韋波富

過(guò)去對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)整理與復(fù)習(xí)教學(xué)的認(rèn)識(shí)一般停留在知識(shí)點(diǎn)小結(jié)、查漏補(bǔ)缺、題型訓(xùn)練上。新課程背景下，整理與復(fù)習(xí)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)把完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、培養(yǎng)學(xué)生整理知識(shí)的能力作為主要任務(wù)。

“提取”“整理”“應(yīng)用”是整理與復(fù)習(xí)的主要環(huán)節(jié)。從教學(xué)流程的角度看，“提取”是學(xué)生從腦中調(diào)用所要整理的知識(shí)，“整理”是對(duì)提取出來(lái)的知識(shí)進(jìn)行歸類、整合、提煉等系統(tǒng)化處理，“應(yīng)用”則是對(duì)整理結(jié)果的綜合運(yùn)用。從思維的角度看，“提取”是分析檢索的過(guò)程，“整理”是比較、綜合、歸納的過(guò)程，“應(yīng)用”是演繹的過(guò)程。從學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程看，提取是“溫故”，整理是“知新”，應(yīng)用是“實(shí)踐”。

一、有效提取，激活原認(rèn)知

提取是有效整理的前提。整理的質(zhì)量如何，取決于學(xué)生對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的熟悉和理解程度。在整理之前要對(duì)原有的知識(shí)要素進(jìn)行喚醒，使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)被激活。提取主要有如下幾種方式：

1.提供結(jié)構(gòu)性材料

復(fù)習(xí)有別于練習(xí)，它著眼于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。因此，提供的材料切忌零碎、東一榔頭西一棒，要具有內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性。如在《數(shù)的整除》整理與復(fù)習(xí)時(shí)，我提供如下素材：1、2、4、0.8、9、15，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)這些數(shù)及其關(guān)系的理解。學(xué)生從數(shù)的奇偶性、是否是質(zhì)數(shù)及合數(shù)、兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系（如互質(zhì)數(shù)、倍數(shù)、因數(shù)）等方面對(duì)數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行了描述。通過(guò)對(duì)這些數(shù)的觀察、理解，借助具體材料回憶，追溯到相關(guān)的概念、法則，有效激活了學(xué)生已有的知識(shí)，以此為基點(diǎn)展開(kāi)梳理、重構(gòu)便水到渠成。題組也是很好的結(jié)構(gòu)性材料?？梢栽O(shè)計(jì)對(duì)比性的題組，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)性以及相似知識(shí)的差異性，也可以設(shè)計(jì)遞進(jìn)式的題組，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的發(fā)展性。題組為知識(shí)的溝通整理提供了很好的憑借。

2.依據(jù)提綱舉例說(shuō)明

提綱是對(duì)整理內(nèi)容要領(lǐng)的分解，由此回憶相關(guān)的規(guī)則、概念等。“舉例”則是將內(nèi)容具體化，暴露學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度。五年級(jí)《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》的整理與復(fù)習(xí)，可以依據(jù)下列提綱進(jìn)行：舉例說(shuō)明下列問(wèn)題。①什么是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)？②什么叫約分?什么叫通分?約分和通分的依據(jù)是什么?③約分、通分有什么作用?教師針對(duì)內(nèi)容的重點(diǎn)難點(diǎn)，設(shè)計(jì)有序的復(fù)習(xí)提綱，引導(dǎo)學(xué)生思考，既讓學(xué)生有序地復(fù)習(xí)了知識(shí)，又以提綱的形式突出了知識(shí)結(jié)構(gòu)。

3.引導(dǎo)自主回顧與交流

自主回顧，是學(xué)生對(duì)所要整理復(fù)習(xí)的知識(shí)板塊的回憶?；貞洺鰜?lái)的內(nèi)容可能是零散的、不系統(tǒng)的，但通過(guò)同學(xué)之間的相互啟發(fā)和補(bǔ)充，可以積少成多。引導(dǎo)回顧交流的方式很多。五年級(jí)《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》整理復(fù)習(xí)時(shí)，我提出這樣的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧與交流：這一單元，你學(xué)會(huì)了什么?學(xué)生憑借記憶檢索或通過(guò)閱讀教材查找，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的提取。四年級(jí)《三角形的認(rèn)識(shí)》則通過(guò)一個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)回憶與交流：畫(huà)幾個(gè)三角形，并說(shuō)說(shuō)這幾個(gè)三角形分別有什么特點(diǎn)。這種方式伴隨著具體的事物，學(xué)生回憶起來(lái)興趣盎然，直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等躍然紙上，在交流中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的提取和理解，為知識(shí)的分類整理奠定了堅(jiān)實(shí)

的基礎(chǔ)。

二、系統(tǒng)整理，重構(gòu)原認(rèn)知

揭示知識(shí)點(diǎn)本身不是目的，重要的是揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。整理是對(duì)所學(xué)知識(shí)的提煉、概括，是將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化處理的過(guò)程，要通過(guò)整理使學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)從零亂到系統(tǒng)的過(guò)程，幫助或教會(huì)學(xué)生從整體上把握知識(shí)，構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1.整理的內(nèi)容

整理一般包括兩方面的內(nèi)容。一是知識(shí)結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)反映的是整體，是各元素及其相互關(guān)聯(lián)。知識(shí)結(jié)構(gòu)不僅指知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，還包括知識(shí)的來(lái)龍去脈及發(fā)展過(guò)程。二是思想方法體系。如平面圖形面積的復(fù)習(xí)，要整理面積公式，更要整理面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，并總結(jié)出推導(dǎo)過(guò)程中所使用的共同策略，即化歸思想。方法體系對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)有很重要的支撐作用。

2.整理的要求

①引導(dǎo)學(xué)生自主整理，在建構(gòu)中學(xué)會(huì)建構(gòu)。

過(guò)去很長(zhǎng)一段時(shí)間，整理與復(fù)習(xí)都是教師以“基本練習(xí)——變式練習(xí)——綜合練習(xí)”這樣的線索去組織的，忽視了整理復(fù)習(xí)中學(xué)生的主體作用。建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)生主體通過(guò)順應(yīng)和同化的方式實(shí)現(xiàn)的，是學(xué)生思維活動(dòng)內(nèi)化的結(jié)果。整理與復(fù)習(xí)應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，放手讓學(xué)生自主梳理，合作探究，互相交流、取長(zhǎng)補(bǔ)短。五年級(jí)平面圖形面積的復(fù)習(xí)，可以提出問(wèn)題讓學(xué)生整理：根據(jù)它們?cè)谕茖?dǎo)過(guò)程中的聯(lián)系，你能用一個(gè)圖表示出它們之間的推導(dǎo)關(guān)系嗎?整理中，學(xué)生呈現(xiàn)了不同的流程圖(見(jiàn)下面前兩圖)，每個(gè)圖都是學(xué)生原有認(rèn)知背景重新構(gòu)造的結(jié)果，富有個(gè)性化色彩。在相互啟發(fā)之下，進(jìn)而形成了更為完善的結(jié)構(gòu)圖式（第三圖）。它打破了教材的單一性，呈現(xiàn)出了多

樣化的表達(dá)方式，讓學(xué)生在建構(gòu)中學(xué)會(huì)建構(gòu)。

②重視整理方法的指導(dǎo)，培養(yǎng)系統(tǒng)整理能力。

方法的獲得是能力提升的關(guān)鍵。要指導(dǎo)學(xué)生把握整理的思路和線索，了解知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法體系的表達(dá)或呈現(xiàn)方式，舉一反三，觸類旁通，遷移運(yùn)用。(蘇教版一上)10以內(nèi)加法的整理，教材直接呈現(xiàn)了加法表讓學(xué)生豎著看、橫著看、斜著看，尋找規(guī)律。學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷整理的過(guò)程。為此，我們進(jìn)行了改進(jìn)。A.用l—9列出幾道加法算式(提取)。B.你知道10以內(nèi)的加法算式一共有多少道嗎?要知道共有幾道最好的辦法就是把這些加法算式有順序、有規(guī)律地列舉出來(lái)，那么我們可以按照怎樣的規(guī)律來(lái)整理這些加法算式呢?學(xué)生想出了兩種整理思路：一種是把得數(shù)相同的算式排在一起，另一種是先確定第一個(gè)加數(shù)，然后第二個(gè)加數(shù)依次加一。整理的方法是學(xué)生自己想出來(lái)的，整理起來(lái)興趣更濃。這樣的體驗(yàn)比尋找規(guī)律更有價(jià)值。再如，分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)應(yīng)放在解題思路的溝通上?？梢栽诜?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題、除法問(wèn)題解答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生討論和歸納解題思路的相同點(diǎn)，概括出具有共性的解題思路，即以方程 思想為統(tǒng)率的數(shù)量關(guān)系式：一種量×a/b=另一種量，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，體會(huì)知識(shí)由“厚”變“薄”的過(guò)程。

在教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)靈活選擇知識(shí)結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)方式。有些知識(shí)的整理宜于采用圖表式，如長(zhǎng)(正)方體，牽涉到特征、表面積、體積以及長(zhǎng)方體與正方體之間的關(guān)系，通過(guò)列表呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)會(huì)更加清晰。而數(shù)的整除知識(shí)是按一定的邏輯順序發(fā)展起來(lái)的，使用“結(jié)構(gòu)圖”整理能理清知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)。

③處理好學(xué)段整理以及階段性與總結(jié)性整理的關(guān)系，突出整理的總體要求。學(xué)生的認(rèn)知水平是隨著年齡的增長(zhǎng)、知識(shí)的積累逐步提高的。表現(xiàn)在整理知識(shí)的能力上，各個(gè)學(xué)段的學(xué)生存在著不同的特點(diǎn)。在小學(xué)第一學(xué)段整理復(fù)習(xí)的教學(xué)偏重在教師的指導(dǎo)下完成。這時(shí)候的整理往往伴隨著具體的圖形、算式、數(shù)進(jìn)行，是一種直觀的整理。進(jìn)入第二學(xué)段，整理與復(fù)習(xí)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)減少指導(dǎo)性，突出培養(yǎng)整理能力，幫助學(xué)生逐步走向?qū)χR(shí)的主動(dòng)檢索，自覺(jué)整理。

有些數(shù)學(xué)知識(shí)(如，數(shù)的認(rèn)識(shí))是分散在各個(gè)年級(jí)教學(xué)的，表現(xiàn)出階段性的特點(diǎn)。而到了六年級(jí)總復(fù)習(xí)時(shí)要對(duì)這些知識(shí)(整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù))進(jìn)行一個(gè)全面的整理，表現(xiàn)出總結(jié)性的特點(diǎn)。在進(jìn)行總結(jié)性整理復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)可以采取先總體后局部的方式進(jìn)行整理，讓學(xué)生有一個(gè)總體認(rèn)識(shí)。如八年級(jí)總復(fù)習(xí)關(guān)于數(shù)的整理，可按下圖模式層層展開(kāi)。

總結(jié)性的整理要盡量運(yùn)用階段整理的成果，重點(diǎn)放在對(duì)各階段知識(shí)之間的溝通聯(lián)系上。如，六年級(jí)《數(shù)的運(yùn)算》總復(fù)習(xí)，首先回顧整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上思考：它們?cè)谟?jì)算方法上有什么共同點(diǎn)?使“計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”成為連接它們的橋梁紐帶，從而使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以高度整合和優(yōu)化。

三、綜合應(yīng)用，實(shí)踐新認(rèn)知

整理復(fù)習(xí)的應(yīng)用不同于新授課的應(yīng)用，設(shè)計(jì)重點(diǎn)應(yīng)在于其更高的綜合性與靈活性，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)化和應(yīng)用能力的提高。

1.圍繞認(rèn)知結(jié)構(gòu)，組織綜合練習(xí)

經(jīng)過(guò)整理形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)還不夠穩(wěn)定，需要進(jìn)一步內(nèi)化。教學(xué)需要圍繞這一目標(biāo)設(shè)計(jì)相關(guān)活動(dòng)。如，蘇教版五上《多邊形的面積計(jì)算》整理后，出示下圖，引導(dǎo)學(xué)生思考和交流：下面四個(gè)圖形的面積有什么關(guān)系?你是怎么想的?

學(xué)生中出現(xiàn)了不同層次的理解水平，有的根據(jù)公式計(jì)算后比較發(fā)現(xiàn)的，有的根據(jù)高相等、底的關(guān)系進(jìn)行判斷的，有的根據(jù)推導(dǎo)過(guò)程推理得到的。學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在這里得到了具體的呈現(xiàn)，再一次獲得互補(bǔ)、優(yōu)化的機(jī)會(huì)。

《三角形的認(rèn)識(shí)》整理后，設(shè)計(jì)如下練習(xí)：一個(gè)三角形，其中一個(gè)內(nèi)角為50°，這個(gè)三角形可能是什么三角形?有些學(xué)生根據(jù)三角形內(nèi)角和的知識(shí)，假定一個(gè)角小于90°、大于90°、等于90°作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的判斷。有些學(xué)生根據(jù)角與邊的關(guān)系，判斷什么情況下是一般三角形或等腰三角形。這一開(kāi)放設(shè)計(jì)使得三角形有關(guān)知識(shí)得到了綜合的靈活的應(yīng)用。

在練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)還要重視此結(jié)構(gòu)與其他知識(shí)結(jié)構(gòu)的連接和貫通。如六年級(jí)《數(shù)的整除》整理后，提出如下問(wèn)題讓學(xué)生思考：“一個(gè)班男生人數(shù)占全班人數(shù)的3/5，這個(gè)班可能有多少人?”從而把整除與分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來(lái)，使結(jié)構(gòu)向外延伸，與其他知識(shí)融為一體，推動(dòng)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展。

2.著眼應(yīng)用能力，開(kāi)展探究活動(dòng)

開(kāi)展探究活動(dòng)是鍛煉學(xué)生應(yīng)用新結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題的有效途徑。長(zhǎng)方體整理復(fù)習(xí)后，組織學(xué)生解決下列問(wèn)題：

①糖果廠要設(shè)計(jì)一種體積為8立方分米的方形糖果盒，請(qǐng)你給出三種方案填在下表中(長(zhǎng)、寬、高為整數(shù))。要使包裝材料最省，應(yīng)選擇哪種方案?為什么這種方案用料最少?

②做下列長(zhǎng)(正)方體的魚(yú)缸(有蓋，單位：分米)用料一樣多嗎?哪種容積最大?

③如果用24分米的鐵絲做長(zhǎng)(正)方體盒子的框架，想一想做成什么形狀體積最大，并驗(yàn)征你的猜想。

這三個(gè)問(wèn)題構(gòu)成了一個(gè)系列，有意義且富有挑戰(zhàn)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。學(xué)生在解決這些問(wèn)題時(shí)必須綜合長(zhǎng)(正)方體的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)列舉、比較、綜合等過(guò)程作出解答，并運(yùn)用解答過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律解決問(wèn)題。