增強代數(shù)推理 提升幾何直觀
——對廣西2023年中考數(shù)學第24題的命制探究

徐境鴻

(南寧市第四十七中學,廣西 南寧 530029)

2023年的中考已經(jīng)落下帷幕,在“雙減”政策背景下,廣西首次省級統(tǒng)一命題,這一轟轟烈烈的改革在今年中考釋放了大量信號,中考的指揮棒為中考備考指明了方向.本次中考試題圍繞核心素養(yǎng),依標務本,最大的亮點是降低了難度,減少模式化試題,增加了綜合實踐性、情境探究性、跨學科類題目的考查.不難發(fā)現(xiàn),第24題是一道既經(jīng)典又創(chuàng)新的試題,現(xiàn)就該題進行詳細的探究.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1,ΔABC是邊長為4的等邊三角形,點D,E,F分別在邊AB,BC,CA上運動,滿足AD=BE=CF．

圖1 廣西中考第24題圖

(1)求證：△ADF≌△BED;

(2)設AD的長為x,△DEF的面積為y,求y關于x的函數(shù)解析式;

(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù),描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．

2 試題分析

本題源于課本和課程標準,將代數(shù)與幾何完美結(jié)合,有效考查了學生的推理能力和幾何直觀.本題改變了往年中考放置壓軸題的位置,今年放在了24題,大大降低了難度.本題主要考查三角形全等、等邊三角形的性質(zhì)、動點、銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及函數(shù)的概念.掌握三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù),理解并掌握函數(shù)概念的本質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關鍵.這是一道既常規(guī)又新穎的試題,該題由淺入深,逐步遞增難度,合理設置問題層次,每個問題之間均有邏輯關聯(lián),符合學生的心理特征,注重考查學生的思維過程,體現(xiàn)學科思想的連貫性、邏輯性、嚴謹性等.

問題(1)主要考查全等三角形的證明,全等的條件比較明顯,屬于基礎內(nèi)容,學生易得分.問題(2)是一道典型的用代數(shù)式表達幾何結(jié)論的問題,考查數(shù)形結(jié)合思想,此問題有一定的難度,如果能突破此問題,則問題(3)就容易解決.近幾年,學生受應試思潮的影響,對二次函數(shù)出現(xiàn)了一些比較固化的試題模型,如用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,某些點的確定性和存在性問題.學生對函數(shù)的理解不到位,教師缺少關注學科本質(zhì).該題的實質(zhì)就是考查學生對函數(shù)概念本質(zhì)的理解,讓學生體會函數(shù)是描述一個變化過程的工具.由于很多學生理解不透徹,所以這一問題對學生來說有一定難度.問題(3)是對函數(shù)概念性質(zhì)的進一步理解和鞏固,評分細則從學生對知識理解的深度進行分層賦分,隱含了命題關于過程評價的重要思路.學生在答題時,如果只答出“先減后增”可得1分,如果能答出“當2

總之,該題不僅從幾何的角度考查了學生的幾何直觀,還從代數(shù)角度增強了學生的推理能力,是一道典型的幾何與代數(shù)結(jié)合且難度中等的題目.

3 尋本溯源

3.1 源于課本

如圖2,在等邊△ABC的三邊上,分別取點D,E,F,使AD=BE=CF,求證：△DEF是等邊三角形.(人教版八年級數(shù)學上冊第十三章《軸對稱》第93頁第11題)

圖2 等邊三角形示意圖

如圖3,點E,F,G,H分別位于正方形ABCD的四條邊上．四邊形EFGH也是正方形．當點E位于何處時,正方形EFGH的面積最小?(人教版九年級數(shù)學上冊第二十二章《二次函數(shù)》第52頁第7題)

圖3 正方形示意圖

3.2 源于課程標準

如圖4,正三角形ABC的邊長為1,D是BC邊上的一點,過D作AB的垂線,交AB于G,用x表示線段AG的長度.顯然,Rt△GBD的面積y是線段長度x的函數(shù),試給出這個函數(shù)的表達式[2].(《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》第146頁例69)

圖4 正三角形示意圖

4 試題研究

初中階段,不僅在數(shù)與代數(shù)領域有推理或證明的內(nèi)容,在幾何與圖形領域也有推理或證明的內(nèi)容.《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》新增了“了解代數(shù)推理”的內(nèi)容要求,可見幾何直觀與代數(shù)推理綜合的重要性.為此,筆者對比了近六年的北部灣經(jīng)濟區(qū)中考題,發(fā)現(xiàn)函數(shù)與幾何綜合題每年都考,將其匯總并分類,如表1所示.

表1 類型一 函數(shù)中的線段問題

表2 類型二 函數(shù)中的面積問題

從題目位置上看,前面幾年的此類題型基本在壓軸題位置,難度較大,對學生的要求很高,但是今年放到了24題的位置,要求和難度降低了,變化較大.從考查內(nèi)容上看,以前多是以二次函數(shù)的圖象為背景進行考查,今年則是以等邊三角形這一簡單幾何圖形為背景.從考查形式上看,以前都是直接求定值,今年則是半開放式的“描述變化過程”,可見題目由固定式逐漸轉(zhuǎn)向理解式,模式化和機械性的題目在減少,過程性考查增加.

5 命題反思

5.1 重視教材,緊扣課程標準

通過對多年中考題的研究,我們發(fā)現(xiàn)幾乎每道題目都能在課本或課程標準找到母題,或是將母題的條件結(jié)論、背景框架、解題方法等進行改編,或是在思想方法上重新立意進行“包裝”.不管如何改編,試題在命制時均未超出課程標準的學業(yè)要求和能力要求.因此,在今后的命題中要嚴格依據(jù)課程標準,注重教材為本,關注學生的基礎知識,以學生理解為目標改編,減少機械性題目.

筆者整理了課本中部分幾何與代數(shù)相結(jié)合的典型題目,僅供讀者參考.①九年級上冊第2頁無蓋紙盒問題;②九年級上冊第20頁邊框問題;③九年級上冊第52頁三角形、四邊形問題;④九年級上冊第57頁籬笆問題;⑤九年級上冊第125頁幾何圖形與反比例函數(shù)問題;⑥九年級下冊第44頁三角形與一次函數(shù)問題;⑦九年級下冊第58頁三角形、矩形與二次函數(shù)問題.

5.2 落實核心素養(yǎng)

數(shù)學新課程標準的亮點之一就是核心素養(yǎng)的提出與細化：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.初中階段具體表現(xiàn)有九個方面,命題應覆蓋數(shù)學核心素養(yǎng)的各個方面.考查數(shù)學思維和解決問題的能力,命題可以設計一些開放性的問題,要求學生進行分析、推理和判斷.考查數(shù)學方法的靈活運用,命題可以涉及不同的數(shù)學方法和技巧.考查數(shù)學實踐和應用能力,命題可以多創(chuàng)設情境,引導學生通過數(shù)學建模解決問題.通過各種措施的落實,可以確保命題符合數(shù)學核心素養(yǎng)的要求,能夠全面考查學生的數(shù)學能力和素養(yǎng)水平.同時,也能夠激發(fā)學生對數(shù)學的興趣和熱愛,促進他們的數(shù)學學習和發(fā)展.

5.3 重視新題型

今年中考題有以下特點：創(chuàng)設真實問題情境,注重情景化試題;加大開放探究力度,激發(fā)創(chuàng)新與探究意識;重視動手操作能力,加強尺規(guī)作圖考查;增加試題閱讀量,提升信息處理能力;增設跨學科試題,培養(yǎng)綜合學科素養(yǎng);重視數(shù)學傳統(tǒng)文化,關注學生文化素養(yǎng).因此,在復習備考中,教師要以此為導向,在日常教學中不斷滲透數(shù)學方法,適時總結(jié),在命題中要重視以上題目的練習,讓學生從適應到熟練再到舉一反三,最終從容面對中考.