林廉峰

[摘要]問題在誘發(fā)學生思考、鍛煉學生思維能力、提升學生數學素養(yǎng)等方面具有突出的價值．在實際教學中，教師應從教學實際出發(fā)，將教學內容問題化，讓學生在問題的驅動下積極思考、主動探索，進而全面深刻地理解相關內容，有效提高學生的學習品質和數學素養(yǎng)．

[關鍵詞]問題；思考；數學素養(yǎng)

數學學習過程可以看成發(fā)現、提出、分析和解決問題的過程，在問題的驅動下，可以讓學生在理解具體知識的基礎上，掌握數學思想方法．認清數學的本質，實現深度學習，不過，在實際教學中．部分教師認為利用問題驅動的方式開展教學活動可能需要較多的時間．而且學生的知識儲備有限．自主學習能力薄弱，若讓學生自己探索．可能難以發(fā)現有價值的知識、結論和方法，因此教學中還是習慣應用“講授”的方式開展新知教學活動．雖然“講授”在表面上可以幫助教師高效地完成教學任務，但是學生獨立思考和合作探究的缺失不利于其可持續(xù)學習能力的提升．因此，在教學中．教師應結合教學實際提出有意義的問題．讓問題驅動學生思考，引發(fā)學生探究．讓學生由“學會”走向“會學”．

筆者以“周期函數”的教學設計為例，在教學中將具體內容問題化，讓學生在問題探索中積累活動經驗，豐富認知體系．提升數學素養(yǎng)．

教學設計

1．引入生活情境，感知周期現象

問題1你了解周期現象嗎？你能列舉一些實例加以說明嗎？

預設：學生可以根據生活經驗列舉出大量的生活實例，如四季交替，日出日落．潮起潮落．等等.

追問：對于以上現象，如果讓你用一個詞來概括，你想到了什么？

預設：周而復始．

設計意圖從生活出發(fā)，讓學生在生活化的情境中體驗周而復始的變化規(guī)律，感知周期現象，同時通過有效追問，讓學生用語言加以概括，明晰周期現象的本質特征，為接下來概念的抽象做鋪墊．

2．利用問題啟發(fā)，形成核心概念

問題2圖1是水車工作示意圖，水車勻速運動．取水車輪上一點P．記t時刻點P到水面的距離為y，若每5分鐘轉一圈，即y值每5分鐘出現一次，你能用一個數學式子來表示它的變化規(guī)律嗎？

預設：學生結合已有知識和經驗，得到數學表達式f（t+5）=f（t）．

追問1：對于這種周期變化，大家并不陌生，以前我們定義哪個函數時，是以圓周運動為背景的呢？

預設：根據提示，學生容易想到正弦函數y=sinx.由此以學生熟悉的內容為出發(fā)點，引導學生逐漸抽象周期變化的特征．

追問2：在研究正弦函數y=sinx時，以圓周運動為背景．它是否具有周期性呢？如果有，如何用數學式子來表示其周期變化的特征呢？

預設：學生結合圖象發(fā)現每隔2π個單位就會出現縱坐標相同的點，故得到描述周期性的關系式f（x+2π）=f（x）．

追問3：若不借助函數圖象，是否可以發(fā)現正弦函數周期變化的特征？

預設：引導學生從公式出發(fā)，根據誘導公式sm（x+2π）=sinx進行推導，得到f（x+2π）=f（x）．

設計意圖從學生的已有知識和經驗出發(fā)．引導學生用數學的眼光去思考周期變化的特征．繼而由感性認識逐漸上升至理性認識．同時．啟發(fā)學生用模型思想來思考周期變化的特征．為函數模型的構造提供方向．

問題3結合已有知識和經驗，你能否用數學語言來刻畫“周而復始”這一本質特征呢？

預設：教師引導學生將表達式f（t+5）=f（t）與f（x+2π）=f（x）相類比，讓學生用數學語言來刻畫“周而復始”這一本質特征．在此基礎上．教師引導學生轉向一般化，用數學符號語言將其表示為f（x+T）=f（x）（T為常數，且T≠0）．

設計意圖教師引導學生從特殊向一般轉化．通過經歷概念生成過程，加深學生對概念的理解，提高學生的數學抽象素養(yǎng)．

問題4若T=0．會出現什么情況？

預設：若T=0，則f（x）=f（x），完全失去了研究意義．

追問1：已知非零常數T是f（x）的一個周期，那么2T是否是它的周期呢？

預設：根據定義可得-f（x+2T）=f[（x+T）+T]=f（x+T）=f（x），由此可知，2T也是-f（x）的周期．

追問2：3T，4T，…是否也是它的周期呢？

預設：學生結合經驗繼續(xù)驗證，發(fā)現3T．4T都是f（x）的周期，由此得到結論：T的整數倍都是f（x）的周期.

追問3：根據以上研究結果可知，若一個函數是周期函數．則它會有無數個周期．那么它是否存在最小正周期呢？

預設：通過特例f（x）=1，讓學生發(fā)現周期函數不一定有最小正周期．

設計意圖通過層層遞進、環(huán)環(huán)相扣的問題讓學生進一步理解“周期”．為后續(xù)應用打下堅實的基礎．

問題5在函數f（x）=x2中，因為f（-3+6）=f（-3），所以該函數是以6為周期的函數，你認可這個說法嗎？請給出你的理由．

預設：學生結合經驗可知，函數f（x）=x2并不是周期函數，f（-3+6）=f（-3）只是一個特例，并不能保證對于∨x∈R，都有f（x+6）=f（x），如當x=1時，f（1+6）≠f（1），所以該說法是錯誤的.

設計意圖從學生熟悉的函數出發(fā)．通過反例進一步加深學生對定義中的“任意”的理解.

問題6以下3幅圖中．哪些是周期函數的圖象？哪些不是周期函數的圖象？若不是，請給出你的理由．

預設：通過觀察以及對定義的理解．學生可以判斷出以上3幅圖中只有圖2是周期函數的圖象．根據定義可知，周期函數的圖象每平移一個固定長度|T|后，圖象是重合的，而圖3和圖4并不符合這一特征．

設計意圖引導學生利用平移來理解“周而復始”的變化規(guī)律．讓學生明晰“重復出現”與“周而復始”的本質區(qū)別．

3．借助典型例題，深化知識理解

例1試判斷y=7+（-1）n，n∈Z是否為周期函數．

設計意圖周期函數的概念形成過程都是以三角函數為基礎．為了避免學生形成只有三角函數才有周期性的錯覺．教師引導學生利用周期函數的定義驗證一般函數的周期性．以此讓學生對周期函數形成正確的、全面的認識．

例2求下列函數的周期．

（1）y=3sinx，x∈R；

（2）y=cos2x，x∈R；

（3）y=2sin（1/2x-π/6），x∈R.

設計意圖引導學生利用周期函數的定義求函數的周期．讓學生體會函數的周期只與其解析式中的自變量的系數有關，逐漸挖掘其中的一般規(guī)律，提高學生的數學觀察和邏輯推理等能力和素養(yǎng)．

問題7你能用自變量x的系數來表示函數y=Asin（ωx+φ）和，y=Acos（ωx+φ）（ω>0）的周期嗎？

設計意圖通過由淺入深、由特殊到一般的推理，讓學生最終得到一般三角函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）（ω>0）的周期，即T=2π/ω．通過探究讓學生發(fā)現蘊含其中的規(guī)律，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力．

4．重視課堂小結，形成認識結構

問題8通過本課的學習．你有哪些收獲呢？

該環(huán)節(jié)教師要將主動權交給學生．讓學生通過互動交流積累活動經驗．提煉數學思想方法，豐富已有認知體系，形成完善的認知結構．

5．利用分層練習．推動全面提升

在練習環(huán)節(jié)，教師應從教學實際出發(fā)，為不同能力的學生設計不同的問題，通過分層練習調動學生學習的積極性，讓不同層級的學生都能有所發(fā)展、有所提升.

教學思考

在高中數學教學中，教師應以發(fā)展學生的能力和素養(yǎng)為目標，以學生的實際思維為起點．設計有意義的問題．讓學生在問題的啟發(fā)和引導下主動探索、積極互動，從而在理解相關知識的基礎上．掌握數學研究方法，提升自主學習能力．

另外．在實際教學中，教師既要充分預設．也要合理地面對生成．在教學中，教師應認真研究教學、研究教材、研究學生，結合實際學情創(chuàng)設有意義的問題．以此調動學生參與課堂的積極性．充分發(fā)揮學生的主觀能動性，打造“生本”課堂.

總之，在實際教學中，教師應依據實際學情設計問題．讓學生在問題的驅動下經歷知識形成和發(fā)展的過程，理解蘊含其中的數學思想方法，掌握數學研究方法．提高學習品質和數學素養(yǎng)．