樓文娟,鐘振宇

(1. 浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州　310058; 2.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江紹興　312000)

第一作者樓文娟女，博士，教授，博導(dǎo)，1963年生

計入風(fēng)重耦合效應(yīng)超高層建筑風(fēng)振響應(yīng)計算方法

樓文娟1,鐘振宇1,2

(1. 浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州310058; 2.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江紹興312000)

摘要：風(fēng)重耦合效應(yīng)是指高聳結(jié)構(gòu)側(cè)向變形受到風(fēng)和重力共同影響而引起結(jié)構(gòu)動力特性發(fā)生變化的現(xiàn)象。為了研究風(fēng)重耦合效應(yīng)的作用機理，建立了結(jié)構(gòu)幾何非線性動力方程。對于順風(fēng)向風(fēng)振，可以將方程分解為平均風(fēng)作用下方程和脈動風(fēng)作用下方程，脈動方程是非線性方程，其系數(shù)與平均風(fēng)作用下結(jié)構(gòu)位于相關(guān)。利用等效線性法可以將脈動方程轉(zhuǎn)化為線性方程求解，最后通過隨機振動理論獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)解。計算結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)重剛比是影響風(fēng)重耦合效應(yīng)最重要的因素，順風(fēng)向脈動風(fēng)產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)頂部的位移、速度、加速度響應(yīng)以及底部彎矩響應(yīng)變化量隨著重剛比增大而增大，而對底部剪力響應(yīng)沒有影響。

關(guān)鍵詞：超高層建筑; 風(fēng)重耦合效應(yīng); 非線性振動；風(fēng)振

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51378468)

收稿日期：2013-08-26修改稿收到日期：2014-06-03

通信作者鐘振宇男，博士生，1970年生

中圖分類號:TU312

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.031

Abstract:Wind-gravity coupled effect(WGCE) is a phenomenon that dynamic characters of tall and slender structures are affected by both wind and gravity. In order to study the action mechanism of WGCE, the geometric nonlinear dynamic equation of a tall structure was built. The dynamic equation under load along wind could be divided into a equation under average wind load and the other one under pulse wind load. The latter was a nonlinear equation whose parameters were relative to the structural displacements calculated under average wind. The equation under pulse wind could be converted into a linear ont to be solved with the equivalent linearization method. The results showed that gravity-rigidity ratio is an important factor on WGCE; the displacement, velocity, acceleration on the top of the structure, and the moment at the bottom of the structure increase with increase in gravity-rigidity ratio while the shear at the bottom of the structure does not change.

Computing method for wind-induced vibration response of extra-high buildings based on wind-gravity coupled effect

LOUWen-juan1,ZHONGZhen-yu1,2(1. College Of Civil Engineering And Architecture, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;2. Zhejiang Vocational Polytechnic College, Shaoxing 312000,China)

Key words:extra-high buildings; wind-gravity coupled effect(WGCE); non-linear vibration; wind-induced vibration

當今超高層建筑發(fā)展迅速，給結(jié)構(gòu)設(shè)計提出了很多新課題,其中一個就是風(fēng)重耦合效應(yīng)(Wind-Gravity Coupling Effect，WGCE)。它指高聳結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載作用下產(chǎn)生橫向位移，由于重力存在，加大了彎矩，從而使橫向位移進一步加大，這種現(xiàn)象的存在改變了結(jié)構(gòu)的動力特性，使超高層建筑在脈動風(fēng)作用下響應(yīng)發(fā)生了變化。

高層建筑在抗震設(shè)計中是否需要考慮重力二階效應(yīng)已經(jīng)納入結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范，我國不少規(guī)范對此有詳細的規(guī)定[1-3]。規(guī)范中重剛比(建筑物重量和高度平方的乘積和與彎曲剛度之比)是反映高層建筑剛度的一個重要指標，規(guī)范規(guī)定以彎曲變形為主的高層結(jié)構(gòu)重剛比>0.370時要在計算時考慮重力二階效應(yīng)，>0.714時會產(chǎn)生穩(wěn)定問題而不被允許。

盡管《高程建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》重力二階效應(yīng)的規(guī)定非特指地震荷載，但對風(fēng)荷載的問題無特殊說明。在眾多的文獻中，重力二階效應(yīng)一般指在地震作用下高聳結(jié)構(gòu)P-Δ效應(yīng)。 在風(fēng)和重力對結(jié)構(gòu)的作用方面，國內(nèi)文獻[4]對風(fēng)荷載和重力荷載共同作用的問題做了最簡單的分析。

在超高層建筑實際工程中，風(fēng)重耦合效應(yīng)十分顯著。例如陸天天等對上海中心大廈進行了P-Δ效應(yīng)計算[5]，風(fēng)荷載作用下樓層側(cè)向位移增幅達8.4%，傾覆力矩增幅達8.66%；而多遇地震作用下樓層側(cè)向位移增幅為7.16%，傾覆力矩增幅僅4.61%，此工程中風(fēng)重耦合效應(yīng)大于多遇地震P-Δ效應(yīng)。

事實上結(jié)構(gòu)在動力作用下會產(chǎn)生許多新的特征，因此必須用隨機振動方法來分析風(fēng)重耦合的問題。風(fēng)重耦合效應(yīng)可以用現(xiàn)行有限元軟件進行時程計算，但是軟件無法計算隨機風(fēng)荷載作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)計量值，因此獲得風(fēng)振耦合效應(yīng)下的結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)計算方法十分重要。同時風(fēng)重耦效應(yīng)研究內(nèi)容廣泛，鑒于篇幅關(guān)系，本文內(nèi)容聚焦在超高層建筑順風(fēng)向風(fēng)重耦合效應(yīng)計算方法構(gòu)建上，其他部分將在另文中給出。

1基本假設(shè)

超高層建筑在風(fēng)荷載和重力耦合作用下影響因素較多，作用機理比較復(fù)雜，為了突出主要問題，本文公式推導(dǎo)建立在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上：

(1)在風(fēng)重耦合作用下，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的變形是彈性變形，且是弱非線性變形；

(2)只考慮結(jié)構(gòu)的抖振，不考慮氣彈效應(yīng)；

(3)建筑結(jié)構(gòu)只考慮層間結(jié)構(gòu)變形，且不考慮樓層平面內(nèi)變形。

(4)不考慮結(jié)構(gòu)軸向壓縮變形；

(5)只考慮結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲變形，不考慮剪切變形。

2方程推導(dǎo)

大部分高層建筑可以簡化為一個懸臂梁,這個懸臂梁受到橫向水平力和重力的作用，產(chǎn)生的變形主要是彎曲變形。假設(shè)這懸臂梁在高度z處的水平位移為u，線密度為m(z), 彎曲剛度為Kb(z), 截面面積為A(z), 單位長度轉(zhuǎn)動慣量為J(z)由彎曲引起的轉(zhuǎn)角為θ， 其參數(shù)和結(jié)構(gòu)受力情況見圖1。

圖1　懸臂梁微元受力分析圖Fig.1 Schematic diagram of element acted by forces

由于結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形時，結(jié)構(gòu)的變形與其位置相關(guān)，為了簡便表示結(jié)構(gòu)的位置變化，這里采用動態(tài)坐標系，即以結(jié)構(gòu)主體軸線和水平向位移為坐標，這樣質(zhì)點的水平位移可以用下式表示：

u=u(s,t)

(1)

式中:s為懸臂梁上某點到O點桿子軸線長度，u為該點到Y(jié)軸的距離。

下面從幾何關(guān)系、物理關(guān)系和平衡方程來推導(dǎo)懸臂結(jié)構(gòu)大變形動力方程。

1)幾何關(guān)系：

(1)桿件轉(zhuǎn)角變形與水平位移有如下關(guān)系：

(2)

(3)

(2)桿件上質(zhì)點豎向位移可以根據(jù)軸向無壓縮變形得到豎向變形公式：

(4)

式(4)對時間求導(dǎo)得到速度和加速度：

(5)

(6)

2)物理關(guān)系：

材料力學(xué)中轉(zhuǎn)角變形和彎矩之間有一下關(guān)系：

(7)

3)平衡方程：

參照圖1，取一微元分別對水平向、豎直向和轉(zhuǎn)動向建立運動方程。

(1)x方向力的平衡方程：

(8a)

(2)y方向力的平衡方程：

(8b)

(3)彎矩平衡方程：

(8c)

對上述方程進行處理，并略去轉(zhuǎn)動慣量，對于上下均勻結(jié)構(gòu)可得：

其中非線性項：

(10)

將式(9)進一步轉(zhuǎn)換成差分代數(shù)方程，將計算結(jié)果與商品有限元軟件計算結(jié)果對比，兩者基本一致，證明上述方程的正確性。

3方程隨機響應(yīng)解

式(9)是一個復(fù)雜的非線性微分方程，由于弱非線性振動不存在分岔、跳躍等非線性本質(zhì)現(xiàn)象，等效線性法是簡易有效的方法[6]。Lutes[7]提出等效線性法，將有穩(wěn)態(tài)解的非線性方程來等效模擬白超聲激勵的系統(tǒng)，通過兩者之差的均方值最小，求得隨機方程的解。其后Caughey等[8-10,12]等做了相關(guān)的工作。

等效線性法是將非線性振動體系近似地用等效線性振動體系代替，然后按線性方程求解。等效線性體系的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，可以根據(jù)振動一個周期內(nèi)所消耗的能量相等條件求得。

本文的思路是將式(9)略去非線性項以后進行分解，求得振型和頻率，然后對式(9)進行線性解耦，得到每一階方程，再將這些方程等效線性化后，按照隨機振動理論，求出振動響應(yīng)值。

3.1方程解耦

求解弱非線性方差，可以認為其解接近于以下線性方程：

(11)

假設(shè)上述方程的第i階頻率為ωi，振型為φi(s)，這樣對方程的解可以寫為：

(12)

將式(12)作為近似解代入脈動方程,再左乘φ1沿全長積分，并利用正交關(guān)系可得：

(13)

式(13)中各系數(shù)為：

1階廣義剛度

上式中φ為一階振型。值得注意是上式已經(jīng)對各非線性項做了簡化處理，略去了影響不大的量。同時從系數(shù)中可以看出脈動方程解與平均風(fēng)作用下結(jié)構(gòu)位移有著密切的關(guān)聯(lián)。

3.2方程線性化

式(13)為非線性方程，利用等效線性法求解上式，體系質(zhì)量和剛度對應(yīng)的慣性力和恢復(fù)力在一個周期內(nèi)所消耗能量相等，并把一個周期內(nèi)運動近似作為簡諧振動。通過計算可以得到式(13)的線性等代方程：

(14)

式中:A為振動幅值，由此可以得到計入風(fēng)重耦合效應(yīng)的一階圓頻率：

(15)

式(15)清楚表明，在重力和結(jié)構(gòu)非線性效應(yīng)下結(jié)構(gòu)基頻會減小，而且減小幅度與平均風(fēng)荷載作用下水平位移以及脈動風(fēng)作用下最大水平位移有關(guān)。振幅A為隨機變量，因此質(zhì)量、剛度和頻率也為隨機變量，統(tǒng)計意義上的等價線性剛度為：

等效質(zhì)量為：

根據(jù)隨機過程的極值理論，幅值A(chǔ)服從Rayleigh分布：

(16)

式中σug為計入風(fēng)重耦合效應(yīng)后位移的方差。將式(16)代入等效剛度和等效質(zhì)量表達式，積分后可以得到：

(17)

(18)

同樣可以得到等效線性結(jié)構(gòu)基頻：

(19)

式(17)和式(18)均與位移的均方差有關(guān)，下面求解位移響應(yīng)。

3.4結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)

實際工程中結(jié)構(gòu)要考慮到結(jié)構(gòu)的阻尼，式(14)可以進一步寫為:

(20)

簡化得：

(21)

式中：

求解上述方程可得到傳遞函數(shù)，進一步得到第一振型的位移解：

(22)

(23)

獲得第一振型解以后，可以通過下式方便獲得其他振型的解：

(24)

從上述方程可知，風(fēng)重耦合效應(yīng)對高階固有頻率對幾乎沒影響，但廣義位移有影響。求解上述方程需要求得右側(cè)項的功率譜密度函數(shù)。根據(jù)隨機振動理論，力項、位移項、速度項的交叉項很小可以忽略[15]，因此功率譜函數(shù)可以表示為：

j=2,3,4,…

(25)

于是可以求得結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差：

(26)

由于結(jié)構(gòu)高階響應(yīng)所占的比例很小，利用式(22) 求的一階結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以滿足工程精度要求。

4算例

利用以上計算方法可以對一棟的高層建筑進行順風(fēng)向等效靜力風(fēng)荷載重力耦合計算。為了有效分析主要參數(shù)影響，下面的計算以一棟高300 m的100層建筑為例，每個樓層的質(zhì)量中心與彎曲剛度中心重合，具體計算參數(shù)如表1。

表1　結(jié)構(gòu)參數(shù)

近地面10 m處平均風(fēng)速為20 m/s，地面類別為B類。以下計算參數(shù)變化均采用以上參數(shù)為基點。

圖2～圖5為是結(jié)構(gòu)響應(yīng)圖。圖中縱坐標為結(jié)構(gòu)響應(yīng)量，橫坐標為重剛比。圖中可以看到隨著重剛比增大，兩條曲線逐漸分開，也就是說風(fēng)重耦合效應(yīng)隨重剛比增大，而且呈現(xiàn)加速增大趨勢。同時這四者的變化是有差異的，風(fēng)重耦合效應(yīng)對頂部位移和底部彎矩響應(yīng)影響較大。圖5是底部剪力響應(yīng)，可以看到兩條曲線幾乎疊在一起，也就說兩者一樣，這符合常識，因為重力是豎直向下的，對水平剪力不會產(chǎn)生影響。

圖2 不同重剛比下結(jié)構(gòu)頂部位移響應(yīng)的變化Fig.2Displacementonthetopofstructurechangingwithgravity-rigidityratio圖3 不同重剛比下結(jié)構(gòu)頂部加速度響應(yīng)的變化Fig.3Accelerationonthetopofstructurechangingwithgravity-rigidityratio圖4 不同重剛比下結(jié)構(gòu)底部彎矩響應(yīng)的變化Fig.4Momentatthebottomofstructurechangingwithgravity-rigidityratio

圖5　不同重剛比下結(jié)構(gòu)底部剪力響應(yīng)的變化Fig.5 Shear at the bottom of structure changing with gravity-rigidity ratio

5結(jié)論

本文主要給出超高層建筑風(fēng)振時風(fēng)重耦合效應(yīng)的計算方法，總結(jié)前面內(nèi)容主要有以下結(jié)論。

(1)超高層建筑在風(fēng)荷載作用下，會發(fā)生較大變形的振動，在一定程度上有弱非線性行為，利用變形后微元體的幾何關(guān)系、物理方程和平衡方程可以推得計入風(fēng)重耦合效應(yīng)懸臂結(jié)構(gòu)彎曲振動方程，計算結(jié)果可以驗證與有限元計算結(jié)果一致。

(2)順風(fēng)向結(jié)構(gòu)振動方程可以分解為平均風(fēng)作用方程和脈動風(fēng)作用方程。通過振型分解可以得到各階非線性振動方程。弱非線性問題可以通過等效線性法求解，在建筑物合理剛度范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)非線性效應(yīng)不大，本文方法可以滿足精度要求。

(3)結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以通過求解傳遞函數(shù)獲得結(jié)構(gòu)功率譜函數(shù)，從而得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差。通過算例可知在結(jié)構(gòu)重剛是影響風(fēng)重耦合效應(yīng)最重要的因素，風(fēng)重耦合效應(yīng)隨結(jié)構(gòu)重剛比增大而增大。

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