羅美秀

［摘 要］新課標(biāo)要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑。文章以“正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象”教學(xué)為例，探討數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的具體實(shí)施方法。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；核心素養(yǎng)；正弦函數(shù)；余弦函數(shù)

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）11-0005-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。”數(shù)學(xué)家波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！比欢?，部分高中數(shù)學(xué)教師一直采用單一的教學(xué)方式——講授式教學(xué)，只注重“抽象性”“邏輯性”，忽視“創(chuàng)造性”“實(shí)用性”。學(xué)生沒有經(jīng)歷知識(shí)的形成發(fā)展過程，而是死記硬背知識(shí)點(diǎn)，通過聽教師講解、做習(xí)題的方式掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，而這樣的學(xué)習(xí)模式會(huì)讓學(xué)生陷入“題?！?，無法觸類旁通、舉一反三。學(xué)生每天“埋頭苦干”，但成績(jī)依然不理想，久而久之，就對(duì)數(shù)學(xué)失去學(xué)習(xí)興趣。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中為了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，探究數(shù)學(xué)知識(shí)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)），而利用有關(guān)工具進(jìn)行的操作和思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為學(xué)生探究數(shù)學(xué)奧秘提供了一種有趣的途徑，它能吸引學(xué)生的注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng)、主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)思考的積極性。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有利于引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐、自主探索、合作交流，有利于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，提出猜想，驗(yàn)證猜想，最后解決問題。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能獲得一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)、積極建構(gòu)新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)環(huán)境，能夠培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從而落實(shí)“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”的基本理念。

一、課前準(zhǔn)備

1.將班級(jí)學(xué)生分為10個(gè)學(xué)習(xí)小組。

2.讓學(xué)生以小組為單位，利用網(wǎng)絡(luò)查閱資料了 解沙擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)原理。

3.讓學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理準(zhǔn)備好實(shí)驗(yàn)器材（簡(jiǎn)易漏斗、細(xì)繩、干細(xì)沙、白紙、架子等）。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)問導(dǎo)學(xué)

［師生活動(dòng)］重溫沙擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，了解有關(guān)實(shí)驗(yàn)原理。

［學(xué)生活動(dòng)］小組合作進(jìn)行沙擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，并展示小組的實(shí)驗(yàn)成果。

［教師活動(dòng)］對(duì)學(xué)習(xí)小組的實(shí)驗(yàn)過程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并針對(duì)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)成果提出問題：每個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)成果都是一條優(yōu)美的曲線，這樣的曲線要用什么函數(shù)來刻畫呢？

設(shè)計(jì)意圖：利用沙擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。通過小組合作進(jìn)行沙擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生體會(huì)實(shí)踐的樂趣，直觀感知正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。借助實(shí)驗(yàn)使學(xué)生產(chǎn)生情感共鳴，引出本節(jié)課的課題。

（二）實(shí)驗(yàn)引領(lǐng)，探索新知

［教師活動(dòng)］以實(shí)驗(yàn)為引領(lǐng)，提出以下問題，引導(dǎo)學(xué)生探索新知。

問題1：正弦函數(shù)的定義是什么？能否利用正弦函數(shù)的定義畫出其圖象？

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧，引導(dǎo)學(xué)生明確正弦函數(shù)的定義及正弦函數(shù)與單位圓之間的關(guān)系，為畫正弦函數(shù)的圖象做準(zhǔn)備。

問題2：你能畫出當(dāng)[x]的值分別為0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]時(shí)對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)[y=sinx]圖象上的點(diǎn)嗎？

［師生活動(dòng)］結(jié)合單位圓和正弦函數(shù)的定義，在平面直角坐標(biāo)系中畫出[x0]的值分別為0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]時(shí)對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)T（x0，sin x0）（如圖1）。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合正弦函數(shù)的定義在平面直角坐標(biāo)系中畫出正弦函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，深化學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)定義的理解；讓學(xué)生結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義，準(zhǔn)確描點(diǎn)，使學(xué)生直觀感受正弦函數(shù)圖象的畫法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

問題3：你能畫出正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象嗎？

生1：只要在[0，2π]上取足夠多的點(diǎn)T（x0，sin x0），并用光滑的曲線將這些點(diǎn)連起來，就可以得到正弦函數(shù)的圖象。

問題4：這樣的函數(shù)圖象精確嗎？

生2：不夠精確。因?yàn)楫媹D時(shí)只是用了圖象的一些點(diǎn)，而不是全部，所以不夠精確。

［教師活動(dòng)］利用希沃白板的作圖工具畫出正弦函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象（如圖2），并與圖1作比較。

設(shè)計(jì)意圖：利用希沃白板的作圖工具輔助教學(xué)，展示正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象的形成過程，使學(xué)生理解正弦函數(shù)的圖象與定義之間的聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想，為后續(xù)的“五點(diǎn)法”作圖奠定基礎(chǔ)。

問題5：在精確度要求不高的前提下，如何快速畫出正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象？

［學(xué)生活動(dòng)］觀察圖象并自行找出快速畫圖的關(guān)鍵點(diǎn)。

［教師點(diǎn)評(píng)］在精確度要求不高的情況下，只需畫出正弦函數(shù)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：[（0，0）]，[π/2，1]，[（π，0）]，[3π/2，-1]，[（2π，0）]，就可以畫出正弦函數(shù)圖象?？偨Y(jié)“五點(diǎn)法”作圖的步驟：列表（列出對(duì)圖象形狀起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）、描點(diǎn)（描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)）、連線（用光滑的曲線順次連接五個(gè)點(diǎn)）。

設(shè)計(jì)意圖：通過問題5，引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦函數(shù)的圖象，概括其特征，獲得“五點(diǎn)法”作圖的簡(jiǎn)便畫法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)。

［例1］畫出[y=1+sinx]，[x∈0.2π]的簡(jiǎn)圖。

［學(xué)生活動(dòng)］小組合作探究并利用希沃授課助手展示交流。

［教師活動(dòng)］對(duì)學(xué)生的探究成果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，分析如何找出作圖的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，點(diǎn)出例1的易錯(cuò)點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)“五點(diǎn)法”作圖的理解；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)。

問題6：如何得到正弦函數(shù)在R上的圖象？

［教師活動(dòng)］引導(dǎo)學(xué)生通過“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”這一知識(shí)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=sinx]，[x∈2kπ，2（k+1）π]，[k∈N*]且[k≠0]的圖象與函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象形狀完全一樣，只需將[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象不斷地向左或向右平移[2π個(gè)]單位長(zhǎng)度就可以得到正弦函數(shù)在[R]上的圖象（如圖3）。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用誘導(dǎo)公式[sin2kπ+x=sinx]，[k∈Z]，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化周期為[2kπ]，將函數(shù)的定義域由[0，2π]推廣到[R]，將函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]的圖象不斷向左或向右平移[2π]個(gè)單位長(zhǎng)度可得到正弦函數(shù)在R上的圖象；利用信息技術(shù)展示圖象平移過程，讓學(xué)生直觀感受圖象的形成。

問題7：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)有什么聯(lián)系？

問題8：通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數(shù)的圖象變換為余弦函數(shù)的圖象？

［教師活動(dòng)］引導(dǎo)學(xué)生探究正弦函數(shù)[y=sinx]與余弦函數(shù)[y=cosx]的關(guān)系，并由“[y=cosx=sinx+π/2]”發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的聯(lián)系。

[y=sinx的圖象向左平移π/2個(gè)單位長(zhǎng)度y=cosx=sinx+π/2]的圖象（如圖4）。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)論證推理結(jié)論，體會(huì)誘導(dǎo)公式是圖象變換的代數(shù)依據(jù)；讓學(xué)生體驗(yàn)將正弦函數(shù)的圖象向左平移[π/2]個(gè)單位長(zhǎng)度后得到余弦函數(shù)的圖象，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)兩個(gè)函數(shù)圖象聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)。

問題9：你能找出畫余弦函數(shù)[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)嗎？

［教師活動(dòng)］引導(dǎo)學(xué)生類比畫正弦函數(shù)[y=sinx]，[x∈0，2π]圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的方法，快速找出畫余弦函數(shù)[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

［學(xué)生活動(dòng)］分組討論，找出畫余弦函數(shù)[y=cosx]，[x∈0，2π]的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為[（0，1）]，[π/2，0]，[（π，-1）]，[3π/2，0]，[（2π，1）]。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的圖象，快速畫出余弦函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想。

［例2］畫出[y=1-cosx]，[x∈0，2π]的簡(jiǎn)圖。

［學(xué)生活動(dòng)］小組合作探究。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生合作探究，進(jìn)一步加深對(duì)“五點(diǎn)法”作圖的理解，同時(shí)檢測(cè)學(xué)生對(duì)“五點(diǎn)法”作圖的掌握情況。

（三）課堂小結(jié)，升華知識(shí)

教師通過思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容（如圖5）。

設(shè)計(jì)意圖：通過思維導(dǎo)圖，將本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生理解知識(shí)的形成過程，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是一種高效的教學(xué)模式，是探究數(shù)學(xué)新知的重要途徑。如何才能更好地利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)輔助教學(xué)呢？筆者覺得可從以下幾個(gè)方面入手。

（一）深挖教材中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例

高中數(shù)學(xué)教材中的思考、探究、課后閱讀等板塊含有很多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例，這些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例類型較多，如操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)等。為幫助學(xué)生理解邏輯性、抽象性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師要細(xì)讀、精讀教材，深挖教材的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例，同時(shí)要與時(shí)俱進(jìn)，熟悉各種常用的信息技術(shù)、教學(xué)軟件，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)情境，帶領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中獲取新知，體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的樂趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（二）采用問題引領(lǐng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方式

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)合理有效的問題。問題引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是啟發(fā)學(xué)生思考、探索新知，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)方式。教師在設(shè)計(jì)問題前，要深挖教材，充分利用教材資源，將知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合，設(shè)計(jì)既相互獨(dú)立又有聯(lián)系的問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中鞏固知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化與靈活運(yùn)用。另外，教師要注意問題的多樣性，讓學(xué)生能夠?qū)W會(huì)從不同的角度思考問題，同時(shí)也要注意問題的挑戰(zhàn)性，由易到難，由淺入深，提高學(xué)生的思維能力。

（三）落實(shí)合作探究與交流的學(xué)習(xí)方式

通過合作探究與交流，學(xué)生能經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，深刻理解知識(shí)，牢固掌握知識(shí)，能夠靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師要為學(xué)生創(chuàng)造合作學(xué)習(xí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生小組合作進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，同時(shí)借助信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)組與組之間的交流。小組合作探究，不僅可以讓學(xué)生從多方面分析問題，深化對(duì)問題的理解，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，在交流探究結(jié)果中找到問題的最優(yōu)解，還可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)，同時(shí)提高學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力。

（四）充分利用信息技術(shù)豐富學(xué)習(xí)資源

《課標(biāo)》指出要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。學(xué)習(xí)是接收、處理、內(nèi)化外部信息的過程，但數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的邏輯性和抽象性，而學(xué)生的認(rèn)知水平有限，邏輯思維能力也存在一定的局限性，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)還不能夠完全理解，并進(jìn)行內(nèi)化。因此，教師需要將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行處理，使其具體化，幫助學(xué)生更好地接收、理解、內(nèi)化、運(yùn)用知識(shí)。近年來，隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，涌現(xiàn)出了很多教學(xué)軟件，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了更多、更便利的條件。利用信息技術(shù)輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，還可以通過具體的圖象呈現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移與運(yùn)用，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到有效提高。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 賴偉倫.開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2003（10）：12-14.

［3］? 師曉娜.創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，引發(fā)探究學(xué)習(xí)興趣［J］.小學(xué)科學(xué)（教師版），2016（1）：106-107.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）