黃加衛(wèi)

【摘要】“證偽”是一種否定性思維，它有助于科學(xué)地超越自身，找到新的生長(zhǎng)點(diǎn)和突破口.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為“證偽”的一種主要手段——反例也有著極為重要的意義，它不僅對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要作用，而且對(duì)學(xué)生培養(yǎng)“證偽”思想、養(yǎng)成填密思維、提升綜合能力、形成核心素養(yǎng)有很大幫助.

【關(guān)鍵詞】證偽；主要手段；反例

眾所周知，“證偽”是一種否定性思維，它有助于科學(xué)地超越自身，找到新的生長(zhǎng)點(diǎn)和突破口.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出：“能夠理解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，通過分析相關(guān)數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明；能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系；能夠通過舉反例說明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立.”參考了以上觀點(diǎn)，筆者在課堂教學(xué)中對(duì)反例教學(xué)進(jìn)行了積極嘗試，意圖培養(yǎng)學(xué)生的“證偽”思想.現(xiàn)將幾點(diǎn)感想陳述如下，并求教于方家.

1構(gòu)造“反例”是實(shí)現(xiàn)“證偽”的一種主要手段

正如美國(guó)數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H.奧姆斯特德指出，“冒著過于簡(jiǎn)單化的風(fēng)險(xiǎn)，我們可以說數(shù)學(xué)由兩大類——證明與反例組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個(gè)主要的目標(biāo)——提出證明與構(gòu)造反例”.在數(shù)學(xué)問題的探索中，猜想結(jié)論是否正確，正確則要求嚴(yán)格證明，而謬誤則靠反例來否定.因此構(gòu)造反例是培養(yǎng)“證偽”思想的一種主要手段，筆者認(rèn)為其解決問題的過程可以用圖1的框圖加以表示.

2構(gòu)造“反例”培養(yǎng)“證偽”思想的課堂嘗試

2.1當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生前攝抑制時(shí)，構(gòu)造“反例”實(shí)現(xiàn)“證偽”

前攝抑制在認(rèn)知心理學(xué)上指之前學(xué)習(xí)過的材料的保持和回憶對(duì)以后學(xué)習(xí)的材料產(chǎn)生干擾作用.因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)有自己的理論體系，前后知識(shí)的聯(lián)系非常緊密，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中很容易發(fā)生前攝抑制.

案例1以下是一節(jié)“函數(shù)積運(yùn)算與奇偶性的關(guān)系”的研究性學(xué)習(xí)課的教學(xué)片斷.課中，教師提出問題：已知f（x），g（x）是R上的兩個(gè)非零函數(shù)，h（x）=f（x）·g（x）.試研究f（x），g（x）的奇偶性對(duì)函數(shù)h（x）的奇偶性的影響.課堂預(yù)設(shè)的具體研究?jī)?nèi)容和結(jié)果見表1：

學(xué)生在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道了表中前三者情況的結(jié)論，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，并結(jié)合前面的推導(dǎo)過程，也得到了第④種情況的結(jié)論，過程如下：

h（-x）=f（-x）·g（-x）=-f（x）·g（-x），由于g（-x）≠g（x）且g（-x）≠-g（x），所以h（-x）≠h（x）且h（-x）≠-h（x），故h（x）為非奇非偶函數(shù).同理，后面的第⑤種和第⑥種情況都得到相同的結(jié)論，并且這些結(jié)果得到了絕大多數(shù)學(xué)生的贊同.

針對(duì)上述推導(dǎo)過程，筆者讓學(xué)生繼續(xù)思考并互相交流.不一會(huì)兒，就有學(xué)生認(rèn)為：上面這種推理過程似乎比較牽強(qiáng)，并沒有嚴(yán)格的理論依據(jù).經(jīng)過學(xué)生的后續(xù)討論與探索之后，有學(xué)生提出了以下的反例：

f（x）=x，g（x）=1，x<0，-1，x≥0滿足第④種情況，但h（x）=f（x）·g（x）=x，x<0，-x，x≥0卻是偶函數(shù).

筆者鼓勵(lì)學(xué)生持續(xù)進(jìn)行探究，不但挖掘出前面第④種情況推理錯(cuò)誤的原因；而且有些學(xué)生繼續(xù)通過舉反例的形式結(jié)果發(fā)現(xiàn)后面的第⑤種和第⑥種情況都是不能確定h（x）的奇偶性.這些結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都令學(xué)生們興奮不已，課堂效率顯然也得到了很大的提升.

評(píng)注如上所述，新舊知識(shí)具有相近或相互聯(lián)系的特點(diǎn)，最容易使認(rèn)識(shí)過程受舊知識(shí)痕跡影響而發(fā)生“痕跡性錯(cuò)誤”.而1970年哈里斯等心理學(xué)家研究表明“反例攜帶了最適于辨別的關(guān)鍵信息”，這時(shí)候如果教師運(yùn)用反例教學(xué)來對(duì)比出前后知識(shí)點(diǎn)的不同之處，就能夠消除學(xué)生的這種前攝抑制，從而去培養(yǎng)學(xué)生的“證偽”思想.

2.2當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生思維定勢(shì)時(shí)，構(gòu)造“反例”實(shí)現(xiàn)“證偽”

思維定勢(shì)表現(xiàn)在新問題發(fā)生了一些小的變化時(shí)，學(xué)生很難感覺到這種變化，而是繼續(xù)用以往舊的思考方式去解決問題，最后導(dǎo)致答題錯(cuò)誤.當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，可以運(yùn)用反例教學(xué)來糾正學(xué)生的這種思維定勢(shì).

案例2已知等比數(shù)列an中每一項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，Sn是其前n項(xiàng)的和，求證：S7，S14-S7，S21-S14成等比數(shù)列，并思考能否將此問題一般化？

對(duì)于第一個(gè)問題，在實(shí)際授課時(shí)，很快有兩位學(xué)生用兩種方法“解決”了這一問題，并將其一般化：若k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列.并且絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為可以根據(jù)前面兩位學(xué)生的解法類似地解決這一問題，即只要在他們的解法上做相應(yīng)的改動(dòng)就可以了.

看到了大家逐漸取得了“共識(shí)”，筆者提醒到：在我們學(xué)習(xí)的過程中，很容易忽視問題之間的差異之處，從而形成思維定勢(shì)而導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生.大家能否再對(duì)這道問題進(jìn)行深度的解剖？學(xué)生們又陷入了緊張的思考之中，而后有個(gè)學(xué)生要求發(fā)言：“我覺得此問題的這三項(xiàng)不一定成等比數(shù)列，例如數(shù)列：1，-1，1，-1，1，-1，…是等比數(shù)列，但是S2=S4-S2=S6-S4=0不是等比數(shù)列！”

學(xué)生們開始都很吃驚，但是最后在教師的引領(lǐng)之后對(duì)這位學(xué)生的精彩發(fā)言進(jìn)行了鼓勵(lì).

評(píng)注布魯納認(rèn)為：“反例能預(yù)防做出‘倉促的判斷”，而作為一種學(xué)習(xí)方法，在新概念、新理論的學(xué)習(xí)中，使用反例可促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受，幫助學(xué)生及時(shí)克服在傳統(tǒng)一貫的教學(xué)中可能會(huì)形成的思維定勢(shì)，從而達(dá)到證偽的目的.

2.3當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生類比推理失誤時(shí)，構(gòu)造“反例”實(shí)現(xiàn)“證偽”

類比被譽(yù)為科學(xué)活動(dòng)中“偉大的引路人”，然而，類比推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，不能作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，即類比不能代替證明.在數(shù)學(xué)思維中，正是這種局限性對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知、解決新問題產(chǎn)生消極性的干擾作用.

案例3人教版新教材選擇性必修第一冊(cè)P98的習(xí)題2.5第8題：

求圓心在直線x-y-4=0上，并且經(jīng)過兩個(gè)圓x2+y2+6x-4=0與x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)圓的方程.

此題如果采取聯(lián)立方程組解決的方法，其解題過程會(huì)稍顯繁瑣.因此絕大多數(shù)學(xué)生利用教師先前介紹的圓系理論解決的方法，解法如下：

設(shè)x2+y2+6y-28+λ（x2+y2+6x-4）=0，可得（1+λ）x2+6λx+（1+λ）y2+6y-28-4λ=0.（1）

把圓心（-3λ1+λ，-31+λ）代入所給的直線方程，可解得λ=-17，再代入（1）式即可得到所求的圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.

但課后有學(xué)生在教參上碰到了如下問題并用以上相同的方法進(jìn)行了解決，題目如下：

求圓心在直線x-y-2=0上，并且經(jīng)過兩個(gè)圓x2+y2-1=0與x2+y2-6x+8=0的交點(diǎn)的圓的方程.

設(shè)x2+y2-1+λ（x2+y2-6x+8）=0，可得（1+λ）x2-6λx+（1+λ）y2-1+8λ=0.（2）

把圓心（3λ1+λ，0）代入所給的直線方程，可解得λ=2，再代入（2）式即可得到所求的圓的方程為x2+y2-4x+5=0.可是已知條件中的這兩個(gè)圓并沒有交點(diǎn)呀？

評(píng)注波利亞說“類比和反例是發(fā)明的偉大源泉”，顯然，通過類比使我們可以獲得一系列的猜想，但當(dāng)猜想實(shí)為謬誤時(shí)，反例是最簡(jiǎn)捷的一種說明方法.但通過類比方法得到的一些高中數(shù)學(xué)教材中所沒有的、在高等數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的或者未經(jīng)檢驗(yàn)的有關(guān)理論時(shí)，應(yīng)該三思而后行，注意其運(yùn)用的前提條件，否則就會(huì)誤入歧途、得不償失.這時(shí)候除了進(jìn)行有效的“證實(shí)”之外，通過“構(gòu)造反例”去進(jìn)行“證偽”也是值得重視的方法.

2.4當(dāng)學(xué)習(xí)偶遇“經(jīng)典結(jié)論”有瑕疵時(shí)，構(gòu)造“反例”實(shí)現(xiàn)“證偽”

在現(xiàn)今的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，有許多眾所周知、膾炙人口的數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)結(jié)論、教學(xué)案例、解題模式以及解題方法等數(shù)學(xué)形式，它們均是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分.但筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，這些“經(jīng)典”的數(shù)學(xué)形式有時(shí)因?yàn)榭紤]的不嚴(yán)謹(jǐn)或者適用的范圍不清楚等原因，有些“成員”存在著某些瑕疵.如果對(duì)此沒有引起足夠注意，就會(huì)導(dǎo)致教學(xué)出現(xiàn)偏差.

案例4人教版新教材選擇性必修第二冊(cè)的“5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值”（注：第P93—94頁）這一節(jié)中提出：

“一般地，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的最大值與最小值的步驟如下：

（1）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值;

（2）將函數(shù)y=f（x）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a），f（b）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.”

學(xué)生曾提出一個(gè)分段函數(shù)對(duì)此進(jìn)行質(zhì)疑，但所舉例子不大妥當(dāng)，而上面的結(jié)論確實(shí)是個(gè)值得商榷的結(jié)論.我們不妨看看下例：已知函數(shù)f（x）=-3x2-12x-6，（-3≤x≤-2），6，（-2

我們可以證明以上函數(shù)在［-3，1.5］上連續(xù)且在（-3，1.5）上可導(dǎo)，故容易得到：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值5，而f（-3）=3，f（1.5）=5.4375，故由以上結(jié)論可以得出其答案：最大值為f（1.5）=54375.但事實(shí)上，最大值應(yīng)為6，并且這從圖2中也可以得到驗(yàn)證.實(shí)際上，當(dāng)x∈［-2，0］時(shí)的這一段線段是垂直于y軸的，但其上面的點(diǎn)均不是極值點(diǎn).所以解決這類題型時(shí)應(yīng)事先分析所涉函數(shù)在其任一子區(qū)間上是否存在常值的問題，然后再進(jìn)行下一步驟.

評(píng)注數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆說過：一個(gè)數(shù)學(xué)問題如果用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好戲劇.由于相信和服從權(quán)威的原因，教師對(duì)教材或者參考書中給出的結(jié)論往往毫不懷疑，在運(yùn)用它們解決問題時(shí)也沒有經(jīng)過深思熟慮，但這往往會(huì)導(dǎo)致一些漏洞的產(chǎn)生.事實(shí)上，這種想法的存在已對(duì)我們高中數(shù)學(xué)教師的工作提出了一定的挑戰(zhàn)，此時(shí)構(gòu)造反例進(jìn)行證偽是有效手段之一.

以上案例充分說明：反例和證明同等重要！因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為“證偽”的一種主要手段——反例也有著極為重要的意義，它不僅對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要作用，而且對(duì)學(xué)生培養(yǎng)“證偽”思想、養(yǎng)成縝密思維、提升綜合能力、形成核心素養(yǎng)有很大幫助.

參考文獻(xiàn)

中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂.北京：人民教育出版社，2020：76.

黃加衛(wèi).淺議“證偽”思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（07）：17-22.