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      方程組“現(xiàn)形記”

      2008-12-23 08:33:48
      關鍵詞:現(xiàn)形記單項式同類項

      孟 坤

      有些求值或確定字母系數(shù)的題,看似與方程組無關,但仔細觀察其特征后,就會發(fā)現(xiàn)通過構造方程組來解會更加簡單、方便.現(xiàn)分類舉例如下.

      一、利用同類項的定義構造方程組

      例1 如果單項式-3x2a-by2與x3a+by5a+8b的和仍是單項式,那么這個和為().

      A. -x5y2B. -x10y4C. -x10y2D. -x5y2

      分析:兩個單項式的和仍是一個單項式,說明這兩個單項式是同類項.根據(jù)同類項的定義,可知相同字母的指數(shù)分別相等,由此列出關于字母a、b 的二元一次方程組.

      解:由同類項定義,得2a-b=3a+b,5a+8b=2.解得a=2,b=-1.所以這兩個單項式分別為-3x5y2和x5y2.由于-3x5y2+x5y2=-x5y2,故選D.

      二、利用非負數(shù)的性質構造方程組

      例2 已知 |a+b-5|+(2a-b-1)2=0,則(a-b)2 008的值為____.

      分析:任意一個實數(shù)的絕對值和平方都是非負數(shù).當幾個非負數(shù)的和為0時,則每一個非負數(shù)都為0.由此得到關于字母a、b的二元一次方程組.

      解:由非負數(shù)的性質得a+b-5=0,2a-b-1=0.解得a=2,b=3.

      所以(a-b)2 008=(2-3)=(-1)2 008=1.

      三、利用函數(shù)關系式構造方程組

      例3 在函數(shù)y=ax2+bx+1中,當x=1時,y=4;當x=-1時,y=2.則當x=時,y的值為().

      A. B. C. 2D. 1

      分析:把a、b當做未知數(shù),將x=1,y=4及x=-1,y=2分別代入關系式,即可得到一個關于字母a、b的二元一次方程組,進而可求出關系式.

      解:由題意,得a+b+1=4,a-b+1=2.解得a=2,b=1.所以函數(shù)關系式為y=2x2+x+1.

      當x=時,y=2x2+x+1=2×2++1=2.故選C.

      四、利用方程的定義構造方程組

      例4 已知2xa+b-3+3ya-2b=-1是關于x、y的二元一次方程,則a+3b的值為.

      分析:由二元一次方程的定義可知,x、y的次數(shù)應均為1,于是可以得到一個關于a、b的二元一次方程組.解這個方程組,求出a、b的值即可.

      解:根據(jù)二元一次方程的定義,得a+b-3=1,a-2b=1.解得a=3,b=1.

      所以a+3b=3+3=6.

      五、利用方程解的定義構造方程組

      例5 已知x=1,y=1和x=-1,y=-2是關于x、y的二元一次方程2ax-by=2的兩個解,則4a-3b的值為____.

      分析: 二元一次方程的解是指適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值,所以可把x=1,y=1和x=-1,y=-2分別代入方程2ax-by=2中,即可得到關于a、b的方程組.

      解:將方程的解代入方程,得2a-b=2,-2a+2b=2.解得a=3,b=4.

      所以4a-3b=4×3-3×4=0.

      六、利用方程組解的定義構造方程組

      例6 關于x、y的方程組ax+by=4,bx+ay=5的解是x=2,y=1,則=.

      分析:當含有字母系數(shù)的方程組的解直接給出時,可先把給出的解代入原方程組,得到關于字母系數(shù)的新方程組,然后解這個新方程組即可.

      解:由方程組解的定義,得2a+b=4,2b+a=5.解得a=1,b=2.所以==-3.

      七、利用方程組解的關系構造方程組

      例7 若關于x、y的方程組2x+3y=4,3x-2y=2m-3的解滿足x+2y=1,求m的值.

      分析:當方程組的解滿足一個確定的關系式時,可把方程組中不含字母系數(shù)的方程與這個關系式組成新的方程組,求出未知數(shù)的值后,再代入含有字母系數(shù)的方程,從而求出待定字母的值.也可以將解所滿足的關系式視為一個方程,與原來的方程組聯(lián)立,得到一個三元一次方程組,利用代入消元法等去解.這是最一般的解法.

      解:由題意,得2x+3y=4,x+2y=1. 解得x=5,y=-2.把x=5,y=-2代入方程3x-2y=2m-3中,得3×5-2×(-2)=2m-3,解得m=11.

      注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。

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