現(xiàn)代教育技術(shù)融入“離散數(shù)學(xué)”任務(wù)驅(qū)動教學(xué)探討

［摘 要］ 基于對“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)現(xiàn)狀的分析，旨在探討如何融合現(xiàn)代教育技術(shù)，采用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法改進(jìn)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)。由于“離散數(shù)學(xué)”是計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)課程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問題解決能力至關(guān)重要，因此采用有效的教學(xué)方法具有重要的意義。通過相關(guān)文獻(xiàn)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中具有潛力和優(yōu)勢。通過介紹任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法的基本概念和原則，并探討如何利用現(xiàn)代教育技術(shù)來支持任務(wù)驅(qū)動教學(xué)在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用。最后，討論任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中的效果和挑戰(zhàn)，并提出未來研究的方向和建議。

［關(guān)鍵詞］ 任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法；離散數(shù)學(xué)；現(xiàn)代教育技術(shù)；教學(xué)改進(jìn)

［基金項(xiàng)目］ 2023年度浙江理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院（人工智能學(xué)院）教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“面向人工智能的‘離散數(shù)學(xué)’的課程教學(xué)探索與實(shí)踐”（jsjjg202304）

［作者簡介］ 李 娟（1985—），女，山東費(fèi)縣人，博士，浙江理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院（人工智能學(xué)院）講師，主要從事傳染病建模與仿真研究。

［中圖分類號］ G642.0 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2025）06-0133-04 ［收稿日期］ 2023-11-21

引言

離散數(shù)學(xué)是研究離散結(jié)構(gòu)和對象的數(shù)學(xué)學(xué)科，涉及離散的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如集合、圖論、邏輯、代數(shù)和組合數(shù)學(xué)［1］。它在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、數(shù)論、密碼學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用?！半x散數(shù)學(xué)”課程重視理論與實(shí)踐相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)推理和問題解決培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象建模和問題解決能力［2-3］。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)可以幫助學(xué)生掌握一系列基本的數(shù)學(xué)工具與方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)［3］。

離散數(shù)學(xué)具有豐富的知識體系、靈活的結(jié)構(gòu)、繁多的概念和極高的抽象度，體現(xiàn)強(qiáng)烈的理論性特點(diǎn)［4］。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)方法過于注重理論知識的灌輸，導(dǎo)致學(xué)生難以理解，缺乏興趣和主動性，對學(xué)習(xí)產(chǎn)生不利影響。學(xué)生通常表現(xiàn)出相對被動的態(tài)度，與培養(yǎng)實(shí)際應(yīng)用能力存在脫節(jié)，進(jìn)一步影響學(xué)習(xí)成果。隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，學(xué)生須要具備解決實(shí)際問題的實(shí)踐能力，而不僅僅是掌握純理論知識。因此，改進(jìn)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，激發(fā)興趣、增強(qiáng)主動性和培養(yǎng)實(shí)踐能力成為重要而迫切的任務(wù)。

目前，高等教育機(jī)構(gòu)正積極改革離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，探索適用于實(shí)踐的多種方式。這些方式包括任務(wù)驅(qū)動式［3-4］、啟發(fā)式［5］、問題驅(qū)動式［6］和案例式［7］等教學(xué)方法，并已在高校廣泛實(shí)踐和驗(yàn)證。然而，隨著科技的發(fā)展和社會需求的提升，我們需要不斷探索更具創(chuàng)造性和互動性的教學(xué)方法。其中一種可行方式是讓學(xué)生積極參與問題解決。因此，本文將探討如何融合現(xiàn)代教育技術(shù)，采用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法改善離散數(shù)學(xué)的教學(xué)。通過多樣的教學(xué)方式，旨在提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生解決問題和創(chuàng)新思維的能力。

一、任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法的理論基礎(chǔ)和原則

任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法是一種以任務(wù)為核心的教學(xué)模式，教師設(shè)計(jì)任務(wù)，學(xué)生通過完成任務(wù)來實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)［3］。在這種方法中，教師扮演著組織者、指導(dǎo)者和知識意義建構(gòu)的支持者的角色，通過設(shè)計(jì)任務(wù)來引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動教學(xué)中扮演著主動學(xué)習(xí)者的角色，通過完成任務(wù)來建構(gòu)知識和意義。教材提供了學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而媒體則被用于創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和合作探索能力，幫助他們建構(gòu)知識和意義［8］。此方法的實(shí)施可基于以下幾個(gè)基本原則。

1.學(xué)習(xí)任務(wù)的真實(shí)性和意義性。任務(wù)應(yīng)與學(xué)生的實(shí)際生活和職業(yè)發(fā)展密切相關(guān)，具有一定的實(shí)際應(yīng)用場景和意義。例如，在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中，設(shè)計(jì)一個(gè)涉及網(wǎng)絡(luò)布線的問題或優(yōu)化課程表排課方案，能夠讓學(xué)生意識到離散數(shù)學(xué)知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)的真實(shí)性。通過與真實(shí)而有意義的學(xué)習(xí)任務(wù)接觸，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生批判性思維、創(chuàng)新思維和問題解決的能力，還能夠提高學(xué)生合作與交流的能力。

2.學(xué)習(xí)任務(wù)的挑戰(zhàn)和啟發(fā)。挑戰(zhàn)性的任務(wù)讓學(xué)生反思自己的不足，激發(fā)他們對問題的好奇心和求知欲，從而主動進(jìn)行深入學(xué)習(xí)。太簡單的任務(wù)容易使學(xué)生失去興趣。面對困難的問題，學(xué)生經(jīng)歷思考、推理和創(chuàng)造性解決問題的過程，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。啟發(fā)性的任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題的解決方向，避免因難以解決問題而失去學(xué)習(xí)興趣。此外，任務(wù)應(yīng)具有開放性、多樣性和多元化，滿足不同學(xué)生的需求和興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，提高學(xué)習(xí)效果。

3.學(xué)習(xí)任務(wù)的合作和互動。合作性任務(wù)促進(jìn)學(xué)生間開展合作與協(xié)作，共同探討問題、分享觀點(diǎn)和解決挑戰(zhàn)?；有匀蝿?wù)促進(jìn)學(xué)生間及師生間的積極互動，激發(fā)思想碰撞和知識交流。在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中，通過小組討論、課堂展示等方式設(shè)置激發(fā)學(xué)生積極思辨和交流的任務(wù)，學(xué)生能充分展示思維，通過交流與對話擴(kuò)展思維邊界、加深對知識的理解，并從中獲得啟發(fā)與激勵。

4.反饋和評估的及時(shí)性和重要性。任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法高度重視反饋和評估的及時(shí)性和重要性。教師可通過多種方式觀察和評估學(xué)生學(xué)習(xí)，包括觀察任務(wù)表現(xiàn)和與學(xué)生交流，結(jié)合個(gè)人作業(yè)和多學(xué)科融合教學(xué)等方法，全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展和思維過程。這種信息能幫助教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)困難和問題，并提供針對性的反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服障礙，提高學(xué)習(xí)效果。及時(shí)的反饋和指導(dǎo)有助于調(diào)整教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)動力的提升和自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中，任務(wù)驅(qū)動的教學(xué)方法以設(shè)計(jì)實(shí)際問題和項(xiàng)目為手段，旨在使學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)踐。這一方法不僅能夠點(diǎn)燃學(xué)生的求知熱情和動力，更能夠推動他們自主學(xué)習(xí)和團(tuán)隊(duì)合作能力的發(fā)展。通過解決實(shí)際問題和完成任務(wù)，學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識變現(xiàn)。

二、現(xiàn)代教育技術(shù)在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用

現(xiàn)代教育技術(shù)在教學(xué)中扮演著越來越重要的角色。隨著科技的不斷發(fā)展，教育技術(shù)已成為教育領(lǐng)域不可或缺的一部分，對教學(xué)方式和學(xué)習(xí)體驗(yàn)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響［9-10］?，F(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用為教師和學(xué)生提供了全新的可能性，具體內(nèi)容如下。

1.交互式學(xué)習(xí)平臺。教育技術(shù)可以提供交互式學(xué)習(xí)平臺，讓學(xué)生通過在線模擬實(shí)驗(yàn)、游戲和練習(xí)來掌握離散數(shù)學(xué)的概念和技巧。這些平臺可以提供實(shí)時(shí)反饋和個(gè)性化學(xué)習(xí)路徑，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用離散數(shù)學(xué)的知識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果。

2.虛擬實(shí)驗(yàn)室。虛擬實(shí)驗(yàn)室和模擬仿真技術(shù)為離散數(shù)學(xué)中抽象概念的教學(xué)提供了有力支持。通過虛擬實(shí)驗(yàn)室，學(xué)生可以進(jìn)行離散數(shù)學(xué)的實(shí)踐操作，如圖論的可視化分析、布爾代數(shù)的邏輯運(yùn)算等。這樣的實(shí)驗(yàn)室可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用離散數(shù)學(xué)的概念，同時(shí)提供一個(gè)安全和可控的學(xué)習(xí)環(huán)境。

3.在線討論和合作。教育技術(shù)可以提供在線討論和合作的平臺，讓學(xué)生在離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中展示學(xué)習(xí)成果，進(jìn)行互動和合作。學(xué)生可以通過在線論壇、協(xié)作文檔等工具，與同學(xué)和教師一起解決問題、分享思路和討論學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進(jìn)了生生之間以及師生之間的互動和交流。

4.數(shù)據(jù)分析和個(gè)性化學(xué)習(xí)。教育技術(shù)可以收集學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的數(shù)據(jù)，如答題情況、學(xué)習(xí)進(jìn)度等，通過數(shù)據(jù)分析和機(jī)器學(xué)習(xí)算法，為學(xué)生提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)建議和反饋。這樣的個(gè)性化學(xué)習(xí)方式可以幫助學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)，并根據(jù)學(xué)生的需求和進(jìn)展進(jìn)行調(diào)整。

5.在線資源和學(xué)習(xí)工具。教育技術(shù)可以提供大量的在線資源和學(xué)習(xí)工具，如教學(xué)視頻、交互式教材、練習(xí)題庫等，幫助學(xué)生在離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中獲取更多的學(xué)習(xí)材料和輔助工具。這些資源和工具可以提供多樣化的學(xué)習(xí)方式，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

總之，現(xiàn)代教育技術(shù)為任務(wù)驅(qū)動的“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)注入了新的活力，豐富了教學(xué)手段，提升了學(xué)生的參與度，進(jìn)一步提升了教學(xué)質(zhì)量和效果。

三、基于現(xiàn)代教育技術(shù)的任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法的應(yīng)用實(shí)例

本節(jié)通過圖像著色案例展示了如何用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)教授離散數(shù)學(xué)。為了讓學(xué)生理解圖像著色問題的概念和原理，并培養(yǎng)邏輯思維和問題解決技能，我們精心設(shè)計(jì)了教學(xué)環(huán)節(jié)和方法，包括利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生互動和合作。

在教學(xué)準(zhǔn)備階段，我們會準(zhǔn)備圖案涂色問題的簡單示例，并了解學(xué)生的離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和能力水平。教學(xué)步驟包括引入、概念講解、任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法介紹、任務(wù)實(shí)踐以及討論和總結(jié)。在引入階段，我們介紹圖案涂色問題的背景和應(yīng)用領(lǐng)域，引導(dǎo)學(xué)生思考核心問題。在概念講解階段，通過模擬實(shí)驗(yàn)、小游戲和實(shí)際案例，講解圖案涂色問題的基本概念和規(guī)則。在介紹任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法階段，闡述任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法的原理、步驟以及與傳統(tǒng)教學(xué)方法的區(qū)別和優(yōu)勢。在任務(wù)實(shí)踐階段，學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識解決簡單的圖案涂色問題，并在平臺上提問、討論和合作。最后，在討論和總結(jié)階段，學(xué)生展示解決方案并進(jìn)行討論、比較，總結(jié)任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法在圖案涂色問題中的應(yīng)用效果和優(yōu)勢。在教學(xué)評估階段，通過觀察學(xué)生在任務(wù)實(shí)踐中的表現(xiàn)和問題解決能力，收集他們在學(xué)習(xí)平臺上提交的作業(yè)和討論記錄進(jìn)行評估。在教學(xué)延伸階段，我們鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索圖案涂色問題的相關(guān)研究和應(yīng)用領(lǐng)域，提供更復(fù)雜的任務(wù)和在線學(xué)習(xí)資料，引導(dǎo)學(xué)生在離散數(shù)學(xué)中探索其他實(shí)際問題的應(yīng)用。

通過該案例，學(xué)生可以深入理解圖案涂色問題的概念和解決方法，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和主動性，提高學(xué)習(xí)效果和能力，培養(yǎng)邏輯思維和問題解決能力。借助現(xiàn)代教育技術(shù)，離散數(shù)學(xué)教學(xué)更靈活、個(gè)性化和互動，幫助學(xué)生理解和應(yīng)用知識。智能化學(xué)習(xí)系統(tǒng)監(jiān)控學(xué)生學(xué)習(xí)情況，調(diào)整任務(wù)設(shè)置，提供個(gè)性化指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服困難，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展。

四、教學(xué)效果、挑戰(zhàn)及建議

根據(jù)文獻(xiàn)調(diào)查，任務(wù)驅(qū)動式教學(xué)法在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中展現(xiàn)出卓越的潛力和優(yōu)勢［3-4，8］。首先，它能夠喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，進(jìn)一步提升學(xué)習(xí)動力和積極性。其次，任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法注重實(shí)踐和應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生將離散數(shù)學(xué)的知識與實(shí)際問題結(jié)合起來，提高問題解決能力。此外，任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法還能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作和溝通能力。

然而，在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中，任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法面臨一些挑戰(zhàn)。在任務(wù)設(shè)計(jì)方面，需要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和背景知識，確保任務(wù)的適宜性和可完成性。過于簡單或過于復(fù)雜的任務(wù)都可能影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教師需要具備相應(yīng)的教學(xué)技能和離散數(shù)學(xué)知識，同時(shí)還需具備任務(wù)設(shè)計(jì)和指導(dǎo)學(xué)生解決問題的能力，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行任務(wù)驅(qū)動的學(xué)習(xí)。在評價(jià)和考核方面，傳統(tǒng)的考試形式可能不能全面評價(jià)學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，需要探索更綜合和多樣化的評價(jià)方式，以對學(xué)生的實(shí)際表現(xiàn)進(jìn)行更準(zhǔn)確和全面的評價(jià)。

因此，推動“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)改革需要進(jìn)行更多實(shí)證研究，探索任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法在不同學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)生群體中的應(yīng)用效果。同時(shí)，需要加強(qiáng)整合現(xiàn)代教育技術(shù)、個(gè)性化學(xué)習(xí)支持和反饋的研究。還需要加強(qiáng)教師培訓(xùn)，以增強(qiáng)任務(wù)驅(qū)動教學(xué)能力。具體可從以下幾個(gè)方面展開探討。

1.探索任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中的具體應(yīng)用和效果。通過進(jìn)行不同類型的任務(wù)設(shè)計(jì)，深入研究任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法在實(shí)際“離散數(shù)學(xué)”課程中的應(yīng)用效果，并研究不同任務(wù)類型對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響。此外，可以通過實(shí)驗(yàn)研究，深入比較任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法與傳統(tǒng)教學(xué)法在學(xué)生學(xué)習(xí)成果、學(xué)習(xí)動機(jī)以及學(xué)習(xí)興趣等方面的差異，以評估任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法的實(shí)際效果。

2.利用人工智能和自適應(yīng)技術(shù)支持任務(wù)驅(qū)動教學(xué)?？梢岳萌斯ぶ悄芎妥赃m應(yīng)技術(shù)，為學(xué)生提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)支持和反饋。開發(fā)智能教育系統(tǒng)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和需求，自動調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)資源，提供有效的學(xué)習(xí)路徑和反饋。同時(shí)，還可以研究如何利用人工智能技術(shù)分析學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，提供有針對性的學(xué)習(xí)建議和輔導(dǎo)。

3.提升教師的任務(wù)驅(qū)動教學(xué)能力。開展有針對性的教師培訓(xùn)項(xiàng)目，讓教師了解任務(wù)驅(qū)動教學(xué)的理念和方法，并提供實(shí)際操作的指導(dǎo)，增強(qiáng)他們運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法進(jìn)行課程設(shè)計(jì)和實(shí)施的能力。同時(shí)，深入研究教師在任務(wù)驅(qū)動教學(xué)中的作用和所需技能，以評估和提升教師的任務(wù)驅(qū)動教學(xué)能力。

結(jié)語

本文討論了融合現(xiàn)代教育技術(shù)的任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中的應(yīng)用。強(qiáng)調(diào)任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法的重要性，提出了一種創(chuàng)新的教學(xué)模式。在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中，結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)的任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法具有巨大潛力。通過引入真實(shí)、具有挑戰(zhàn)性和合作性的學(xué)習(xí)任務(wù)，借助虛擬實(shí)驗(yàn)室、在線學(xué)習(xí)平臺和智能化教學(xué)工具等現(xiàn)代教育技術(shù)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動力，提高學(xué)生解決問題和團(tuán)隊(duì)合作的能力。然而，任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法的實(shí)施仍面臨挑戰(zhàn)，需要進(jìn)一步研究實(shí)踐，應(yīng)加強(qiáng)教師信息技術(shù)運(yùn)用和任務(wù)驅(qū)動教學(xué)能力的培訓(xùn)。同時(shí)，還要關(guān)注任務(wù)驅(qū)動教學(xué)方法在不同學(xué)習(xí)群體和環(huán)境中的應(yīng)用效果，并提出教學(xué)改進(jìn)策略，優(yōu)化教學(xué)效果和提高教學(xué)質(zhì)量。

（項(xiàng)目組成員：金耀、曹麗、馮杰、胡潔、馮金旺）

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Integrating Modern Information Technology into Task-Driven Teaching in Discrete Mathematics

LI Juan

（School of Computer Science and Technology （School of Artificial Intelligence）， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou， Zhejiang 310018， China）

Abstract： Based on the analysis of the current situation of discrete mathematics teaching， this paper aims to explore how to integrate modern education technology and adopt task-driven teaching method to improve the teaching of discrete mathematics. As discrete mathematics is a fundamental course in computer science and information technology， it is crucial to cultivate students’ logical thinking and problem-solving skills. Therefore， applying effective teaching methods is of great significance. Through relevant literature investigation， we found that task-driven teaching method has potential and advantages in the teaching of discrete mathematics. This paper will introduce the basic concepts and principles of task-driven teaching method， and explore how to utilize modern education technology to support the application of task-driven teaching method in discrete mathematics teaching. Finally， we will discuss the effects and challenges of task-driven teaching method in discrete mathematics teaching， and propose directions and suggestions for future research.

Key words： task-driven teaching method; discrete mathematics; modern education technology; teaching improvement