唐耀庭
近年中考中,屢屢出現(xiàn)新型試題——新定義型問題.此類題目以“新定義”為呈現(xiàn)形式,要求學(xué)生按新定義操作或?qū)懗霾僮鞑襟E.學(xué)生需多角度、多層次、多側(cè)面地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題.這類試題新穎別致,頗具魅力,成為近年中考中的奇葩.現(xiàn)以一次函數(shù)中考試題為例加以說明.
例1(2007年·浙江)設(shè)有關(guān)于x的一次函數(shù)y=a 1x+b1與y=a2x+b2,則稱函數(shù)y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)為此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù).
(1)當(dāng)x=1時(shí),求函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值;
(2)若函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2的圖象的交點(diǎn)為P,判斷點(diǎn)P是否在這兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上,并說明理由.
解:(1)兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)為y=m·(x+1)+n·(2x),其中m+n=1.當(dāng)x=1時(shí),y=m·(1+1)+n·(2×1)=2m+2n=2(m+n).
∵m+n=1,∴y=2.
(2)點(diǎn)P在這兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b).
由題設(shè),有a1·a+b1=b,a2·a+b2=b.
對于生成函數(shù)y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2),當(dāng)x=a時(shí),y=m(a1·a+b1)+n(a2·a+b2)=mb+nb=b(m+n)=b.
∴點(diǎn)P(a,b)在這兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上.
點(diǎn)評:新定義是解題的切入點(diǎn)和突破口,要反復(fù)利用.要認(rèn)真閱讀題目中介紹的新知識,包括定義、公式、表示方法以及計(jì)算方法等,并且正確理解引進(jìn)的新知識,讀懂范例的應(yīng)用.然后再根據(jù)介紹的新知識、新方法進(jìn)行計(jì)算,并與范例的運(yùn)用進(jìn)行比較,防止出錯.本例中,生成函數(shù)顯然是一次函數(shù),其圖象為直線,且經(jīng)過原來兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn).所以生成函數(shù)圖象就是過“交點(diǎn)”的一系列直線(因生成函數(shù)不僅僅表示一個(gè)函數(shù)).
例2(2008年·紹興)定義[p,q]為關(guān)于x的一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù).
(1)若特征數(shù)是[2,k-2]的一次函數(shù)為正比例函數(shù),求k的值;
(2)設(shè)A(0,-4),若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn),且圖象與x軸、y軸所圍成的三角形的面積為4,求這個(gè)一次函數(shù)的特征數(shù).
解:(1)∵特征數(shù)為[2,k-2]的一次函數(shù)為y=2x+k-2,
∴k-2=0,k=2.
(2)設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為B(m,0).
由題設(shè), |m|·4=4,故m=±2. B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0).
∴由待定系數(shù)法易求得一次函數(shù)為y=-2x-4或y=2x-4.
∴特征數(shù)為[-2,-4]或[2,-4].
點(diǎn)評:特征數(shù),顧名思義就是把一次函數(shù)的特征刻畫出來的“數(shù)”.給出了特征數(shù),一次函數(shù)就確定下來了,反之也正確.特征數(shù)與一次函數(shù)形成一一對應(yīng)關(guān)系.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文
中學(xué)生數(shù)理化·八年級數(shù)學(xué)人教版2008年10期