透過映射看函數(shù)定義

摘"要：函數(shù)的定義歷來是中學數(shù)學教學中的重點與難點，同時也是高中生學習數(shù)學概念的難點之一。為了解決函數(shù)定義的教與學難題，本文從映射定義出發(fā)，結合高中數(shù)學新課標中核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，從映射的對應關系以及集合的角度再次分析函數(shù)的定義，更精準理解概念本質。通過對概念的再次分析和理解，從高中數(shù)學的新課標實施角度出發(fā)，從三個方面入手精細設計了函數(shù)定義的教學方案，聯(lián)系前后知識內容，最后使函數(shù)的定義被學生更容易理解和掌握。

關鍵詞：映射；函數(shù)；對應關系；集合

函數(shù)概念至少在古希臘時代已經(jīng)萌芽，中文的“函數(shù)”一詞最早出現(xiàn)在李善蘭翻譯的《代數(shù)學》中［1］，現(xiàn)階段我國高中函數(shù)定義的表述是黎曼對應說與布爾巴基學派關系說的融合，采納了“對應”和“關系”的表述方式［2］。本文從映射定義的角度出發(fā)，就如何把握函數(shù)定義與函數(shù)定義的教學方法做了討論與分析，給出函數(shù)定義教學的幾點建議。

1"從映射定義出發(fā)認識函數(shù)定義

有許多的學者在文獻中也討論了函數(shù)定義教學相關問題。張波［3］認為對于函數(shù)的定義應該先給出變量關系的函數(shù)的定義，給出集合對應觀點下的函數(shù)的定義，由此拓展到映射的定義。趙思林等［4］認為現(xiàn)階段的高中函數(shù)定義違背了“定義要相稱”的規(guī)則，并且同一符號意義不一，定義敘述不簡明。保繼光等［1］給出函數(shù)的一個定義，此定義沒有特別地強調實數(shù)y所在的實數(shù)子集，或者認為此處集合B為整個實數(shù)集。這些觀點都對函數(shù)的定義做了深刻的思考，分析函數(shù)定義的內涵，幫助數(shù)學教師理解、掌握函數(shù)定義。但是僅僅從函數(shù)定義本身出發(fā)還是不夠，應該梳理知識脈絡，從更高層面去認識函數(shù)的定義。

高中新課標中提到了培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，如何培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)？史寧中等［5］認為要實現(xiàn)教育目標必須遵循兩個原則，一個原則是把握數(shù)學知識的本質，另一個原則是設計并且實施合理的教學活動。對于函數(shù)定義的認知也可通過把握函數(shù)的本質——映射來實現(xiàn)，在研究映射的基礎上設計并開展教學活動。

首先，給出映射的定義：

“設A、B是非空的集合，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個映射，記作y=f（x）x∈A”。從映射的定義可知，函數(shù)是特殊的映射，為了把握函數(shù)的定義，應該從映射概念的認知入手。

1.1"對應關系的認識

1.1.1"映射中對應關系的分析

討論了對應關系在映射中所起到的作用，接下來看看對應關系的“類型”。集合之間的對應關系實際是一種人為的規(guī)定：沒有理論邏輯或者對應規(guī)律可遵循，如式（1）的對應關系所示，而這種無序的對應關系沒有什么研究的價值。常見映射中所規(guī)定的對應關系一般都是給出元素之間有規(guī)律的對應［如式（2）的對應關系］或者每個元素（或若干個元素）都與同一個元素對應［如式（3）的狄利克雷函數(shù)的對應關系］。

A=1，2，3，B=4，5，6（1）

f1：A→B"f1：1→5，2→4，3→5

f2：R→R（R為實數(shù)集）"f2：x→x+1（2）

f3：［0，1］→R（R為實數(shù)集）"f3：x→1，x是有理數(shù)

x→0，x是無理數(shù)（3）

1.1.2"函數(shù)定義中對應關系引入的必要性

在初中階段所學習的函數(shù)是以“變量說”來定義概念的：如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么稱y是x的函數(shù)。它強調的是用函數(shù)描述一個變化過程，而高中的函數(shù)定義強調的是對應結果。兩種函數(shù)的定義由對應量之間的量變上升為兩個集合之間元素的相對應，人為規(guī)定的法則產(chǎn)生的對應比直觀的量變抽象、難以理解。但是函數(shù)定義會隨著學習深度的加強，出現(xiàn)諸多的問題：首先，有些函數(shù)不能用初中的函數(shù)定義表述出來。函數(shù)的表達方式有列表式、圖像法及解析式法，但如式（3）的狄利克雷函數(shù)就無法用這三種方法來表示，只能用元素對應的方法來描述。其次，初中函數(shù)的定義由于變量有現(xiàn)實意義，所以函數(shù)不能進行加、減、乘、除的運算，只能將集合中元素的現(xiàn)實意義剔除，保留其抽象本質，然后才能進行函數(shù)的運算。最后，初中函數(shù)定義也制約后續(xù)學習中函數(shù)性質、圖像等的研究。

1.1.3"映射定義中對應關系的理解

在映射定義中，“使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應”這句話是用來限制對應關系的，也就是說，映射定義中的對應關系必須要給集合A中每一個元素在集合B中找到與之對應的元素，即A中不能有元素“剩下”來。并且對于A中的每一個元素在B中找到的元素必須是唯一的，即對應關系不能讓集合A中的元素出現(xiàn)“以一對多”的情況。映射定義中的對應關系必須遵循以上的原則，那又有哪些“漏洞”可以讓對應關系來“鉆”呢？首先，通過分析映射定義可以得出在對應關系之下，集合B中的元素可以“剩下”來；其次，集合A中可以允許出現(xiàn)多個元素對應B中一個元素的現(xiàn)象即“以多對一”的情況。函數(shù)是特殊的映射，所以函數(shù)定義中的對應關系也滿足以上的情況，并且可以利用以上的分析結果幫助理解學習函數(shù)，現(xiàn)以“以多對一”為例來說明這一點。在初次學習高中函數(shù)定義后，很多學生在判斷很多特殊的函數(shù)時感覺無從下手，例如：判斷f（x）=c（c為常數(shù)）是否為函數(shù)。雖然滿足函數(shù)對應關系的條件，但受到初中函數(shù)定義的影響，學生通常無法判斷，而這恰恰是“極端”的“以多對一”情況，故可以判斷為函數(shù)。除了判斷特殊函數(shù)外，理解好“以多對一”的情況，還能夠幫助到后續(xù)周期函數(shù)的學習。

1.2"映射定義中集合的認識

1.2.1"映射定義中集合元素的再認識

在初中和高中所學習的函數(shù)中集合的元素均是數(shù)字，而映射中的集合并沒有規(guī)定集合的元素必須為數(shù)字，這是函數(shù)與映射定義中的一個不同之處。集合中的元素可以是多樣的，如集合的冪集，其元素為集合。因此，映射中集合元素的變化也導致了映射不能再沿用初中函數(shù)利用“變量說”來定義。

1.2.2"映射定義中集合的再認識

映射定義中的集合與函數(shù)定義中的集合除了元素不同外，還有集合本身的形式也發(fā)生了改變。在這里主要探討集合以若干個集合的積的形式出現(xiàn)時，映射的再認識。

定義［6］：令A1，A2，…，An分別是n個集合，由一切從A1，A2，…，An里順序取出的元素組（a1，a2，…，an）（ai∈Ai）做成集合A1，A2，…，An的積。

記成"A1×A2×…×An（若干個集合的積仍是一個集合）。

令集合A=A1×A2×…×An，B是一個集合，定義A與B的一個映射f。

f：A1×A2×…×An→B"f：（a1，a2，…，an）→bb∈B

由定義可以看出這是一個序組與一個元素對應的映射。如果理解了這個映射，把A1，A2，…，An，B換成數(shù)集，就會成為我們研究的某個多元函數(shù)。通過討論集合的積及相關映射，會發(fā)現(xiàn)映射的定義具有高度的概括性和抽象性，函數(shù)定義只是映射定義一種特殊情況下的表述。所以站在映射的角度去認識函數(shù)定義是非常有必要的。

在這一部分通過分析研究映射的定義，在梳理知識脈絡的基礎上了解初中函數(shù)、高中函數(shù)與映射定義之間的區(qū)別、聯(lián)系。對函數(shù)定義的再認識能幫助教師把握教學深度和教學內容，做到收放自如、成竹在胸，為教學環(huán)節(jié)的順利進行奠定一定的基礎。

2nbsp;函數(shù)定義的教學方法探討

由于教學資源分布不均和學生生源不同，筆者認為函數(shù)定義的教學方法重點應該從其本質出發(fā)，遵循以學生發(fā)展為本的理念。下面在第一部分分析討論的基礎上，給出高中函數(shù)定義教學的幾點建議。

2.1"全盤考慮，精密布局

高中函數(shù)定義不是一個孤立的概念，之前有初中的函數(shù)定義，隨著內容的延伸還會涉及函數(shù)的性質、圖像、特殊的函數(shù)等，最后還要考慮與映射定義的銜接。兼顧前后的教學內容，使初中函數(shù)定義→高中函數(shù)定義→（映射定義）這條主線貫穿在教學中。

2.1.1"溫故知新，引入函數(shù)定義

初中已經(jīng)給出了“變量說”的函數(shù)定義，在給出新的函數(shù)定義之前可以利用已知函數(shù)定義引入。這個過程操作起來不是太容易：第一，學生會對為何要引入新函數(shù)的定義產(chǎn)生疑問；第二，如何才能將變量變化的過程轉變?yōu)閮蓚€集合元素之間的對應。根據(jù)學生對新知有探索欲望的心理特點，首先要解決第二個問題，引入新的函數(shù)定義。

引入新定義的步驟：

①利用初中函數(shù)定義，引導學生觀察自變量與應變量所組成的集合元素之間的關系。如勻速運動中時間與路程之間的函數(shù)關系式，如果找出部分的時間點做成一個集合，可以得到一些相應路程的值做成的集合，讓學生觀察兩個集合元素之間的關系：兩組對應的值都滿足同一個關系式，即滿足同一個對應關系。

②給出兩個非空數(shù)集，試著讓學生總結出用對應關系的方法如何給出函數(shù)的定義，最后教師加以完善。學生經(jīng)過總結得出了新的函數(shù)定義，可能掌握不到位，但是可以明白高中的函數(shù)定義與初中函數(shù)定義之間的聯(lián)系。

2.1.2"提升認識，解決疑問

此環(huán)節(jié)重點就是解決為什么要引進新的函數(shù)定義，教師應該根據(jù)學生不同的實際情況采用不同的解決辦法。如果學生的掌握情況良好并且整體理解能力不錯，教師可以給出兩個具有實際意義（如時間與路程、圓半徑與面積）的函數(shù)表達式，通過這兩個函數(shù)不能相加來說明初中函數(shù)定義的局限性。如果學生掌握情況一般，教師則可以利用反例說明初中函數(shù)定義不能表述所有函數(shù)。

2.1.3"預留問題，開拓思維

在整個函數(shù)定義的教學中，給學生預留幾個問題。例如，函數(shù)定義中的數(shù)字集合能否換成含有其他類型元素的集合？函數(shù)的對應關系不出現(xiàn)“以多對一”時，函數(shù)的對應關系又會出現(xiàn)幾種對應的情況？學生在經(jīng)過思考、查閱資料解決這些問題時，拓寬了思維，提高了自學的能力。同時，也將所學知識延展，與映射定義相對接，完善了知識體系。

2.2"集中火力，突破難點

高中函數(shù)定義中最難理解的是“對應關系”，在教學過程中應該通過多種手段、方法，讓學生能夠突破理解的瓶頸，掌握“對應關系”。

2.2.1"舉例說明，一目了然

給出多個不同的對應關系，讓學生直觀感知集合之間的對應關系就是人為規(guī)定的一種元素之間的對應。下列的簡單例子，都是對應關系。

給定集合A=1，2，3，4與B=7，8，9，10

f1：A→B，f1：1→7，2→8，3→9，4→10（4）

f2：A→B，f2：1→7，2→7，3→9，4→8（5）

f3：A→B，f3：1→7，1→8，2→10，3→8，4→7（6）

f4：A→B，f4：2→7，3→9，4→8（7）

2.2.2"分析討論，加深理解

以上面給出的例子為分析對象，說明函數(shù)定義下對應關系需要滿足的要求：集合A中每一個元素都在集合B中找到唯一的元素對應。

式（4）是一個函數(shù)，學生剛剛接觸函數(shù)的對應關系時常常會舉出類似這樣的例子來，但此例不足以說明函數(shù)定義中對應關系的特殊性。式（5）中有兩個元素對應同一個元素，教師可引導學生反觀函數(shù)定義中對應關系的要求，通過思考、討論得知式（5）也是函數(shù)。這道例題使學生對函數(shù)定義中對應關系又加深了認識：對應關系中可以出現(xiàn)“以多對一”的情況。式（6）是個反例，重點說明函數(shù)定義中對應關系不能出現(xiàn)“以一對多”，加深學生對元素通過對應關系只能找到唯一的對應元的理解。式（7）同樣也是一個反例，主要是想提醒學生注意函數(shù)定義中“每一個”元素必須通過對應關系找到對應元，而不是存在部分元素能找到對應元。

2.2.3"集合“B”的探討

給定一個函數(shù)f：A→B，關于集合B有哪些注意事項呢？首先，通過函數(shù)定義可以知道函數(shù)的值域包含在集合B中。其次，引導學生注意函數(shù)定義中是否還有關于集合B的限制條件？給出一個例子。

給定集合A=1，2，3，4與B=7，8，9，10

f：A→B，f：1→7，2→6，3→10，4→8

雖然通過對應關系給集合A中每個元素都找到了唯一的元素與之對應，但是，其中有一個元素2所對應的元素6不在集合B中，所以不是函數(shù)。利用這個反例提醒學生注意集合A中每一個元素的對應元素必須都要在集合B中。

2.3"化整為零，提升認知

函數(shù)是整個數(shù)學教學中一個重要的教學內容，它是貫穿高中數(shù)學課程的主線。所以，其定義絕非通過一兩節(jié)課時的講授就能掌握好的，需要在后續(xù)課程以及課余來補充知識，提升認知。

2.3.1"課余時間“查一查”

教師可以指導學生在課余時間通過上網(wǎng)查閱或者翻閱紙質資料等方式，搜集整理函數(shù)定義的發(fā)展史，寫一篇小論文或者讀書筆記。學生學習函數(shù)相關的數(shù)學史知識后，能夠了解函數(shù)定義產(chǎn)生的研究背景，積累一定的數(shù)學文化。同時，函數(shù)與數(shù)學建模之間有著非常緊密的聯(lián)系，函數(shù)是構建數(shù)學建模的有力工具，從這個方面也反映了函數(shù)應用的廣泛性。學生通過課余的學習增加了對函數(shù)研究背景及應用的了解，提高了學習函數(shù)的興趣，同時提升了對函數(shù)定義的認知，在學生的眼里，函數(shù)不再只是數(shù)學概念與練習題，而是一個充滿吸引力的未知領域。

2.3.2"后續(xù)課程中對函數(shù)定義的鞏固

整個高中數(shù)學教材中函數(shù)這部分內容在必修課程課時建議表中給出了52個課時［2］，在課時總數(shù)中所占比重非常大。后續(xù)的課程在講授過程中會一直用到函數(shù)的定義，應該利用這個有利機會，繼續(xù)深化函數(shù)定義的教學。例如，在講授指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，不僅可以反復鞏固函數(shù)的定義，還能在學習這些特殊函數(shù)圖像、性質的過程中再次體會高中函數(shù)定義給出的必要性及定義的抽象性。舊知新學，不斷進行深入的思考、體會，才能使函數(shù)定義掌握得更好。

結語

本文通過研究映射來再次認識高中函數(shù)的定義，并據(jù)此制定函數(shù)定義的教學思路以及教學方法。希望通過這樣的探討能夠提升函數(shù)定義教學的效果，并且為類似的教學內容在教學思路和教學設計上提供有用的方法。

參考文獻：

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［3］張波.對人教A版《數(shù)學（必修1）》內容的建議［J］.教學與管理，2018（1）：4143.

［4］趙思林，王佩，徐小琴.高中函數(shù)定義存在的問題與修訂建議［J］.教學與管理，2017（1）：4143.

［5］史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數(shù)學教育中的數(shù)學核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七［J］.課程·教材·教法，2017，372（4）：814.

［6］張禾瑞.近世代數(shù)基礎［M］.北京：高等教育出版社，1978.

基金項目：寧夏回族自治區(qū)高等教育教學改革與實踐項目（項目編號：bjg2021077）；寧夏自然科學基金（No.2022AAC03331）

作者簡介：張慧（1977—"）女，漢族，寧夏固原人，碩士，教授，研究方向：代數(shù)學教育研究。