陸青

【摘要】“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，問題也是將零碎知識聯(lián)系在一起的橋梁與紐帶.本文圍繞“問題引領(lǐng)，整體建構(gòu)，挖掘本質(zhì)”這一主題，就蘇教版九年級上冊第五章“二次函數(shù)”的起始課為例，談一些認(rèn)識和思考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；二次函數(shù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在教學(xué)建議中提出，要“整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)”“注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”“強(qiáng)化對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu)”.也就是說在教學(xué)過程中應(yīng)避免碎片化教學(xué)，要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，在對新的章節(jié)開展教學(xué)時可以通過適當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生對全章有一個整體的感知，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的數(shù)學(xué)知識體系.

1 學(xué)科內(nèi)容分析

本課時內(nèi)容為蘇教版九年級上冊第五章“二次函數(shù)”的第一課時，但這節(jié)課不是按課時內(nèi)容進(jìn)行的第一課時，而是作為一章的起始課，在整體觀念下打破教材的限制，站在全章整體的視角，在整個二次函數(shù)學(xué)習(xí)過程中起著引導(dǎo)和鋪墊的作用.第一節(jié)課就基于整章的核心問題、內(nèi)容對象、邏輯關(guān)系、研究思路、思想方法等讓學(xué)生有初步的整體感知，理解整章內(nèi)容，明白“為什么學(xué)，學(xué)什么，怎么學(xué)”.“二次函數(shù)”是初中階段有關(guān)函數(shù)知識的重點內(nèi)容之一，是描述現(xiàn)實生活中變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型，是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后對函數(shù)及其應(yīng)用知識學(xué)習(xí)的深化和提高，是學(xué)習(xí)其他初等函數(shù)的基礎(chǔ).本章知識點主要有二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)與一元二次方程和用二次函數(shù)解決問題.

2 教學(xué)設(shè)計

2.1 情境引入，生成概念

師：（PPT1）投影情境.

（1）水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，所形成圓的面積S與半徑r之間有怎樣的關(guān)系？

（2）用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍較大？

（3）一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，加工費為45元．總費用y（元）與鏡面寬x（米）之間有怎樣的關(guān)系？

師：請同學(xué)們探究生活中的這三個問題.

思考后，一位學(xué)生板書.

師：上述三個問題中的兩個變量是函數(shù)關(guān)系嗎？

生：是，滿足函數(shù)的定義.

復(fù)習(xí)函數(shù)的定義.

師：你認(rèn)為它們是什么函數(shù)？說說你的想法.

生：二次函數(shù).

師：你能給二次函數(shù)下個定義嗎？說說你的想法.

生：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）的函數(shù)叫做二次函數(shù).

二次函數(shù)的概念形成：

設(shè)計意圖 通過把生活中的三個問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的實例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓其感受二次函數(shù)模型解決實際問題的必要性，即而感受學(xué)習(xí)二次函數(shù)的必要性.類比一次函數(shù)的定義，在三個問題的追問下生成二次函數(shù)的概念.

2.2 類比探究，形成研究路徑

師：我們從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型，研究了二次函數(shù)的概念，同學(xué)們想想下面該研究什么？

生：概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用.

師：你們認(rèn)為如何研究二次函數(shù)圖象呢？（討論）

生1：列表、標(biāo)點、連線.

生2：從特殊到一般.

……

設(shè)計意圖 學(xué)生回憶研究函數(shù)的“概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用”的一般路徑，通過將二次函數(shù)與一次函數(shù)進(jìn)行比較和聯(lián)系，將已有的知識和技能遷移到新的學(xué)習(xí)情境中，再次從知識結(jié)構(gòu)上加深對研究函數(shù)方法的結(jié)構(gòu)性理解.通過喚醒舊知讓學(xué)生運用一般到特殊的思維方式探究二次函數(shù)的研究順序，優(yōu)化研究路徑，感受數(shù)學(xué)知識的連貫性和內(nèi)在聯(lián)系.

2.3 合作探究，制定研究策略

師：我們明確了研究方向，理清了二次函數(shù)的研究路徑，下面該做什么呢？

師：請你畫出y=x2的圖象，說出這個函數(shù)的性質(zhì)（以形思數(shù)）.

生：增減性、對稱性、最值……

師：如何畫y＝ax2? 的圖象呢？

生：列表、標(biāo)點、連線.

師：可以，今天我們換種玩法，我們一起來由數(shù)想形（討論）.

師：你能通過函數(shù)表達(dá)式得到關(guān)于函數(shù)圖象的哪些結(jié)論？（由數(shù)想形）

生1：關(guān)于y軸對稱的拋物線.

生2：過原點.

生3：a>0時，除頂點，圖象在x軸上方，a<0時，除頂點，圖象在x軸上方.

生4：……

師：你能說出他們得到的結(jié)論依據(jù)是什么嗎？

生：……

師：如何畫y＝ax2＋bx＋c的圖象呢？

生1：列表、標(biāo)點、連線.

生2：由數(shù)想形，得到圖形特征后利用關(guān)鍵點作圖.

師：思考a的取值范圍對其圖象會產(chǎn)生什么影響.

師：除了y＝ax2? 的圖象，你還能大致畫出哪些函數(shù)圖象呢？

生：從數(shù)的角度推理形的關(guān)系.

師：你能畫出y＝ax2＋bx＋c 的大致圖象嗎？

學(xué)生操作作圖，數(shù)形結(jié)合討論系數(shù)對圖象的影響.

師：看到y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，你想到了什么？

生：一元二次方程、不等式……

師：那么我們在這章對二次函數(shù)研究的過程中就可以結(jié)合這些知識解決相關(guān)問題，你能提出相關(guān)的一些問題嗎？

生：……

師：在后面的幾節(jié)課中我們一起陸續(xù)解決這些問題.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生主動探索、思考和解決問題，提出的問題具有挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性，學(xué)生經(jīng)歷以形思數(shù)、由數(shù)想形、數(shù)形結(jié)合，對本章常用的思想方法有了一定的認(rèn)識，感受解決二次函數(shù)問題時數(shù)形結(jié)合發(fā)揮的作用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考和探索.通過制定研究策略，幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)思路，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，從而更好地組織和規(guī)劃學(xué)習(xí)過程.小組討論促進(jìn)學(xué)生的交流和合作能力的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.4 應(yīng)用實踐，歸納鞏固

師：你能來解決開頭生物園問題嗎？

生1：數(shù)的角度，配方法求最值.

生2：形的角度，圖象找最值.

師：你能歸納二次函數(shù)解決實際問題的基本步驟嗎？

設(shè)計意圖 回歸問題情境，將所學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中，提高學(xué)生的實踐能力和解決問題的能力.制定二次函數(shù)解決實際問題的策略，分析問題，找出問題的關(guān)鍵點和難點，提高學(xué)習(xí)效果，滲透數(shù)形結(jié)合思想.幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，感受建模、數(shù)形結(jié)合等思想方法，培養(yǎng)他們的實踐能力.

2.5 總結(jié)提升

師：預(yù)測一下如何研究一個三次函數(shù)？

生：類比一次函數(shù)、二次函數(shù).

師：我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，那什么是三次函數(shù)？該如何研究呢？

生：從概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用這幾方面研究.

師：我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？

生：二次函數(shù).

師：你有哪些收獲？

生：……

設(shè)計意圖 反思學(xué)習(xí)方法和策略，總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，對所學(xué)知識進(jìn)行梳理和整合，加強(qiáng)理解，從不同角度進(jìn)行思考和分析，在掌握知識和技能的基礎(chǔ)上，進(jìn)行拓展和創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

3 教學(xué)啟示與反思

本節(jié)課從情境創(chuàng)設(shè)到概念生成，從特殊二次函數(shù)研究路徑到二次函數(shù)研究路徑的普遍性，逐步分類構(gòu)建，課堂知識結(jié)構(gòu)清晰可見，函數(shù)、方程等核心概念、教學(xué)難點也被逐一突破.建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識體系幫助學(xué)生形成知識的整體性，也能讓學(xué)生掌握知識間的區(qū)別和聯(lián)系，增強(qiáng)整體思維和全局意識.通過問題引領(lǐng)整體建構(gòu)激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，鼓勵學(xué)生獨立思考，提高學(xué)生的思維能力和批判性思維，同時培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，通過對問題的深入研究和解決，形成對知識的整體理解，這樣的教學(xué)更加貼近學(xué)生的實際需求，有助于提高教學(xué)效果.

3.1 以問題為導(dǎo)向引領(lǐng)教學(xué)實施

以問題為導(dǎo)向引領(lǐng)教學(xué)實施強(qiáng)調(diào)通過提出問題來引導(dǎo)學(xué)生主動思考和探究，本節(jié)課的教學(xué)主要由七個問題形成紐帶貫穿教學(xué)的實施.

問題1：二次函數(shù)的概念.

問題2：如何研究二次函數(shù)呢？說說你的想法.

問題3：如何畫y＝ax2? 的圖象呢？

問題4：如何畫y＝ax2＋bx＋c 的圖象呢？

問題5：解決生物園問題.

問題6：預(yù)測一下如何研究一個三次函數(shù)？

問題7：談?wù)劚竟?jié)課你有哪些收獲？

通過這幾個問題生成概念，類比已學(xué)函數(shù)自主設(shè)計全章的研究路徑，初步建構(gòu)出了全章的知識結(jié)構(gòu).形成解題策略、歸納總結(jié)思想方法，并且在問題探究過程中不斷發(fā)現(xiàn)新的問題，借助問題驅(qū)動學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)本章的研究對象與核心問題，在獨立思考和合作交流中探究全章的主要研究對象、研究內(nèi)容、研究方法及其內(nèi)在聯(lián)系，初步做出全章的結(jié)構(gòu)框架，從而實現(xiàn)整體教學(xué).通過以問題為導(dǎo)向引領(lǐng)教學(xué)實施，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、實踐能力和團(tuán)隊合作精神.

3.2 以學(xué)生為主體，在自主探究中整體建構(gòu)

本節(jié)課內(nèi)容對學(xué)生來說是一個新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是一個新的挑戰(zhàn).這個挑戰(zhàn)一定是建立在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗之上的.教學(xué)中要注意運用最近發(fā)展區(qū)理論，學(xué)生經(jīng)歷自主探究、自主發(fā)現(xiàn)，并且在這樣的過程中得到知識的生長、經(jīng)驗的生長、生命的成長.在整個教學(xué)實施過程中要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，教師扮演好引導(dǎo)者和協(xié)助者的角色.

在某種意義上說，整體建構(gòu)的目的就是明白應(yīng)該怎么學(xué).教學(xué)活動是為了讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，也就是讓學(xué)生知道怎么學(xué)，所以說章起始課更要在知識結(jié)構(gòu)性方面做好文章.這種結(jié)構(gòu)上的東西，是由學(xué)生的悟性決定的.學(xué)生將所學(xué)的知識和經(jīng)驗進(jìn)行整合和組織，形成一個完整的知識體系和思維方式.本課例讓學(xué)生借鑒一次函數(shù)與反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程與經(jīng)驗，這就讓學(xué)生找到了二次函數(shù)的生長源；研究二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用等知識環(huán)節(jié)，學(xué)生找到了知識的源頭，進(jìn)而形成生長節(jié)，最終長成知識樹.這是個由內(nèi)往外的自然進(jìn)發(fā)的過程，具備了生長的本質(zhì)特征.

3.3 挖掘本質(zhì)，提升核心素養(yǎng)

這個片段教學(xué)既要注意探究知識結(jié)構(gòu)，又要注意探究解決問題過程中所用到的思想方法及問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).本課例設(shè)計中一開始通過生活中的三個情境，讓學(xué)生感受研究二次函數(shù)的必要性，然后根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗值入主題，研究二次函數(shù)的概念、圖象等.這些策略的研究一是基本經(jīng)驗，二是基于創(chuàng)新，而又重在創(chuàng)新，而不是將學(xué)習(xí)的重點放在碎片化的技能訓(xùn)練上面，而在以形思數(shù)，由數(shù)想形的過程中讓學(xué)生深刻感受到數(shù)形結(jié)合思想對問題解決的重要作用，在解決問題的過程中，運用和整合所學(xué)知識，實現(xiàn)知識的遷移和應(yīng)用.這樣的經(jīng)驗都讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力都得到了提高，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)也在經(jīng)歷這樣的過程中有所提升.

【南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)問題教學(xué)實踐研究”（編號JZ/2021/058）的階段性研究成果】

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