李建莉 馬君　侯思晨

關鍵詞： MATLAB 模態(tài)分析 有限元計算 頻率響應分析

中圖分類號： TH113.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1672-3791（2024）01-0216-08

動力學分析的目的是分析在慣性、阻尼二者確定的條件下，結構或構件的動力學特性的變化情況。動力學特性分為以下幾個方面：自振特性—頻率和振型；不同的荷載效應對結構的位移、應力和應變會產(chǎn)生不同的效果； 周期和隨機荷載的效應。靜力學分析只能分析一個結構承受穩(wěn)定荷載的情況，不足以全面分析所有的工況，尤其是那些穩(wěn)定的荷載也包括很多動荷載的情況，而動力學分析就是在靜力學分析的基礎上，確定動力荷載的存在分析結構的位移，以及內(nèi)力和振動頻率隨時間是如何變化的，從而達到實際最優(yōu)化，為以后的設計和分析提供依據(jù)［1］。

模態(tài)分析是一種對結構動態(tài)性能進行研究的方法，通常用于工程振動領域。其中，模態(tài)系指的是結構的固有振動特征，每個模態(tài)系具有一定的自振頻率，阻尼比及模態(tài)振型。對這些模態(tài)參數(shù)進行分析的方法叫作模態(tài)分析。亦可稱為特征值分析，通過線性代數(shù)的原理求解代表模態(tài)特征向量和頻率的特征值。根據(jù)其計算方式，可以將其劃分為計算型和試驗型兩種。如采用有限元法進行了模態(tài)分析為計算型模態(tài)分析，對應各階有特定的參數(shù)，即頻率、阻尼、模態(tài)參數(shù)等。文章中主要介紹計算模態(tài)分析在振動領域的應用。在工程實際中為了進行簡化計算，在進行模態(tài)分析時一般對振型進行線性假設。它的物理含義是：當多個激勵共同作用于結構系統(tǒng)時，結構系統(tǒng)的響應就是這一組中各個激勵分別起作用時的響應的線性累加。進行模態(tài)分析的意義是，每個物體都有它自身的固有頻率，當外界激勵作用在物體上時，同時接近這個頻率會產(chǎn)生共振，從而導致物體的破壞。

1 模態(tài)分析基本理論

模態(tài)分析理論是研究和分析振動特性的一種技術手段，可以判斷在各種工況下結構的振動特性［2］。通常針對一個線性定常系統(tǒng)進行動力學描述可以得到方程組：

式（1）中：[M] 為質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K ]為剛度矩陣；{x（t）}為位移向量；{F（t）}為力矩陣。我們的目標是求解這個線性定常系統(tǒng)振動微分方程組得到{x（t）}，也就是系統(tǒng)上各點隨時間的位移。對于線性定常系統(tǒng)的振動微分方程組，通常采用的方法是將物理坐標轉換成模態(tài)坐標，從而將方程組解耦，變成一組用模態(tài)坐標和模態(tài)參數(shù)來描述的獨立方程，這樣就可以得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。其中變換矩陣為模態(tài)矩陣，每列為相應的模態(tài)振型。

每個集中質(zhì)量的運動可用線性坐標來描述，描述模型中全部集中質(zhì)量運動所需的最少獨立坐標數(shù)目，稱為系統(tǒng)的自由度數(shù)。這些獨立坐標又被稱為廣義坐標，該坐標的數(shù)量與系統(tǒng)的自由度數(shù)目相等。

2 單自由度的彈簧振動

2.1 單自由度振動無阻尼系統(tǒng)建模與仿真

最簡單的振動系統(tǒng)就是單自由度無阻尼（阻尼系數(shù)C=0）自由振動。彈簧振子是最簡單的模型，如圖1所示。以靜平衡位置為原點建立獨立坐標。對于單自由度的系統(tǒng)是方便求解的，對其進行動力學分析可以得到微分方程，如公式（2）所示，設勁度系數(shù)k=200，物塊質(zhì)量m=10，初始位移x=5。

通過公式進行進一步變化，可以看出在等式左側x 的二階微分就是代表加速度a，也就是說，加速度經(jīng)過兩次積分，得到位移。-k/m是系數(shù)，作為常數(shù)處理，在MATLAB 中利用Simulink 進行仿真，確定仿真基本思路。接下來建立Simulink 模型，主要用到積分模塊，增益模塊，初始值設為-20，仿真模型如圖2 所示。啟動仿真后，物塊的加速度、速度、位移曲線顯示在示波器中，結果如圖3 所示。

根據(jù)圖3 曲線圖可以看出，對于單自由度振動方式，在不考慮阻尼的情況下，物塊應在平衡位置來回振動，曲線圍繞坐標軸上下波動，周期性進行變化，橫坐標代表時間，縱坐標代表振幅，和預測情況是一致的。

4 有限元計算模態(tài)分析

事實上，每一個模態(tài)都有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。它是機械結構的固有振動特性，只與結構的質(zhì)量、剛度、約束狀態(tài)有關，與外載荷無關，且每一階固有頻率與每一階振型相對應［7］。如圖8 所示，肩部關節(jié)為機械臂最關鍵的部件之一，模態(tài)為其主要影響因素，在MATLAB 中對其進行模態(tài)分析，主要分析機械臂的肩部關節(jié)連接部件在一定壓力下可能的形變。機械臂通過多個關節(jié)鏈接，一端固定。這些鏈接結構強度要夠大以避免電機帶動負載運動時產(chǎn)生振動。機械臂終端的負載會讓每個鏈接處產(chǎn)生壓力。壓力的方向取決于負載的方向。

本研究采用Inventor 對機械臂肩部關節(jié)進行建模，模態(tài)分析MATLAB 中有限元求解流程創(chuàng)建結構模型、導入幾何形狀、生成網(wǎng)格（見圖9（a））、設置材料屬性，彈性模量206 GPa、泊松比0.3、密度7.9 g/cm³，求解分析。利用facelabel 命令將面進行可視化出來，具體情況見圖9（b）。方便設置邊界約束和負載。通過加載F41 一端作為固定端，F(xiàn)8 一端作為自由端條件求解出固有頻率，通過擴展模態(tài)獲得關節(jié)的前六階模態(tài)參數(shù)。

約束模態(tài)分析包含了很多種情況，由于結構的固有頻率和振動模態(tài)在不同的約束狀態(tài)下會發(fā)生變化，因此，施加約束后的模態(tài)分析可以反映結構的實際振動情況［7］。圖10 為前六階可視化模態(tài)振型。

通過模態(tài)振型圖10 所示，可以發(fā)現(xiàn)一階模態(tài)的固有頻率值為317 Hz，一階模態(tài)的振動方向沿Z 軸負向彎曲，變形主要在與相鄰構件配合處；二階模態(tài)固有頻率值為431 Hz，振型體現(xiàn)為沿Z 軸的正方向垂直彎曲振動，同時沿Y 向存在拉伸變形，其形變產(chǎn)生在構件的邊緣處，橫向尺寸變??；三階模態(tài)固有頻率值為507 Hz，振型表現(xiàn)為擠壓變形，其扭轉振動峰值在自由端所在面的中心位置，并呈中部向邊緣遞減的狀態(tài)，六階模態(tài)固有頻率值為798 Hz，主要變形表現(xiàn)為沿Z 軸垂直扭轉變形，變形量最大值位置仍在振動峰值在自由端所在面的中心位置和邊緣處，固定端約束值仍為0。

通過分析六階次的頻率及云圖，模態(tài)振型大致經(jīng)歷了彎曲變形—拉伸變形—擠壓變形—扭轉變形，其中拉伸變形量最大為1.2 mm，最大變形出現(xiàn)的位置由邊緣向中間，再向邊緣的趨勢。關節(jié)在此結構參數(shù)、材料下，變形不大，且在理論的可控范圍內(nèi)，可以有效地避免共振。本研究能為機械臂關節(jié)使用設計提供參考，極大地減少共振的發(fā)生，并為機械臂關節(jié)的優(yōu)化設計和故障診斷提供參考依據(jù)。

5 頻率響應分析

當結構在穩(wěn)態(tài)下受到外界激勵載荷時產(chǎn)生振動效應，可以通過頻率響應分析方式，計算出給定外界激勵載荷后結構在確定頻率下的運動學參數(shù)，比如位移、速度、加速度，將運動學參數(shù)和頻率繪制成曲線圖，從曲線圖中可以得到峰值響應，用于指導設計者預測產(chǎn)品的結構振動特性，驗證設計是否可以消除疲勞、共振等有害效應的影響［8］。本文針對機械臂關節(jié)在壓力載荷下頻率響應分析。假設附加其上的連桿對各半面分別施加大小相等方向相反的壓力，分析面上某點的頻率響應和形變。同上述流程一樣，創(chuàng)建結構，導入幾何形狀，生成網(wǎng)格。其他過程跟模態(tài)分析相同，區(qū)別在于加一個力，使用pressFcnFR 函數(shù)在面4 上施加邊界載荷。這個函數(shù)作用一個推力和一個扭轉壓力信號。拉壓分量是均勻的。扭力對左側面施加正壓力，對右側施加負壓力。

根據(jù)圖11 的頻率響應曲線可以發(fā)現(xiàn)，在頻率為200 Hz、600 Hz、820 Hz 三處都出現(xiàn)了不同程度的極大值點，在這些頻率下，很小的外界激勵載荷便可以把系統(tǒng)激勵振動起來，容易造成共振，所以此幅值的極大值點也稱為共振峰，對應的頻率稱為共振頻率，一旦關節(jié)發(fā)生共振，對機械臂的安全運行會產(chǎn)生較大影響。因此應避免關節(jié)發(fā)生共振破壞，影響系統(tǒng)的安全使用。通過計算發(fā)現(xiàn)關節(jié)整體振動微小，激發(fā)共振的可能性很小。在MATLAB 中也可以利用max 函數(shù)找到峰值響應頻率對應的峰值和索引，可以看到所施加的載荷主要激發(fā)了部件的模態(tài)。

6 結語

本文利用MATLAB 中simulink 對單自由度彈簧振動運動學參數(shù)求解分析，利用腳本求解矩陣方程對多自由度的彈簧系統(tǒng)模態(tài)進行分析，進而基于有限元的思想對機械臂關節(jié)在壓力載荷下模態(tài)分析和頻響分析，得出進行模態(tài)研究一般思路和解決方案。為計算模態(tài)的場景利用在MATLAB 中內(nèi)置函數(shù)做進一步探索研究提供了思路。