“反分類”法的應(yīng)用

蘭立力

(新疆農(nóng)一師塔里木高級中學(xué)843300)

“反分類”是整體思想，它與著眼于局部、個個擊破相反，是審視題目的整體結(jié)構(gòu)，把各種情況整合起來，把條件和結(jié)論高度地集中起來，抓住主要矛盾，擺脫局部細(xì)節(jié)上的糾纏，整體地解決問題。下面我們通過幾個例題來給予說明：

例1、設(shè)

分析：本題的常規(guī)方法是對a分類討論，但本題有多種反分類方法：1、作比較2、平方法3、換為常用對數(shù)，消去分類因素a 其中3最精明。我們來看3的解法：

解：

例2、過拋物線 的焦點的一條直線和這拋物線交于兩點 。

求證：

分析：如果設(shè)直線AB的方程為 ，則丟掉了直線AB垂直于x軸的情況。因此，本題要分類討論，分為直線AB的斜率存在與不存在的兩種情況。為避免分類，我們改設(shè)直線AB的形式。

證明：焦點為 ，設(shè)直線AB的方程為 ，聯(lián)立

由以上兩式消去x，整理得

其二根恰是 ，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：

評：方程 是直線斜截式 的變形，它概括了本題直線AB的所有情況，避免了麻煩的分類。本題也是反分類的范例。

例3、在一條道路上有10只路燈，為了節(jié)電而不影響正常的照明，可以熄滅其中的三只燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能同時熄滅相鄰的兩只燈。問共有多少種熄燈的方法。

思路一、用分類法------畫組合樹枝圖

思路二、反分類法---用播空法化歸為組合

解法一、把10只燈順次編號為1，2，3。。。。。10.畫組合樹枝圖，得符號條件的熄燈事件有：

解法二：熄滅三只燈后，剩下7只燈。這7只燈之間共有6個空，插空得熄燈的方法數(shù)為

評：解法二是反分類法，它比解法一簡捷的多。解法一是樹枝圖法，樹枝圖法是基本的分類法。

如果我們解題時能換個角度，克服分類討論的思維定式，就可以避免討論，化繁為簡。

收稿日期：2009-03-10