【摘 要】運(yùn)算教學(xué)中要讓學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會運(yùn)算一致性。實(shí)施單元整體分析，開展單元整體設(shè)計與教學(xué)，能夠較好地促進(jìn)學(xué)生對運(yùn)算一致性的理解。以整數(shù)乘法運(yùn)算為例進(jìn)行大單元分析，能讓學(xué)生體會筆算加法與筆算乘法之間的聯(lián)系，理解用“先分后合”計算整數(shù)乘法的方法一致性?；趩卧治觯瑢θ私贪鏀?shù)學(xué)三年級上冊“筆算乘法”進(jìn)行單元內(nèi)容統(tǒng)整，對關(guān)鍵課實(shí)施單元整體教學(xué)，能有效地促進(jìn)學(xué)生對算理的理解，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)整體理解與知識遷移，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)運(yùn)算能力的提升。

【關(guān)鍵詞】單元整體教學(xué) 運(yùn)算一致性 運(yùn)算能力

人教版數(shù)學(xué)三年級上冊第六單元“多位數(shù)乘一位數(shù)”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了表內(nèi)乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行編排的，它是對表內(nèi)乘法計算的突破和延伸，需要用“先分后合”的方法（本質(zhì)是乘法分配律）對多位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化拆分計算，而這種方法將統(tǒng)領(lǐng)整數(shù)乘法計算，因此本單元學(xué)習(xí)在整數(shù)乘法大單元中至關(guān)重要，而此單元中“筆算乘法”第一課時是首次學(xué)習(xí)用列豎式的方法進(jìn)行計算，是運(yùn)用“先分后合”進(jìn)行豎式計算表達(dá)的“種子課”，在本單元和整個“整數(shù)乘法”大單元中有重要作用和意義。為此，筆者從單元整體教學(xué)的視角出發(fā)，就“如何讓學(xué)生體會運(yùn)算的一致性”進(jìn)行了實(shí)踐研究。

一、研究思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：要讓學(xué)生感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會運(yùn)算一致性，注重單元整體教學(xué)設(shè)計。整數(shù)乘法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)在哪里？“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元是筆算乘法的學(xué)習(xí)起始，它在整數(shù)乘法運(yùn)算體系中起什么作用？針對以上兩個問題，筆者從單元整體視角出發(fā)對多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算教學(xué)進(jìn)行了分析和研究。

（一）基于整體視角下的單元教材分析

1.教材編排分析

縱觀教材，整數(shù)乘法編排了四個階段（圖1），是按增加乘數(shù)位數(shù)的思路來編排的，本課例屬于第二階段的內(nèi)容。第二階段的內(nèi)容是在乘法的意義和表內(nèi)乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行編排的，它是表內(nèi)乘法的知識拓展和延伸，新知生長點(diǎn)是需要借助整數(shù)的組成和乘法的意義進(jìn)行拆數(shù)乘，把多位數(shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化成學(xué)過的乘法計算（以下統(tǒng)稱“先分后合”）。

圖1

三年級上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”：23×3=（20+3）×3=20×3+3×3。

三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”：23×32=23 ×（30+2）=23×30+23×2。

四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”：123×32=123 ×（30+2）=123×30+123×2。

從上述例子可以看出，雖然乘數(shù)的位數(shù)在增加，但計算的道理不變，都是用“先分后合”算乘法?！跋确趾蠛稀钡乃惴ㄆ浔举|(zhì)就是乘法分配律，這是整數(shù)乘法運(yùn)算的一致性。

本單元作為探索“先分后合”算乘法的起始單元，既是表內(nèi)乘法的突破和延伸，又是后面學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算的重要基石，它在整數(shù)乘法這個大單元體系中是一個關(guān)鍵單元。

2.教材地位分析

本單元的教材編排可以分為兩部分：第一部分是口算教學(xué)，例1是整十、整百乘一位數(shù)，例2是兩位數(shù)乘一位數(shù)；第二部分是筆算教學(xué)，包括6個例題，類型包括不進(jìn)位、一次進(jìn)位、連續(xù)進(jìn)位、乘數(shù)中有0的乘法。

從關(guān)聯(lián)的角度分析本單元教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，其結(jié)構(gòu)圖如圖2。

口算乘法和筆算乘法的計算道理其實(shí)是一樣的，都運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行“先分后合”計算，不同的是：豎式計算是通過結(jié)構(gòu)化的豎式來記錄算的過程。本課是教材初次編排乘法豎式計算，重點(diǎn)理解豎式計算和橫式計算的一致性，掌握豎式計算的基本模型，體會與加法數(shù)理的一致性，為后續(xù)學(xué)習(xí)進(jìn)位乘法奠定基礎(chǔ)。

_{vhcAmVMvgMuLjneyJVARrt6QWMfgWNpsu3TQF5XDgsQ=}（二）基于單元整體視角的單元學(xué)情分析

乘法是加法的簡便計算，乘法和加法的計算有一致性。在學(xué)習(xí)乘法中學(xué)生出現(xiàn)的兩種情況值得關(guān)注：

情況1：多位數(shù)乘一位數(shù)不進(jìn)位乘出現(xiàn)漏乘百位上的數(shù)（圖3）。

做一做

典型問題 主要表現(xiàn) 成因分析

百位上的數(shù)不乘，直接抄下來 沒有從“先分后合”的角度來思考

通過教材分析和學(xué)生談話，發(fā)現(xiàn)其原因之一是：乘法口算的教材只編排了兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，造成本節(jié)課部分學(xué)生未能實(shí)現(xiàn)遷移。

從一致性的角度來分析，不管是幾位數(shù)乘一位數(shù)，其口算方法都一樣。教材只編排兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，可能是出于避免大數(shù)口算的考慮，但如能增加編排簡單的三位數(shù)乘一位數(shù)口算，將是一個培養(yǎng)學(xué)生遷移類推能力的好機(jī)會，也是讓學(xué)生體會到運(yùn)算的一致性的好機(jī)會。在這樣的編排下，即使是四位數(shù)乘一位數(shù)，甚至是需要進(jìn)位的乘法，相信學(xué)生也能完成遷移學(xué)習(xí)。

情況2：筆算13×8，學(xué)生之前只在筆算加法中學(xué)習(xí)了“滿十進(jìn)一”，因此絕大部分學(xué)生都知道向十位進(jìn)“2”，且能說出其中的道理。說明進(jìn)位的方法學(xué)生是能自主推理學(xué)習(xí)的。

基于以上分析，為了更好地發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識，感受運(yùn)算的一致性，教材可做再編排的單元整合設(shè)計。

（三）基于理解與遷移的單元教材整合

1.口算乘法編排做“加法”

教材編排新增123×3的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生提前完成兩位數(shù)乘一位數(shù)計算方法的遷移，增強(qiáng)對整數(shù)乘法的一致性的感受。

2.筆算乘法編排做“減法”

筆算內(nèi)容刪除不進(jìn)位乘法筆算，直接學(xué)習(xí)16×3有進(jìn)位的乘法。本課例就是整合后的課例教學(xué)，其教學(xué)目標(biāo)定位如下：理解多位數(shù)乘一位數(shù)的算理，掌握多位數(shù)乘一位數(shù)不進(jìn)位、一次進(jìn)位的筆算方法，會正確地進(jìn)行計算；經(jīng)歷多位數(shù)乘一位不進(jìn)位、一次進(jìn)位的筆算方法的探究過程，體驗(yàn)計算方法的多樣化，體會運(yùn)算的一致性，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力和推理意識的發(fā)展；初步形成數(shù)學(xué)表達(dá)的意識和良好的計算習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

二、課堂實(shí)踐

（一）情境導(dǎo)入，明確對象

（1）播放視頻：

展示《動物世界》節(jié)目中各類動物冠軍，出示陸地上的跳高冠軍袋鼠的相關(guān)信息：

一只袋鼠身高16分米，跳高的高度是身高的3倍。

（2）提出問題：這只袋鼠一次能跳多高？

（3）列出算式：16×3。

（4）明確運(yùn)算對象及意義：說一說為什么這樣列式？

生：要解決的問題其實(shí)就是求3個16是多少

（二）自主探究，明理定法

1.自主計算，喚醒舊知

師：它的積是多少呢？你能快速口算出來嗎？

生1：把16分成10和6，先算6×3=18，再算10×3=30，18+30=48。

師：用“先分后合”的方法能快速口算出來，真棒！

生2：我是用連加的方法來計算的，16+16+16=48。

師：其實(shí)我們還可以列豎式計算。這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)筆算乘法。（揭示課題）

【評析】喚醒口算教學(xué)中的計算方法，為筆算教學(xué)遷移作好鋪墊。

2.自主探究，概括方法

（1）自主嘗試：先思考乘法豎式怎么列？ 怎么乘？然后在草稿紙上動手試算。

（2）小組交流：4人小組交流，重點(diǎn)說一說你是怎么乘的？在豎式中如何記錄乘得的積？說清其中的道理。

（3）方法展示，全班交流。

①判斷對錯

師：老師搜集了3個同學(xué)的方法（圖3），分別寫在了黑板上，你覺得他們算對了嗎？

方法一： 方法二： 方法三：

生：我覺得前兩個同學(xué)的方法是對的，第三個同學(xué)算錯了，我們口算就知道是48，不是28。

②方法匯報

師：前兩個同學(xué)列的豎式有點(diǎn)不同，請他們上臺，分別給大家講講他們是怎么算的。

方法一：

生1：先算6×3=18，向十位進(jìn)1，個位寫8。再算1×3=3，3+1=4，十位上寫4，合起來就是48。

師：能指著黑板講，真像一個小老師，那大家有什么問題需要跟他交流嗎？

問題一：3乘了個位上的6，為什么還要乘十位上的1？

生1：因?yàn)?6×3里面有3個6和3個10，所以3要分別乘6和1，要乘2次。（自發(fā)的掌聲）

師：誰聽明白了其中的道理呀？

生2：……（重復(fù)道理）

問題二：為什么是加上進(jìn)位的1，而不是乘進(jìn)位的1？

師：乘法計算中為什么還有加法呀？這個問題很有意思！

生1：因?yàn)?6乘3里面有3個6和3個10，18里面還有一個10，所以要加上這一個10。

師：你們聽懂了他的意思嗎？

生：我聽懂了，進(jìn)位的1就是個位相乘得到1個10，所以要加上進(jìn)位的1，就表示一共4個10。

問題三：為什么先算6×3，而不是先算1×3？

生1：如果從十位乘起，那個位進(jìn)位就進(jìn)不到了。

師：如果要加上進(jìn)位的數(shù)，那我們得怎么辦呀？

生1：要把十位上的數(shù)擦掉，再重新寫加上進(jìn)位后的數(shù)，那太麻煩了！

師：看來，從十位乘起也是行的，只是遇到進(jìn)位的情況會比較麻煩，所以大家習(xí)慣從個位乘起，考慮得真周到。

方法二：

生1：先算6×3=18，十位上的1就是10，再算10×3=30，最后算18+30=48。

師：你們覺得方法二與方法一有什么聯(lián)系嗎？

生2：計算方法是一樣的，都是先乘個位上的數(shù)，再乘十位上的數(shù)。

生3：積的寫法不一樣，個位相乘時，方法二是直接寫18，方法一是向十位上進(jìn)1，個位寫8。

師：聽了你們的發(fā)言，老師也明白了，其實(shí)計算方法是一樣的，只是記錄乘積的方法不一樣。兩種記錄方法，你認(rèn)為哪種更簡潔清楚？

生：我覺得方法一更簡潔清楚，個位相乘的積是18，就像加法一樣，滿十就向十位上記“1”就可；30就是3個10，在十位上寫3就能表示3個10。

（4）板書示范，規(guī)范豎式計算過程。（略）

（5）直觀演示，促進(jìn)理解。通過課件動態(tài)直觀演示，進(jìn)一步理解算理。

（6）分析錯題，小結(jié)算法。

師：誰來說一說方法三錯在哪里？出錯的原因是什么？

生：只算了6×3，沒有算10×3。他可能以為像加法一樣，相同數(shù)位上的數(shù)才能計算。

師：如果讓你來當(dāng)小老師，教大家計算的方法，你會怎么教？

生：先乘個位，再乘十位，滿十進(jìn)一。

（三）鞏固練習(xí)，內(nèi)化提升

1.第一關(guān)：猜猜“□”里藏著幾

重點(diǎn)關(guān)注進(jìn)位的方法，通過專項(xiàng)練習(xí)概括進(jìn)位方法。

師：觀察三道題目（圖4），為什么它們向十位進(jìn)的數(shù)不一樣？

生：因?yàn)閭€位相乘的積不一樣，6×3=18，滿10所以進(jìn)1，5×6=30，滿30所以進(jìn)3，9×5=45，滿40所以進(jìn)4。

師：那以此類推，相乘的積滿50、滿60，應(yīng)該向前一位進(jìn)幾？你能用一句話來概括一下進(jìn)位的方法嗎？

生：滿幾十就向十位進(jìn)幾。（板書：相乘滿幾十就向前一位進(jìn)幾）。

2.第二關(guān)：比比誰算得更仔細(xì)

乘數(shù)位數(shù)由兩位數(shù)增加到三位數(shù)，通過對比練習(xí)實(shí)現(xiàn)算理和方法遷移類推，進(jìn)一步概括算法，發(fā)展學(xué)生的推理能力。（圖5）

3.第三關(guān)：比比誰選得對

一只螞蟻的體重只有3毫克，但它能舉起的重量是體重的128倍，它能舉起多少毫克的重量？（圖6）

此題可以通過觀察積的個位、推斷積十位上的數(shù)和精算等兩種方法來作出選擇，旨在培養(yǎng)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)的意識和推理能力，提高運(yùn)算能力。

（四）總結(jié)評價，拓展延伸

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生：我覺得不管是加法、減法、乘法還是除法的筆算，都是要從個位算起。

師：學(xué)習(xí)乘法，能聯(lián)想到其他的運(yùn)算，非常好！但除法筆算是不是從個位算起更方便，還有待我們?nèi)ヌ剿鳌?/p>

師：根據(jù)今天所學(xué)的方法，你覺得我們還能解決哪些乘法問題？課后可以思考思考。

三、課后反思

（一）實(shí)施單元整體教學(xué)設(shè)計，適度整合教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)學(xué)科是一個不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系。有時根據(jù)知識之間的聯(lián)系，從整體視角出發(fā)作適當(dāng)?shù)恼辖虒W(xué)，能實(shí)現(xiàn)整體教學(xué)效率大于各部分分割教學(xué)之和的效果。整數(shù)加法筆算和整數(shù)乘法筆算有著密切的聯(lián)系。學(xué)生對整數(shù)加法中不進(jìn)位加和進(jìn)位加有了整體把握，教師再把乘法的不進(jìn)位乘和一次進(jìn)位乘兩個課時整合在一起教學(xué)，學(xué)生就能更好地從整體上感受整數(shù)乘法筆算和整數(shù)加法筆算的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)整體上的認(rèn)知遷移。

比較筆算乘法和筆算加法，兩者之間存在許多一致性。筆算都會存在進(jìn)位問題，進(jìn)位處理方法是一致的；在乘的順序上是一致的，都要從個位算起，避免出現(xiàn)進(jìn)位后十位上改數(shù)的問題；在記錄每一步計算的結(jié)果時，都是在結(jié)構(gòu)化的豎式中進(jìn)行的，通過數(shù)位和位置來簡潔表示。從以上課程W7Wyf8Myad50nQfzepzO/vnVQKK57m53IPoFlc2g2dY=整體的角度來看，學(xué)習(xí)筆算乘法，關(guān)鍵在于讓學(xué)生理解一位數(shù)要與多位數(shù)的每一位相乘的道理，其他都能依托已有的豎式計算經(jīng)驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)遷移。而理解一位數(shù)要與多位數(shù)的每一位相乘的道理，在口算乘法整合課中已經(jīng)完成了，并概括出了“先分后合”的方法，所以整合教學(xué)并不會增加學(xué)習(xí)的難度，反而讓學(xué)生學(xué)得更加靈活。

（二）注重對比勾連，促進(jìn)數(shù)運(yùn)算一致性的理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貴在求聯(lián)。只有從更廣泛的角度，即用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析和思考，才能達(dá)到更深層的認(rèn)識。本課的勾連發(fā)生了四次。第一次是筆算乘法與口算乘法的對比勾連，學(xué)生通過對比理解了口算乘法與筆算乘法在本質(zhì)上是一樣的，都是運(yùn)用“先分后合”的方法計算，實(shí)現(xiàn)了方法的聯(lián)系統(tǒng)一；第二次發(fā)生在研究從個位乘起時，學(xué)生自覺與加法筆算溝通聯(lián)系，聯(lián)想到當(dāng)計算需要進(jìn)位時，從個位算起更便利；第三次是兩種乘法豎式計算的方法對比，體會借助數(shù)位和位置來進(jìn)行記錄的簡潔性；第四次發(fā)生在全課總結(jié)階段，這是本課最有意義的對比勾連，學(xué)生從整數(shù)乘法要從個位算起，自覺發(fā)散聯(lián)想到四則運(yùn)算，提出加、減、乘、除的筆算都是從個位算起的觀點(diǎn)。最重要的不是正確與否，而是學(xué)生有了整體的意識，能用對比的眼光自覺勾連知識之間的聯(lián)系，這正是單元整體教學(xué)課堂中追求的樣態(tài)。

【參考文獻(xiàn)】

中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.