有關數(shù)列求通項題的歸類分析

楊曉光

近年的高考題中考查數(shù)列的題越來越注重綜合，突出能力，其中求通項公式的題比較多.下面將近年的一些高考數(shù)列題中關于求通項的部分歸納總結(jié).

一、利用數(shù)列的前n項和，求通項的表達式

1.已知數(shù)列的前n項和求通項公式的解法是利用當n=1時n１=S１，當n≥2時aｎ=Sｎ-Sn-1，注意驗證a１是否在數(shù)列中.

例1 已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過原點，其導函數(shù)f′（x）=6x-2，數(shù)列｛aｎ｝的前n項和為Sｎ，點（n，Sｎ）（n∈N＊）均在y=f（x）的圖象上.求｛aｎ｝的通項公式.

解：依題意設f（x）=ax２+bx（a≠0），則f′（x）=2ax+b，

因為a=3，b=-2，即f（x）=3x２-2x．所以Sｎ=3n２-2n.

當n≥2時，aｎ=Sｎ-Sn-1=（3n２-2n）-3（n-1）２+2（n-1）=6n-5；

當n=1時，a１=S１=f（1）＝１，滿足上式．所以aｎ=6n-5．

2.aｎ與Sｎ的關系問題.（1）一般情況下可用n-1代替原式中的n，聯(lián)立兩式相減后通過關系式aｎ=Ｓ１ （n=1），Sｎ-Sn-1（n≥2） 求解，轉(zhuǎn)化成數(shù)列中相鄰兩項如aｎ與an-1之間的遞推關系.（2）將aｎ換成Sｎ-Sn-1，轉(zhuǎn)化成前n項如Sｎ與Sn-1之間的遞推關系.（3）可先算前幾項，猜測其規(guī)律，用數(shù)學歸納法證明.

例２ 正項數(shù)列｛aｎ｝前n和為Sｎ，S１ >1，6Sn=（aｎ+1）（aｎ+2），n∈N＊，求aｎ.

解:由a１ =S１ = （a１ +1）（a１ +2），解得a１ =1或a１ =2．因為S１ >1，所以a１ =2．

因為6Sｎ= ａ2ｎ＋3aｎ+2， ①

所以6Sn-1=ａ2ｎ－１+3an-1+2. ②

①-②得（aｎ+an-1）（aｎ-an-1-3）=0（n≥2）.

因為aｎ>0，所以aｎ-aｎ-1=3．即｛aｎ｝是公差為3，首項為2的等差數(shù)列.

所以aｎ=3n-1.

二、根據(jù)遞推關系求通項

1. 迭乘法和迭加法: 形如aｎ-an-1=f（n）（n≥2），迭加后為aｎ-a１ = f（n）=（a２-a１ ）+（a３-a２ ）＋…＋（aｎ-an-1）.形如 =f（n）（n≥2） 迭乘后為 =f（2）f（3）…f（n）= ? ?…? .一般而言，迭加即為右側(cè)可求和數(shù)列共n-1項的和，迭乘即為右側(cè)可求積數(shù)列共n-1項的積.但仍需根據(jù)實際問題確定迭加或迭乘項是否為（a２-a１）或 .

例３ 數(shù)列｛aｎ｝，a１＝2，an+1=aｎ+cn，a１，a２，a３成公比不為1的等比數(shù)列，求aｎ.

解：由題意a１=2，a２=2+c，a３=2+3c，ａ2２ =a１a３，（2+c）２=2（2+3c），解得c=0或c=2．

因為公比不為1，所以c=2．

故an+1-aｎ=2n，aｎ-a１=（a２-a１）+…+（aｎ-an-1）=2+4+…＋2（n-1）=n（n-1）.

即aｎ=n２-n+2（n≥2）．當n=1時，上式也成立.所以aｎ=n２-n+2.

2. 構(gòu)造特殊數(shù)列.形如an+1=caｎ+f（n）（c≠0），一般采用待定系數(shù)法構(gòu)造等差或等比數(shù)列來求出通項.（1）f（n）為常函數(shù)時，則構(gòu)造｛aｎ+x｝為以（a１+x）為首項，以c為公比的等比數(shù)列.（2）f（n）為一次函數(shù)時，則構(gòu)造｛aｎ+kn+b｝為以（a１+k+b）為首項，以c為公比的等比數(shù)列.（3）f（n）為二次函數(shù)時，則構(gòu)造｛aｎ+an２＋ｂｎ+ｄ｝以（a１+a+b+ｄ）為首項，以c為公比的等比數(shù)列.（4）f（n）為指數(shù)型函數(shù)如aqｎ時，要根據(jù)q與c是否一樣來確定構(gòu)造等比數(shù)列或是等差數(shù)列．例略．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>