［摘 要］三視圖補(bǔ)線是通用技術(shù)高考中的一種經(jīng)典題型，因其對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的高要求而成為教學(xué)的重難點(diǎn)。文章根據(jù)三視圖形成過程（正投影）的特征提出兩種補(bǔ)線技巧：線面法和數(shù)點(diǎn)法。線面法，即將體的投影視為多個(gè)面的投影之和，根據(jù)某面正投影的真實(shí)性、相似性、積聚性特征補(bǔ)線并驗(yàn)證；數(shù)點(diǎn)法，即在線面法的基礎(chǔ)上，將某個(gè)面的投影視為多個(gè)點(diǎn)的投影之和，根據(jù)某點(diǎn)正投影的三等關(guān)系特征以及數(shù)點(diǎn)的順序補(bǔ)線。將體的投影逐步分解為面、線、點(diǎn)的投影便可大大降低思維難度，提高解題速度與正確率。

［關(guān)鍵詞］三視圖；正投影；線面法；數(shù)點(diǎn)法；相似性

［中圖分類號(hào)］ G633.98 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2024）27-0018-03

《普通高中通用技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)“圖樣表達(dá)”核心素養(yǎng)的說明為：學(xué)生能識(shí)讀簡單的機(jī)械加工圖及控制框圖等常見技術(shù)圖樣；能分析技術(shù)對(duì)象的圖樣特征，會(huì)用手工和二維、三維設(shè)計(jì)軟件繪制簡單的技術(shù)圖樣等；能通過圖樣表達(dá)設(shè)計(jì)構(gòu)想，用技術(shù)語言實(shí)現(xiàn)有形與無形、抽象與具體的思維轉(zhuǎn)換。

三視圖作為培養(yǎng)學(xué)生圖樣表達(dá)能力的一個(gè)載體，以補(bǔ)線的形式出現(xiàn)，旨在讓學(xué)生根據(jù)已有的線條分析物體的結(jié)構(gòu)特征。通過省去軸測(cè)圖的方法，讓學(xué)生想象該結(jié)構(gòu)的加工或繪制過程，以更好地檢測(cè)學(xué)生抽象思維與具體思維的轉(zhuǎn)換能力。三視圖補(bǔ)線因空間想象難度大，對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)要求高，而成為通用技術(shù)考試中的重難點(diǎn)。如何在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地完成補(bǔ)線，是提高分?jǐn)?shù)、拉開差距的關(guān)鍵。為此，教師總結(jié)出了許多解題技巧，如軸測(cè)圖繪制法、拐點(diǎn)法等。筆者所在的教研組通過探究三視圖形成過程（正投影）的特征，嘗試提出線面法、數(shù)點(diǎn)法這兩種補(bǔ)線技巧，希望能為相關(guān)的教育教學(xué)提供參考。

一、思路簡介

將某個(gè)結(jié)構(gòu)體的投影分解為構(gòu)成該結(jié)構(gòu)的面的投影，甚至分解到點(diǎn)，逐步降低空間維度，從而降低思維難度，是本文中兩種三視圖解題技巧的關(guān)鍵思路。因此，從分析面與點(diǎn)的投影特性出發(fā)，可以幫助我們更好地理解并掌握解題技巧。

物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻面上投下影子。正投影即當(dāng)投射線與投影平面垂直時(shí)，在投影平面上求取物體的投影方法。本節(jié)將簡單闡述在正投影下面和點(diǎn)的投影特征，以及依據(jù)這些特征而提出的線面法和數(shù)點(diǎn)法。

（一）面的正投影特征及線面法

1.面的正投影特征

由正投影易得：當(dāng)面ABC與某一投影面平行時(shí)，所得的投影即為其本身；當(dāng)面ABC與某一投影面處于傾斜狀態(tài)（成一定的角度）時(shí)，所得的投影則是一個(gè)與其本身形狀一致但面積有所縮小的圖形；當(dāng)面ABC與某一投影面垂直時(shí)，所得的投影將積聚為一條線段。我們可以將這三種不同情況下的投影特征分別稱為真實(shí)性、相似性、積聚性，如圖1所示。

2.線面法

對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的物體，為了更加準(zhǔn)確地描述其結(jié)構(gòu)形狀，我們一般會(huì)采用多面正投影法——利用三個(gè)互相垂直相交的投影面（正面投影面V、水平投影面H和側(cè)面投影面W）建立一個(gè)三投影面體系，再采用正投影法將物體同時(shí)向三個(gè)投影面投影，得到三個(gè)投影圖，分別稱為主視圖（由前向后，在正面投影面上形成的投影圖）、俯視圖（由上向下，在水平投影面上形成的投影圖）和左視圖（由左向右，在側(cè)面投影面上形成的投影圖）。主視圖、俯視圖、左視圖統(tǒng)稱為三視圖，如圖2所示。

若某個(gè)面（如面ABCD）的位置非常特殊，與三個(gè)投影面中的兩個(gè)投影面V、W都垂直，與另一個(gè)投影面H平行。根據(jù)面的正投影特征可知，該面在投影面V和投影面W上的投影均為一條水平的線段——積聚性；在投影面H上的投影與其本身的形狀大小均一致——真實(shí)性。它的三個(gè)投影圖可簡稱為“兩平線一面”，如圖3（a）所示。

若某個(gè)面的位置較為特殊，僅與一個(gè)投影面V垂直，與另兩個(gè)投影面W、H均呈傾斜關(guān)系。根據(jù)面的正投影特征可知，該面在投影面V上的投影為一條傾斜的線段——積聚性；在投影面W、H上的投影均為一個(gè)與其本身的形狀一致但面積有所縮小的圖形——相似性。它的三個(gè)投影圖可簡稱為“一斜線兩面”，如圖3（b）所示。

若某個(gè)面的位置關(guān)系一般，與三個(gè)投影面V、W、H均呈傾斜關(guān)系。根據(jù)面的正投影特征可知，該面在投影面V、W、H上的投影均為一個(gè)與其本身形狀一致但面積有所縮小的圖形——相似性。它的三個(gè)投影圖可簡稱為“三面”，如圖3（c）所示。

線面法口訣為“兩平線一面”“一斜線兩面”“三面”。我們可以從三視圖已給出的輪廓線的“平”“斜”“虛”“實(shí)”來判斷被投影面與投影面的位置關(guān)系，再根據(jù)口訣補(bǔ)全缺失的圖線并利用投影的相似性判斷所補(bǔ)線條的正確性。

（二）點(diǎn)的正投影特征及數(shù)點(diǎn)法

1.點(diǎn)的正投影特征

在三視圖中，主視圖反映物體的長和高，俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的高和寬。因此三視圖存在以下投影規(guī)律：主、俯視圖長對(duì)正；主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等——三等關(guān)系。

2.數(shù)點(diǎn)法

若某個(gè)面的形狀復(fù)雜或位置關(guān)系一般（與三個(gè)投影面均呈傾斜關(guān)系），其在某視圖中投影圖線缺失時(shí)，需要補(bǔ)線。由于題中未提供軸測(cè)圖，單憑空間想象難度較大且易出錯(cuò)。此時(shí)可再次進(jìn)行降維處理——將面的投影看作點(diǎn)的投影的連線。

如圖5所示，已知某面與三個(gè)投影面均呈傾斜關(guān)系，其在主視圖、左視圖中的投影是完整的，現(xiàn)在需要在俯視圖中畫出該面的投影。

我們可以在主視圖中將該面上的點(diǎn)按照一定的順序標(biāo)號(hào)，再根據(jù)高平齊原則標(biāo)出這些點(diǎn)在左視圖上的位置，接著根據(jù)長對(duì)正、寬相等原則找出各點(diǎn)在俯視圖的投影并按照順序連線，最后還可用所得投影的相似性檢驗(yàn)所補(bǔ)線段的正誤。

二、補(bǔ)線技巧及其應(yīng)用

當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)結(jié)構(gòu)體時(shí)，首先可用組合或切割的思路粗略分析其大致的加工過程；再根據(jù)加工的過程，將體的投影看成是由加工所得的面的投影的總和；最后借助線面法、數(shù)點(diǎn)法等技巧進(jìn)行解題。

（一）例題

請(qǐng)補(bǔ)全三視圖（如圖6）中所缺的3條圖線。

該結(jié)構(gòu)可看作由一個(gè)長方體進(jìn)行三步加工而得。第一步，由主視圖可得，該長方體的左上角切去了一塊截面為梯形的四棱柱；第二步，由俯視圖可得，該長方體的左前方切去了一塊截面為三角形的三棱柱；第三步，結(jié)合三視圖可得，該長方體的右后方切去了一塊復(fù)雜結(jié)構(gòu)，切割后形成了一個(gè)與三投影面均不垂直的面。（立體圖僅為幫助理解，實(shí)際解題時(shí)無須繪制。圖7中的1、2、3分別對(duì)應(yīng)三步加工形成的部分加工面）

（二）線面法及其應(yīng)用

觀察例題，我們發(fā)現(xiàn)加工面1與正面投影面和側(cè)面投影面均垂直，與水平投影面平行，因此它的投影屬于“兩平線一面”的類型。結(jié)合已有三視圖很容易發(fā)現(xiàn)主視圖左側(cè)加粗的水平線段和左視圖對(duì)應(yīng)等高位置處加粗的水平線段為該加工面的“兩平線”；可推斷在俯視圖的對(duì)應(yīng)處缺少“一面”，如此便可快速鎖定位置并根據(jù)三等關(guān)系補(bǔ)線，如圖8（a）所示。

再觀察俯視方向切去三棱柱后形成的加工面2，該面與水平投影面垂直，與正面投影面和側(cè)面投影面均傾斜，其對(duì)應(yīng)的投影應(yīng)屬于“一斜線兩面”的類型。俯視圖左下角的一條加粗傾斜線段即為“一斜線”，主視圖中與該斜線長對(duì)正之處已有一五邊形，根據(jù)高平齊和寬相等原則可在左視圖對(duì)應(yīng)位置處補(bǔ)出另一個(gè)形狀相似的五邊形，這兩個(gè)五邊形即為“兩面”，如圖8（b）所示。

此題的易錯(cuò)點(diǎn)在于不少學(xué)生會(huì)從左視圖的拐點(diǎn)（黑點(diǎn)標(biāo)注處）作垂線，如此所得的圖形為四邊形。在掌握了線面法后，學(xué)生可由相似性規(guī)律（兩投影形狀一致，應(yīng)均呈現(xiàn)為五邊形）自行檢查，以判斷所補(bǔ)線段的正誤。

（三）數(shù)點(diǎn)法及其應(yīng)用

當(dāng)某個(gè)面與任一投影面均不垂直時(shí)，三個(gè)投影面上會(huì)呈現(xiàn)出三個(gè)相似的面，即“三面”。這類投影涉及的維度更多，立體感更強(qiáng)，需要降維處理，此時(shí)可使用數(shù)點(diǎn)法。

此題的難點(diǎn)為右后方切去一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)后所形成的加工面3，該加工面與三個(gè)投影面均呈傾斜關(guān)系，其對(duì)應(yīng)的投影應(yīng)屬于“三面”的類型。觀察可得，該結(jié)構(gòu)在主視圖與左視圖上的投影是完整的，且均為四邊形，可推斷在俯視圖對(duì)應(yīng)處需補(bǔ)出一個(gè)形狀相似的四邊形。

如圖9所示，應(yīng)用數(shù)點(diǎn)法補(bǔ)線：先按照順時(shí)針的順序?qū)⒅饕晥D四邊形的各個(gè)點(diǎn)標(biāo)為ABCD，再根據(jù)高平齊原則在左視圖上標(biāo)出各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)投影[A'B'C'D']（由于BC等高，光憑高度關(guān)系難以直接確定具體的位置，此時(shí)可根據(jù)連接的順序判斷出與[A']相連的是[B']）。確定了四個(gè)點(diǎn)在主視圖、左視圖上的位置后，使用三等原則畫出各點(diǎn)在俯視圖上的對(duì)應(yīng)位置，再將所得的點(diǎn)按照順序連線并根據(jù)相似性規(guī)律判斷正誤。（圖9中僅展示了點(diǎn)A投影的尋找過程）

三、現(xiàn)有方法優(yōu)缺點(diǎn)總結(jié)

三視圖補(bǔ)線是通用技術(shù)高考中的常考題型，以往補(bǔ)線時(shí)常用的方法主要有：軸測(cè)圖繪制法、拐點(diǎn)法。軸測(cè)圖繪制法：根據(jù)已有的三視圖，用組合法或切割法逐步繪制出軸測(cè)圖。該方法能夠很好地展現(xiàn)結(jié)構(gòu)加工成形的整個(gè)過程，并引導(dǎo)學(xué)生立足整體去解題。所繪的軸測(cè)圖雖然可以降低對(duì)空間想象能力的要求，但該方法所花費(fèi)的時(shí)間較長，且對(duì)學(xué)生繪制圖樣的能力有較高的要求。拐點(diǎn)法：常用的口訣是“有折必有線”。該方法雖然可以幫助我們快速鎖定因面面相交而產(chǎn)生的交線，但只能大致判斷交線所在的位置，無法確定線段的起始點(diǎn)。當(dāng)物體結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)，有轉(zhuǎn)折的地方也可能只呈現(xiàn)為一個(gè)折點(diǎn)而非交線。在這種情況下若依舊使用拐點(diǎn)法，會(huì)將解題者的思路引入歧途。

本文介紹的線面法和數(shù)點(diǎn)法立足整體、著眼局部，是根據(jù)正投影的原理，依照“體—面—線—點(diǎn)”的投影層層降維的分析方法，在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中有較好的應(yīng)用。但這兩種方法對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)有一定的要求，初學(xué)者在理解和應(yīng)用上會(huì)有些困難。

三視圖在通用技術(shù)紙筆測(cè)試中有著舉足輕重的地位，“圖樣表達(dá)”核心素養(yǎng)是高校理工科類專業(yè)需具備的重要素養(yǎng)，其包含的抽象思維與具象思維相互轉(zhuǎn)換的能力在生活的各個(gè)方面都有或大或小的作用。技巧可以幫助我們高效解題，但想真正實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍仍需將精力放在空間想象能力的提升上。以培養(yǎng)能力為主、善用技巧為輔，能夠根據(jù)不同題型的特點(diǎn)靈活選擇適合的補(bǔ)線技巧是三視圖提分的關(guān)鍵。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中通用技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 梁靈輝，陳湛.指向深度學(xué)習(xí)的三視圖變式設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2021（30）：42-44.

［3］ 朱仕成.基于平面立體的三視圖繪制正等軸測(cè)圖教學(xué)探析［J］.中學(xué)理科園地，2021（1）：60-61.

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［5］ 顧建軍.高中通用技術(shù)教學(xué)參考書 必修 技術(shù)與設(shè)計(jì)１［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2009.

（責(zé)任編輯 羅 艷）