慶 246133）

概率密度估計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中經(jīng)典問題，其方法主要有直方圖估計(jì)、頻率多邊形密度估計(jì)、核估計(jì)和最近鄰估計(jì)，其頻率多邊形密度估計(jì)是由Scott[1]基于直方圖技術(shù)提出，頻率多邊形密度估計(jì)不僅在相同計(jì)算量下比直方圖估計(jì)收斂速度快，而且在計(jì)算二元數(shù)據(jù)集合比核密度估計(jì)更簡(jiǎn)單、便捷，所以對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步探究是具有理論價(jià)值和實(shí)際意義。

關(guān)于頻率插值密度估計(jì)，已有很多研究成果。文[2]在φ混合樣本下探究了頻率插值密度估計(jì)的強(qiáng)相合性，梁丹[3]分別在α混合、φ混合、NA序列樣本下討論了頻率插值密度估計(jì)的相合性以及相應(yīng)的收斂速度。文[4-5]利用指數(shù)不等式，分別在NA 和寬象限相依樣本下，研究了頻率插值密度估計(jì)的強(qiáng)相合性。鄧新[6]在廣義負(fù)相依下研究邊緣頻率插值密度估計(jì)的相合性。

1 相關(guān)定義

文[7]在研究風(fēng)險(xiǎn)模型中提出了寬限相依（widely orthant dependence，簡(jiǎn)記為WOD）序列的定義：

定義1 設(shè){Xn,n≥1} 是隨機(jī)序列，若存在一個(gè)有限正實(shí)數(shù)列{gL(n),n≥1}，滿足對(duì)每個(gè)n≥1 及x1,x2,…,xn∈R，都有

若存在一個(gè)有限正實(shí)數(shù)列{gU(n),n≥1}，滿足對(duì)每個(gè)n≥1及x1,x2,…,xn∈R，都有

王學(xué)軍[8]建立了WOD 列的Rosenthal 型不等式，并研究了完全收斂性及非參數(shù)回歸模型估計(jì)的相合性。李永明[9]在WOD 隨機(jī)樣本下，討論密度函數(shù)和失效率函數(shù)遞歸核估計(jì)的逐點(diǎn)相合性。文[10-11]在WOD 隨機(jī)樣本下分別探討了核密度估計(jì)的收斂性與一致強(qiáng)相合性。

下面簡(jiǎn)要介紹頻率多邊形插值密度估計(jì)的定義：

設(shè)X是密度函數(shù)為f(x)的連續(xù)隨機(jī)變量，并令X1,X2,…,Xn是從總體中抽取的一組樣本?？紤]在實(shí)軸上等距分割，…＜x-2＜x-1＜x0＜x1＜x2…，令第k個(gè)區(qū)間為Ik=[(k-1)bn,kbn)，bn是窗寬，考慮相鄰的兩個(gè)區(qū)間Ik0=[(k0-1)bn,k0bn)和Ik1=[k0bn,(k0+1)bn)，其中k1=k0+1，定義vk0和vk1分別為落在兩個(gè)區(qū)間觀測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則有：

于是密度函數(shù)f(x)在區(qū)間Ik0和Ik1上的直方圖估計(jì)分別為：

受上述學(xué)者研究啟發(fā)，在WOD 樣本下，運(yùn)用Rosenthal 不等式和截尾方法探討了頻率插值估計(jì)的強(qiáng)相合性和r 階矩收斂。全文C 表示正常數(shù)，在不同地方可以取不同值，所有極限都是在n→∞時(shí)獲得，g(n)表示W(wǎng)OD列的控制數(shù)。

2 假設(shè)條件及主要結(jié)果

首先給出需要的一些假設(shè)條件：

(A1){Xn,n≥1} 為同分布WOD 隨機(jī)序列，其密度函數(shù)f(x)在R上有界；

(A2)窗寬bn→0；

(A3)g(n)=O(nλ)，(λ＞0)；

(A4)τn是正常數(shù)列，且滿足τn→0，(nbnτn2)-1=o(n-α)，(α＞λ＞0)；

(A5)f(x)在x∈R上是可微的，且對(duì)于某個(gè)M＞0，有|f′(x)|≤M。

注：假設(shè)(A1)及(A2)為文[2]、[4]和[5]中的條件，對(duì)寬泛的WOD 樣本，假設(shè)(A3)與文[9]-[10]定理中的條件類似，為得到強(qiáng)相合性增加了條件(A4)。

定理1 若假設(shè)條件(A1)-(A4)成立，且對(duì)p≥2，滿足E|X1|p＜∞，當(dāng)αp/2 -λ ＞2 時(shí)，對(duì)R 的緊子集D有

此外若還有條件(A5)成立，那么

定理2 若假設(shè)條件(A1)-(A4)成立，對(duì)某個(gè)T＞0有

此外若還有(A5)成立且E|X1|2/T＜∞，則有

3 定理的證明

3.1 主要引理

引理1[9]設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是WOD 序列，若f1,f2,…,fn均為非降函數(shù)或（非增函數(shù)），則隨機(jī)變量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)仍為WOD序列。

引理2[8]（Rosenthal 型不等式）設(shè){Xn,n≥1} 是WOD 序列，當(dāng)p≥1，有E|Xn|p＜∞(n≥1)。進(jìn)一步假設(shè)當(dāng)p≥2 時(shí)，EXn=0(n≥1)，那么存在正常數(shù)C1(p)和C2(p)僅依賴于p，使得

3.2 證明過程

于是，對(duì)任意ε＞0，有

對(duì)任意的x∈Dj時(shí)，有

對(duì)給定的j，令

由引理1 可得{ξi,1 ≤i≤n} 為WOD 的，且滿足Eξi=0，|ξi|≤2，于是有

由f(x)的有界性可得

再由Markov 不等式和引理2，條件(A3)及條件(A4)得

可得

類似地，也有

聯(lián)合（8）～（10）式，有

根據(jù)（7）式和nbn→∞，因此

當(dāng)αp/2 -λ＞2時(shí)，從而有

由Borel-Cantelli引理可知(2)式成立。

下證(3)式，當(dāng)x∈Dj時(shí)，令

對(duì)x∈Dj，將F(jbn)和F((j-1)bn)在x 處泰勒展開，可得

類似可得

因此，

于是可得

從而(3)式成立，結(jié)合(2)式，可得(4)式，定理1證畢。

定理2 的證明令A(yù)n=(-∞,-nT)∪(nT,+∞)，T＞0，并定義Dj=[ (j-1/2)bn,(j+1/2)bn)，其 中，對(duì)任意的ε＞0，有

類似定理1的證明，可得（5）式及

進(jìn)一步可得

結(jié)合（12）和（13）式，有

由（5）、（11）和（14）式，可得

（6）式得證，定理2證畢。

定理3的證明由Cr不等式和Jensen不等式可得

下面只需證I1→0，

由引理1可知，{Xi,1 ≤i≤n} 是WOD 的，{ξis,i≤n} (s=1,2,3)仍為同分布的WOD 隨機(jī)序列，且Eξis=0(s=1,2,3)，|ξis|≤2，結(jié)合Cr不等式和引理2有

當(dāng)α＞λ＞0 時(shí)，結(jié)合以上證明可得，從而結(jié)論得證。