摘"要：本文旨在通過中職公共數(shù)學課與汽車維修運用專業(yè)的課程的一個具體案例——平面向量與基爾霍夫定律的融通研究，建立數(shù)學公共課與汽修專業(yè)教學的有效銜接，通過融通研究分析平面向量和基爾霍夫定律在各自領(lǐng)域內(nèi)的基本原理和應(yīng)用，揭示其在數(shù)學及電路理論中的共通之處，有效破解中職公共數(shù)學課與汽修專業(yè)教學之間的桎梏。這不僅對于加強中職公共課與專業(yè)課程教學之間融通實踐研究有良好的示范作用，也是武漢市儀表電子學?！叭谈母?、三全育人”的先行先試。本文通過融通研究分析，加強了公共數(shù)學課與汽修專業(yè)課教學之間的互通互聯(lián)，為跨專業(yè)學科研究提供新的視角。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學；平面向量；基爾霍夫定律；融通研究

中圖分類號：G712""文獻標識碼：A

一、概述

孔祥浩［1］在2017年提出嘗試融合各門公共基礎(chǔ)學科，開展一門培養(yǎng)學生職業(yè)能力的專項課程，并以數(shù)學學科為例，闡述該課程的教學內(nèi)容設(shè)計，發(fā)揮數(shù)學在職業(yè)能力培養(yǎng)中的作用。林?。?］在2019年提出探究在現(xiàn)代學徒制背景下，如何采取有效策略去改進公共基礎(chǔ)課的教學方法（以中職數(shù)學為例），以提升教學效率。嚴生輝［3］在2020年特別研究了中職數(shù)學高效課堂教學特征，并從多個方面提出中職數(shù)學高效課堂教學策略。李瓊［4］在2020年提出現(xiàn)如今的職業(yè)教育由于有些過于看重職業(yè)教育，忽視了文化基礎(chǔ)課的教育，導致出現(xiàn)了一些接受過中等職業(yè)教育的學生，在文化基礎(chǔ)課程上要遜色于一些普通院校的學生，因此要將文化基礎(chǔ)課重視起來，這樣才能培養(yǎng)文才兼?zhèn)涞募夹g(shù)型人才。田靜等［5］在2021年提出構(gòu)建“中職數(shù)學+專業(yè)”的課程整合和教學改革模式，通過建立課程組、研發(fā)新教材、優(yōu)化教學模式、搭建資源庫等措施，進而提升學生學習信心和教師專業(yè)素養(yǎng)，為后續(xù)公共基礎(chǔ)課與專業(yè)課的有效融合奠定扎實基礎(chǔ)。

平面向量是數(shù)學教學中的一個基本概念，廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟等諸多領(lǐng)域。它是代數(shù)和幾何共同的研究對象，通過向量運算可以簡化許多復雜問題的求解和運算?；鶢柣舴蚨砂ɑ鶢柣舴螂娏鞫桑↘CL）和基爾霍夫電壓定律（KVL），是理解和設(shè)計電路系統(tǒng)不可或缺的工具。

本文基于文獻［1］—［10］嘗試將平面向量與基爾霍夫定律進行融通研究，探索兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系和共通之處，使汽修專業(yè)學生能借助平面向量工具更好地理解和運用基爾霍夫定律解決電路中的電壓和電流問題。

（一）平面向量

1.平面向量的基本概念

平面向量是既有大小又有方向的量，通常用帶箭頭的線段表示。在二維平面上，一個向量可以由其起點和終點確定，也可以通過坐標表示法給出。向量之間的基本運算包括加法、減法、數(shù)乘和內(nèi)積等。平面向量指定了起點到終點的方向，平面向量的大小（稱為?；蜷L度）表示其“長度”或“強度”，平面向量常用帶有箭頭的有向線段表示。

2.平面向量的重要定理

平面向量基本定理：平面上任意一個非零向量都可以表示為兩個不共線的向量的線性組合。這一定理揭示了平面上向量的基本構(gòu)成方式，是向量分析的基礎(chǔ)。

平面向量共線定理（平行向量共線定理）：若兩個向量共線，則它們之間存在線性關(guān)系，即一個向量是另一個向量的數(shù)乘。

（二）基爾霍夫定律基本原理

1.基爾霍夫電流定律（KCL）

KCL表述為：在集總電路中，對于任一節(jié)點，在任一時刻流出（或流進）該節(jié)點的所有電流的代數(shù)和恒為0。這一定律基于電荷守恒定律，即電荷既不能創(chuàng)造也不能消滅，只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或從物體的一端轉(zhuǎn)移到另一端。KCL是分析電路中電流分布的重要工具。

2.基爾霍夫電壓定律（KVL）

KVL表述為：在集總電路中，對于任一閉合回路，沿回路繞行一周，各元件電壓的代數(shù)和恒等于0。這一定律基于能量守恒定律，即在一個閉合系統(tǒng)中，能量的變化必須滿足守恒條件。KVL是分析電路中電壓分布的重要工具。

二、平面向量與基爾霍夫定律的融通研究

在探討平面向量與基爾霍夫定律的融通關(guān)系時，結(jié)合電路圖表進行說明可以更加直觀地展示兩者之間的聯(lián)系。圖1是一個簡化的電路圖，圖2是實驗操作圖，針對基爾霍夫定律知識點和平面向量共通點，通過實驗電路圖表示例及操作，中職學生能夠加深平面向量與基爾霍夫定律之間的內(nèi)在聯(lián)系，克服了電路分析的恐懼心理。

（一）基爾霍夫電流定律（KCL）和電壓定律（KVL）的應(yīng)用

在圖3節(jié)點a應(yīng)用KCL：根據(jù)基爾霍夫電流定律，流出或流入節(jié)點a的所有電流的代數(shù)和必須為0。在這個例子中，假設(shè)I1是通過R1的電流，I4是通過R4的電流，I6是通過R6的電流，那么KCL可以表示為：I1+I4+I6=0（通常情況下電流流出為正，流入為負，且實際情況中不會有完全相消的電流，這里僅為了說明代數(shù)和的概念）。在更復雜的電路中，可能會有多個電流流入或流出同一節(jié)點，但KCL總是成立。在圖4虛線所示回路中應(yīng)用KVL：根據(jù)基爾霍夫電壓定律，回路電路中的所有電壓的代數(shù)和必須為0。在這個例子中，假設(shè)U1是R1兩端的電壓，U2是R2兩端的電壓，U3是R3兩端的電壓，那么KVL可以表示為：U1+U2+U3=0。

（二）電流、電壓與平面向量的關(guān)系

1.電流與平面向量的關(guān)系

在研究電流與平面向量的關(guān)系時，將電流視為“向量”，其中平面向量的長度表示電流的強度I，平面向量的方向表示電流流動方向（電流在集總電路中本質(zhì)上是標量，可以視為有方向的量）。在平面向量中，多個平面向量的和可以通過平面向量加法法則推出。類似地，多個電流的“和”（代數(shù)和）可以通過KCL計算。電流與平面向量在數(shù)學描述和物理意義上確實存在共同之處，可以從三個角度闡述電流與平面向量的關(guān)系。

（1）方向性的類比。在集總電路研究中，當電流的“方向性”與平面向量的“方向性”進行類比時，電流可看作是一個沿著導線流動的平面向量，其方向即為電荷流動的方向，大小則用電流強度（單位時間內(nèi)通過導體橫截面的電荷量）來表示。

（2）大小與強度的類比。電流的大小用電流強度I來衡量，單位為安培A，是一個標量。平面向量的大?。ㄩL度或模長）表示向量的長度或強度，也是一個標量。將電流的電流強度類比為平面向量的模長，都表示了某種“量”的大小。

（3）運算的類比。平面向量支持加法、減法、數(shù)乘、點積、叉乘等多種運算以及旋轉(zhuǎn)、平移等變換。在集總電路分析中，雖然電流不能直接進行向量運算，但是電流的變化（交流電的相位變化）和電流在不同元件中的分配（基爾霍夫定律）可以用類似向量的方法來理解和計算。此外，電流在集總電路中的分布和變化也可視為一種“向量場”的變換，可以通過向量的方法來直觀表示和分析。

抽象來看，電流和平面向量都是描述某種“量”在空間中分布和變化的工具。電流在集總電路中的流動可以視為特殊的“向量場”，而平面向量則是提供了一種數(shù)學上解決這種“向量場”的工具。

2.電壓與平面向量的關(guān)系

在研究電壓與平面向量的關(guān)系時，電壓是電學的一個基本量，平面向量是數(shù)學中用于描述二維空間內(nèi)具有大小和方向的量的工具。通過下面三個角度研究可以探討兩者之間的融通之處。

（1）方向性的類比。在集總電路研究中，當電壓的“方向性”與平面向量的“方向性”進行類比時，雖然在直流電路中電壓通常遵循“正極到負極”的定向，但是在交流電路中，電壓的方向可以隨時間周期性變化而發(fā)生變化，正是這種周期性變化可以類比平面向量在平面上的旋轉(zhuǎn)或方向變化。

（2）大小與強度的類比。在集總電路研究中，電壓的大小與平面向量的大小都表示了某種“量”的強度或程度。在電路中，電壓的大小決定了能量轉(zhuǎn)換的效率；而在數(shù)學中，平面向量的大小表示了其代表的物理量（如力、速度等）的強弱。

（3）運算的類比。在集總電路研究中，電壓遵循基爾霍夫電壓定律（KVL），可以看作是電壓在電路中的“加法”運算。平面向量的加法遵循平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)果仍是一個平面向量，可以看作是平面向量矢量和在二維向量空間的“加法”運算，類似物理中力的合成。雖然電壓的“加法”與平面向量的“加法”在物理意義上有所不同，但是在運算形式上具有一定的相似性，電壓和平面向量本質(zhì)都是“量”的代數(shù)線性組合，并且組合后的結(jié)果仍保留原“量”的性質(zhì)（電壓仍是電壓，向量仍是向量），特別是零向量更好地驗證了電壓和平面向量運算的共同之處。

電壓與平面向量雖然分屬不同的學科領(lǐng)域，但通過方向性、大小和運算的類比研究，可以發(fā)現(xiàn)兩者之間存在一定的融通聯(lián)系和共通之處。這種類比有助于從一個新的不同視角理解電壓的概念，同時也展示了平面向量作為一種重要的數(shù)學工具在物理學中的廣泛應(yīng)用和深刻影響。

（三）代數(shù)與幾何的共通性

平面向量與基爾霍夫定律在代數(shù)與幾何層面均表現(xiàn)出共通性。平面向量是通過坐標表示法和向量運算實現(xiàn)了代數(shù)與幾何的緊密結(jié)合。基爾霍夫定律則是通過電流和電壓的代數(shù)和來描述電路中的物理現(xiàn)象，同樣體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的統(tǒng)一性。

（四）守恒定律聯(lián)系

電荷守恒定律和能量守恒定律是自然界的基本法則，它們在平面向量與基爾霍夫定律中均有體現(xiàn)。平面向量中的共線定理可以視為守恒定律在幾何層面的應(yīng)用，基爾霍夫定律則是守恒定律在電路理論中的直接體現(xiàn)。通過對比分析，可以發(fā)現(xiàn)兩者在守恒原理上的內(nèi)在聯(lián)系。

（五）線性關(guān)系的相似性

平面向量中的線性組合和基爾霍夫定律中的電流、電壓代數(shù)和均體現(xiàn)了線性關(guān)系的思想。在平面向量中，任意向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合。在電路中，任意節(jié)點的電流代數(shù)和以及閉合回路的電壓代數(shù)和也都滿足線性關(guān)系，這種相似性為兩者的融通研究提供了可能。

結(jié)語

本文通過對平面向量與基爾霍夫定律的融通研究，揭示了兩者在代數(shù)與幾何、守恒定律以及線性關(guān)系等方面的內(nèi)在聯(lián)系。雖然上述類比在嚴格意義上并非完全精確（電流本質(zhì)上是標量而非向量），但它有助于我們直觀地理解基爾霍夫定律與平面向量在代數(shù)和線性關(guān)系方面的共通性。未來的研究可以進一步探討如何將平面向量的某些方法和技巧（如向量分解、投影等）應(yīng)用于電路分析，以及如何將電路理論中的概念（如阻抗、功率等）與平面向量的物理意義相結(jié)合，從而開發(fā)出更加高效和直觀的電路分析工具。

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［10］林孝明.中職數(shù)學教學與專業(yè)課程的結(jié)合［J］.考試周刊，2016（63）：52.

基金項目：湖北省職業(yè)技術(shù)教育學會科學研究課題（ZJZA202107）

作者簡介：蔡強（1983—"），男，漢族，湖北武漢人，碩士，武漢市儀表電子學校基礎(chǔ)部數(shù)學講師，研究方向：中職數(shù)學教育研究。