摘 要：學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍會(huì)產(chǎn)生迷思概念，針對(duì)比較量與標(biāo)準(zhǔn)量分率比較中出現(xiàn)的迷思概念，設(shè)計(jì)迷思概念的診斷工具、制造認(rèn)知沖突活動(dòng)、開(kāi)展調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)前后測(cè)的配對(duì)樣本檢測(cè)分析，發(fā)現(xiàn)臆測(cè)活動(dòng)能產(chǎn)生認(rèn)識(shí)沖突，學(xué)生能正確判斷標(biāo)準(zhǔn)量，語(yǔ)言表征、圖像表征、數(shù)字符號(hào)表征的轉(zhuǎn)換和分母與標(biāo)準(zhǔn)量的關(guān)聯(lián)，能有效促進(jìn)學(xué)生理解比較量與標(biāo)準(zhǔn)量互相轉(zhuǎn)換后分率的變化，更改迷思概念。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);標(biāo)準(zhǔn)量;迷思概念;教學(xué)診斷

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2024）31-0061-04

在教學(xué)中，面對(duì)經(jīng)常出錯(cuò)的學(xué)生，教師嘗試多種策略往往收效甚微，究其原因是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念沒(méi)有正確的認(rèn)識(shí)。許多研究揭示，兒童在接受科學(xué)概念前，頭腦中就存有許多解釋世界的觀念，也就是所謂的前科學(xué)概念或教學(xué)前概念。小學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，不僅在教學(xué)前有許多先有觀念，在接受教學(xué)后，他們頭腦中的概念與科學(xué)概念仍有差異。若學(xué)生的概念與科學(xué)概念不同，則被稱(chēng)為是錯(cuò)誤概念或迷思概念。迷思概念有個(gè)體性、普遍性、動(dòng)態(tài)性、牢固性、片面性的特征，只憑講解很難改變。

分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段重要的內(nèi)容，是兒童將來(lái)學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)概念和技能的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。因分?jǐn)?shù)概念有部分整體、測(cè)量、商、比、算子五種形式的表達(dá)，所以學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)很多迷思概念，如等分概念理念不足、理解“單位量”“標(biāo)準(zhǔn)量”有困難、受整數(shù)運(yùn)算法則的影響等。筆者在學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生存在標(biāo)準(zhǔn)量的迷思概念，本文以標(biāo)準(zhǔn)量的迷思概念為主線，嘗試通過(guò)診斷、教學(xué)干預(yù)實(shí)現(xiàn)學(xué)生迷思概念的轉(zhuǎn)變。

一、標(biāo)準(zhǔn)量迷思概念的診斷

學(xué)生在做判斷題“5比4多，那么4比5少”時(shí)，絕大部分學(xué)生都認(rèn)為是錯(cuò)的，是不是說(shuō)明學(xué)生就不存在這樣的迷思概念。筆者在對(duì)縣區(qū)240名六年級(jí)學(xué)生（寒假剛到校）進(jìn)行了測(cè)試：圖書(shū)角有故事書(shū)70本，比科技書(shū)多，科技書(shū)有多少本？正確率是47.5%，分析學(xué)生的錯(cuò)誤，學(xué)生用70×（1-）或70-70×來(lái)計(jì)算，這兩種錯(cuò)誤的思路一致，占全年級(jí)錯(cuò)誤學(xué)生的75.0%，由此看到學(xué)生出現(xiàn)此類(lèi)錯(cuò)誤還是具有普遍性的。訪談出現(xiàn)此問(wèn)題的學(xué)生，學(xué)生認(rèn)為故事書(shū)比科技書(shū)多，那么科技書(shū)比故事書(shū)少，先用70×算出少的數(shù)量，再用故事書(shū)的數(shù)量減去少的數(shù)量就是科技書(shū)的數(shù)量。通過(guò)訪談可以看出學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的理解不到位，受整數(shù)比較負(fù)遷移的影響，形成了典型的關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)量的迷思概念，即A比B多，B就比A少，這個(gè)迷思概念在判斷題沒(méi)有表現(xiàn)出來(lái)，而在解決問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)了出來(lái)，也反映出迷思概念的牢固性。標(biāo)準(zhǔn)量是指在表征一個(gè)數(shù)量時(shí)，至少需要另一個(gè)數(shù)量作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)，我們把衡量物品所用的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)量，在實(shí)際教學(xué)中也有別的名稱(chēng)，如基準(zhǔn)量，單位“1”，單位量等。下面設(shè)計(jì)迷思概念的診斷工具，方便診斷學(xué)生是否有此迷思概念。

可以通過(guò)不同的類(lèi)型的測(cè)試題來(lái)檢測(cè)，如填空題：男生比女生多 ，你認(rèn)為女生比男生少（ ）。判斷題：一件商品漲價(jià)，然后又降價(jià)了，這件商品的價(jià)格沒(méi)有發(fā)生變化，你認(rèn)為對(duì)嗎？也可以看圖（圖1）填空：

女生比男生多;男生比女生少。

如果學(xué)生在不同類(lèi)型的測(cè)試中，認(rèn)為前后的分?jǐn)?shù)要相等，則診斷學(xué)生具備這類(lèi)迷思概念。

二、標(biāo)準(zhǔn)量迷思概念的干預(yù)

此迷思概念是由于分?jǐn)?shù)比的意義的類(lèi)化不足造成的，因個(gè)體不可能脫離兩個(gè)量的關(guān)系來(lái)表征一個(gè)純粹的“量”。如果學(xué)生不能理解每個(gè)分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)量，就會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題帶來(lái)困難。如何改變學(xué)生的迷思概念？研究表明診斷教學(xué)理論可以有效改變學(xué)生的迷思概念，林福來(lái)教授將診斷教學(xué)理論具體化，把診斷教學(xué)分為三個(gè)環(huán)節(jié)：學(xué)生所犯迷思概念的診斷、針對(duì)學(xué)生的迷思概念制造認(rèn)知沖突、調(diào)整學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)。依此設(shè)計(jì)以下診斷教學(xué)活動(dòng)：

（一）診斷迷思概念

根據(jù)前面提到的診斷工具對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，判斷學(xué)生是否具有此迷思概念，將有此迷思概念的學(xué)生作為研究對(duì)象，進(jìn)行教學(xué)干預(yù)。

（二）制造認(rèn)知沖突

1.通過(guò)臆測(cè)制造認(rèn)知沖突

（1）猜想：男生比女生多，你有什么猜想（女生比男生少）？

（2）舉例制造認(rèn)知沖突：讓學(xué)生計(jì)算完成表1。

（3）觀察表格并思考：如何通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明你的猜想是對(duì)的？

（4）嘗試再舉例計(jì)算，并比較前后女生的人數(shù)。

（5）想一想，按照同學(xué)們的猜想，為什么女生人數(shù)前后不相等，這是什么原因？

（三）調(diào)整學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)

1.理解標(biāo)準(zhǔn)量

（1）案例中認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)量。

案例：如果你本次成績(jī)是80分，你認(rèn)為如何？

意圖：一個(gè)數(shù)是無(wú)法比較好壞的，必須有另一個(gè)數(shù)做對(duì)比，另一個(gè)數(shù)就可以看成標(biāo)準(zhǔn)量。

（2）多案例中表達(dá)并歸納基本的表達(dá)方式，（比較量）比（標(biāo)準(zhǔn)量）多（少）……

2.鋪墊原有知識(shí)

理解一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾，就必須理解一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)幾分之幾的意義。這兩個(gè)數(shù)也分兩種情況，一種是兼容情況，另一種是不兼容的情況，設(shè)計(jì)以下教學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生理解。

（1）兼容情況：觀察圖2，用分?jǐn)?shù)表示男生與全班人數(shù)的關(guān)系并解釋。

討論交流：為什么是，而不是其他分?jǐn)?shù)呢？

②不兼容情況：觀察圖3，用分?jǐn)?shù)表示男生與女生的關(guān)系并解釋。

討論交流：男生是女生的幾分之幾？女生是男生的幾分之幾？?jī)纱斡梅謹(jǐn)?shù)表達(dá)的為什么不一致？通過(guò)討論認(rèn)識(shí)到分母與標(biāo)準(zhǔn)量（或整體）相關(guān)聯(lián)，分子與比較量（或部分）相關(guān)聯(lián)。

3.多種表征轉(zhuǎn)換促進(jìn)理解

（1）圖形表征到符號(hào)表征的轉(zhuǎn)換

先出示4個(gè)圓和5個(gè)正方形，說(shuō)一說(shuō)圓比正方形少幾分之幾，展示不同的答案，并讓學(xué)生討論是還是，說(shuō)明理由。

思考正方形比圓多幾分之幾？說(shuō)明理由。為什么兩次所用分?jǐn)?shù)的分母都不相同？分子都相同？通過(guò)討論認(rèn)識(shí)到分母與標(biāo)準(zhǔn)量的份數(shù)相關(guān)聯(lián)，分子與多（少）的份數(shù)相關(guān)聯(lián)。

（2）符號(hào)表征到圖形表征的轉(zhuǎn)換

先出示兩數(shù)關(guān)系，A比B多。讓學(xué)生畫(huà)圖，比較分析不同的畫(huà)法。思考根據(jù)什么確定A和B各是幾份？因?yàn)榉帜甘?，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)量B的份數(shù)為3份;分子為1，說(shuō)明比較量A比標(biāo)準(zhǔn)量B多1份，即A為4份。

三、標(biāo)準(zhǔn)量迷思概念的改變

（一）前后測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析

通過(guò)以上的診斷教學(xué)干預(yù)，學(xué)生是否轉(zhuǎn)變已有的迷思概念，理解分?jǐn)?shù)中標(biāo)準(zhǔn)量的意義？根據(jù)表征理論，萊什和蘭多認(rèn)為是否理解的證據(jù)為感知、表征、聯(lián)結(jié)、應(yīng)用。聯(lián)結(jié)就是表征之間建立聯(lián)系。學(xué)生通過(guò)不同的表征轉(zhuǎn)換，理解比較量與標(biāo)準(zhǔn)量的倍比關(guān)系。據(jù)此在設(shè)置測(cè)試題時(shí)以文字、圖形、符號(hào)三種方式呈現(xiàn)。除了考慮不同的呈現(xiàn)方式，還從知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)分析兩數(shù)分率比較。在測(cè)試題的命制上考慮兩數(shù)分率比較的基本要素，分別為兩數(shù)關(guān)系、標(biāo)準(zhǔn)量和比較量。命題檢測(cè)試題框架如表2所示：

備注：1表示給定標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)量;2表示給定比較量的數(shù)量;3表示兩量關(guān)系：A比B 多（少）幾分之幾;1^2表示已知標(biāo)準(zhǔn)量和比較量。

現(xiàn)舉例說(shuō)明，例1是已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)量和兩數(shù)關(guān)系，求比較量。例2是已知一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾，找出哪個(gè)量是標(biāo)準(zhǔn)量。

根據(jù)以上命題框架命制試題21道，對(duì)學(xué)生實(shí)施前后測(cè)，并對(duì)前后測(cè)進(jìn)行了配對(duì)樣本檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示：

從上表可以看出后測(cè)的均值都比前測(cè)增加，每項(xiàng)測(cè)試的顯著性差異都<0.05，具有顯著性差異。

（二）表征轉(zhuǎn)換促進(jìn)學(xué)生兩數(shù)比較分率的理解

基于研究對(duì)象對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解不深，教師以分?jǐn)?shù)本身為切入口，讓學(xué)生理解分母、分子分別表示的意義，再加上圖形的直觀輔助，學(xué)生對(duì)兩數(shù)比較的分率就能正確理解。以下的兩個(gè)教學(xué)片斷就是以分母、分子為切入口，通過(guò)表征的轉(zhuǎn)換促進(jìn)學(xué)Xe8KxVlEWALlbEjl9pyZUw==生理解。

教學(xué)片斷一：A比B多幾分之幾？

師：汽車(chē)是5輛，自行車(chē)是4輛，汽車(chē)比自行車(chē)多幾分之幾？

生：。

師：你認(rèn)為多的理由是什么？

生：汽車(chē)是在自行車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)上多的，自行車(chē)是4輛，所以多。

師：分母4是由誰(shuí)來(lái)確定的，分子1是由誰(shuí)來(lái)確定的？

生：分母是由標(biāo)準(zhǔn)量來(lái)確定，分子是看多了幾份就是幾。

教學(xué)中，筆者通過(guò)圖讓學(xué)生理解中分子分母所表示的意義，在檢測(cè)中又讓學(xué)生根據(jù)自行車(chē)比汽車(chē)少來(lái)畫(huà)圖，意圖通過(guò)符號(hào)表征向圖像表征的轉(zhuǎn)換，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)分率的理解。

教學(xué)片斷二：A比B少，B比A多幾分之幾？

師：老師有一個(gè)猜想，今年比去年少，去年就比今年多，對(duì)嗎？為什么？

生：錯(cuò)的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)量發(fā)生了變化，標(biāo)準(zhǔn)量變成了今年，今年和去年的不一樣，今年是4份，去年是5份，所以去年比今年多。

生：標(biāo)準(zhǔn)量發(fā)生了變化，標(biāo)準(zhǔn)量決定分母，今年是標(biāo)準(zhǔn)量，今年是4份，所以分母是4，多了1份，所以是分子是1。去年比今年多。

以上教學(xué)內(nèi)容是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)量發(fā)生變化時(shí)，學(xué)生能否正確用分率表示兩數(shù)關(guān)系。分析師生的對(duì)話，可以看出通過(guò)教學(xué)干預(yù)后，學(xué)生能抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，分母所表示的份數(shù)就是標(biāo)準(zhǔn)量的份數(shù)，不管怎么變，先看標(biāo)準(zhǔn)量是哪個(gè)量，確定標(biāo)準(zhǔn)量是幾份也就確定了分母就是幾，分子就是多或少的份數(shù)。

研究結(jié)果顯示：通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的診斷教學(xué)干預(yù)，學(xué)生能正確判斷標(biāo)準(zhǔn)量，對(duì)比較量與標(biāo)準(zhǔn)量比較的表達(dá)方式有正確的了解;通過(guò)學(xué)生的臆測(cè)活動(dòng)后，學(xué)生對(duì)A比B多那么B就比A少的迷思概念能產(chǎn)生認(rèn)識(shí)沖突;從分?jǐn)?shù)的比的意義角度思考，通過(guò)語(yǔ)言表征、圖像表征、數(shù)字符號(hào)表征的轉(zhuǎn)換，以分母、分子的意義分析為突破口，學(xué)生能很好理解比較量與標(biāo)準(zhǔn)量互相轉(zhuǎn)換后分率的變化。本研究的問(wèn)題來(lái)源于學(xué)生解決問(wèn)題中的迷思，具有一定的普遍性。教師可依據(jù)此例，針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的其他的迷思概念，設(shè)計(jì)教學(xué)診斷工具進(jìn)行教學(xué)干預(yù)，改變學(xué)生學(xué)習(xí)的迷思概念。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊伊生，劉儒德. 兒童分?jǐn)?shù)概念發(fā)展研究綜述[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2008，（06）：130～134.

[2]鮑建生，周 超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3]辛自強(qiáng)，張 睆. 兒童的分?jǐn)?shù)概念理解的結(jié)構(gòu)及其測(cè)量[J]. 心理研究，2012，5（01）：13～20.