收費中的一次函數(shù)

莊億農(nóng)

我們生活中常遇到各種各樣的收費問題，如出租車費、自來水費、通訊費、上網(wǎng)費等.很多收費問題都與一次函數(shù)有關(guān)，都可以用一次函數(shù)知識來解釋．

例1（2008年·徐州）為緩解油價上漲給出租車行業(yè)帶來的成本壓力，某巿自2007年11月17日起，調(diào)整出租車運價.調(diào)整方案見下表及圖1（其中a、b、c為常數(shù)）.

設(shè)行駛路程為x km時，調(diào)價前的運價為y1元，調(diào)價后的運價為y2元.圖1中折線ABCD表示y2與x之間的函數(shù)關(guān)系，線段EF表示當0≤x≤3時，y1與x的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖表信息，完成下列各題.

（1）填空：a= ，b= ，c= .

（2）寫出當x>3時，y1與x的函數(shù)關(guān)系式，并在圖1中畫出該函數(shù)的圖象.

（3）函數(shù)y1與y2的圖象是否存在交點？若存在，求出交點的坐標，并說明該點的實際意義；若不存在，請說明理由.

解析：（1）由圖1知，調(diào)價后起步價是7元，故a=7.超過3 km不超過6 km的部分，每千米（11.2-7）÷（6-3）=1.4（元），故b=1.4. 超過6 km的部分，每千米（13.3-11.2）÷（7-6）=2.1（元），故c=2.1.

（2）由題意得y1=6+（x-3）×2.1，即y1=2.1x-0.3.函數(shù)圖象如圖2.

（3）通過觀察圖2可發(fā)現(xiàn)，y1與y2的圖象有交點，且交點在線段BC上. BC段的函數(shù)關(guān)系為y2=7+（x-3）×1.4，即y2=1.4x+2.8.解方程組（由y1，y2聯(lián)立而得）y=2.1x-0.3，y=1.4x+2.8，得x= ，y=9.所以交點坐標為 ，9，其實際意義為：當x< 時，調(diào)價前出租車運價較低；當x> 時，調(diào)價后出租車運價較低．

例2（2008年·襄樊）我國是世界上嚴重缺水的國家之一．為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采取以戶為單位分段計費的辦法收費.一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費a元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸a元收費，超過10噸的部分，按每噸b元（b>a）收費．設(shè)一戶居民月用水x噸，應(yīng)交水費y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖3所示．

（1）求出a的值.若某戶居民上月用水8噸，應(yīng)交水費多少元？

（2）求出b的值，并寫出當x>10時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共交水費46元，求他們上月分別用水多少噸.

解析：（1）當x≤10時，有y=ax．將x=10，y=15代入，得a=1.5．用8噸水應(yīng)交水費1.5×8=12（元）．

（2）當x>10時，有y=b（x-10）+15．將x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2．故當x>10時，y=2x-5．

（3）易知甲、乙兩家上月用水均超過10噸（假設(shè)一家用水10噸，另一家用水14噸，兩家共交費10×1.5+10×1.5+4×2=38（元），尚不到46元）．

設(shè)甲、乙兩家上月用水分別為x噸、y噸，則y=x-4，2y-5+2x-5=46.解得x=16，y=12.故居民甲上月用水16噸，居民乙上月用水12噸．

例3（2008年·寧波）某電信公司提供了A、B兩種通訊方案.圖4中的折線分別表示兩種方案中通訊費用y（單位：元）與通話時間x（單位：分）之間的關(guān)系.則以下說法錯誤的是（）.

A． 若通話時間少于120分，則A方案比B方案便宜20元

B． 若通話時間超過200分，則B方案比A方案便宜12元

C． 若通訊費用為60元，則B方案比A方案的通話時間多

D． 若兩種方案通訊費用相差10元，則通話時間分別是145分、185分

解析：這是一道選擇題，可通過排除的方法來確定正確答案．

從圖中可以看出，若通話時間少于120分，A方案費用為30元，B方案費用為50元，A方案比B方案便宜20元，故A是正確的.

可設(shè)A方案通話時間超過120分時的一次函數(shù)關(guān)系式為y1=k1x+b1，把（120，30）和（170，50）代入得120k1+b1=30，170k1+b1=50，解得k1=0.4，b1=-18，所以y1=0.4x-18；設(shè)B方案通話時間超過200分時的一次函數(shù)關(guān)系式為y2=k2x+b2，把（200，50）和（250，70）代入得200k2+b2=50，250k2+b2=70，解得k2=0.4，b2=-30，所以y2=0.4x-30．因為當x>200時y1-y2=0.4x-18-（0.4x-30）= 12，所以B方案比A方案便宜12元，故B是正確的.

當y=60時，代入y1=0.4x-18，得x=195；代入y2=0.4x-30，得x=225．所以B方案比A方案的通話時間多225-195=30（分）．故C是正確的（此結(jié)論也可以直接由圖象得到）.

這樣只有D是不正確的（同學們可以自己考慮）.故應(yīng)選D．

點評：收費問題多數(shù)都涉及分段函數(shù)，因此在利用一次函數(shù)解決問題時，一定要先確定自變量的范圍，然后分段列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文