方程組“現(xiàn)形記”

孟　坤

有些求值或確定字母系數(shù)的題，看似與方程組無關，但仔細觀察其特征后，就會發(fā)現(xiàn)通過構造方程組來解會更加簡單、方便.現(xiàn)分類舉例如下.

一、利用同類項的定義構造方程組

例1 如果單項式-3x2a-by2與x3a+by5a+8b的和仍是單項式，那么這個和為（）.

A． -x5y2B． -x10y4C． -x10y2D． -x5y2

分析：兩個單項式的和仍是一個單項式，說明這兩個單項式是同類項.根據(jù)同類項的定義，可知相同字母的指數(shù)分別相等，由此列出關于字母a、b 的二元一次方程組.

解：由同類項定義，得2a-b=3a+b，5a+8b=2.解得a=2，b=-1.所以這兩個單項式分別為-3x5y2和x5y2.由于-3x5y2+x5y2=-x5y2，故選D.

二、利用非負數(shù)的性質構造方程組

例2 已知 |a+b-5|+（2a-b-1）2=0，則（a-b）2 008的值為____.

分析：任意一個實數(shù)的絕對值和平方都是非負數(shù).當幾個非負數(shù)的和為0時，則每一個非負數(shù)都為0.由此得到關于字母a、b的二元一次方程組.

解：由非負數(shù)的性質得a+b-5=0，2a-b-1=0.解得a=2，b=3.

所以（a-b）2 008=（2-3）=（-1）2 008=1.

三、利用函數(shù)關系式構造方程組

例3 在函數(shù)y=ax2+bx+1中，當x=1時，y=4；當x=-1時，y=2.則當x=時，y的值為（）.

A． B． C． 2D． 1

分析：把a、b當做未知數(shù)，將x=1，y=4及x=-1，y=2分別代入關系式，即可得到一個關于字母a、b的二元一次方程組，進而可求出關系式.

解：由題意，得a+b+1=4，a-b+1=2.解得a=2，b=1.所以函數(shù)關系式為y=2x2+x+1.

當x=時，y=2x2+x+1=2×2++1=2.故選C.

四、利用方程的定義構造方程組

例4 已知2xa+b-3+3ya-2b=-1是關于x、y的二元一次方程，則a+3b的值為.

分析：由二元一次方程的定義可知，x、y的次數(shù)應均為1，于是可以得到一個關于a、b的二元一次方程組.解這個方程組，求出a、b的值即可.

解：根據(jù)二元一次方程的定義，得a+b-3=1，a-2b=1.解得a=3，b=1.

所以a+3b=3+3=6.

五、利用方程解的定義構造方程組

例5 已知x=1，y=1和x=-1，y=-2是關于x、y的二元一次方程2ax-by=2的兩個解，則4a-3b的值為____.

分析： 二元一次方程的解是指適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值，所以可把x=1，y=1和x=-1，y=-2分別代入方程2ax-by=2中，即可得到關于a、b的方程組.

解：將方程的解代入方程，得2a-b=2，-2a+2b=2.解得a=3，b=4.

所以4a-3b=4×3-3×4=0.

六、利用方程組解的定義構造方程組

例6 關于x、y的方程組ax+by=4，bx+ay=5的解是x=2，y=1，則=.

分析：當含有字母系數(shù)的方程組的解直接給出時，可先把給出的解代入原方程組，得到關于字母系數(shù)的新方程組，然后解這個新方程組即可.

解：由方程組解的定義，得2a+b=4，2b+a=5.解得a=1，b=2.所以==-3.

七、利用方程組解的關系構造方程組

例7 若關于x、y的方程組2x+3y=4，3x-2y=2m-3的解滿足x+2y=1，求m的值.

分析：當方程組的解滿足一個確定的關系式時，可把方程組中不含字母系數(shù)的方程與這個關系式組成新的方程組，求出未知數(shù)的值后，再代入含有字母系數(shù)的方程，從而求出待定字母的值.也可以將解所滿足的關系式視為一個方程，與原來的方程組聯(lián)立，得到一個三元一次方程組，利用代入消元法等去解.這是最一般的解法.

解：由題意，得2x+3y=4，x+2y=1. 解得x=5，y=-2.把x=5，y=-2代入方程3x-2y=2m-3中，得3×5-2×（-2）=2m-3，解得m=11.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。