黃明梧

在初中數(shù)學中,有一類問題是求按滿足某些特定條件連結,使所連結的線段的長度之和最小,稱之為最短路線.我們知道,連結兩點之間所有的線中,線段最短.本文通過一些例子,介紹一些求最短路線問題的方法.

一、利用軸對稱的性質(zhì)

【例1】 如圖1,要在燃氣管道l上修建一個泵站,分別向兩鎮(zhèn)A,B供氣.泵站修在管道的什么地方,可以使所用的輸氣管線最短?

已知:直線l和l的同側(cè)兩點〢﹑B.求作:直線l上一點C,且使AC+BC最小.

作法:1.作A關于直線l的對稱點A′;

2.連結A′B交直線l于點C.

點C就是所求的點.

證明:略.

【例2】 如圖2,A為馬廄,B為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷,請你幫他確定這一天的最短路線.

已知:如圖2,直線MN、NP及點A、B.

求作:點C在直線MN上,點D在直線NP上,使AC+CD+DB最小.

作法:1.作A關于直線MN的對稱點A′,B關于直線NP的對稱點B′;

2.連結A′B′交直線MN于點C,交直線NP于點D.點C,D就是所求的點;

3.連結AC,DB.折線ACDB為牧馬人這一天的最短路線.

證明:略.

二、利用平移變換的性質(zhì)

【例3】 如圖3,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋CD.橋造在何處才能使從A到B的路徑ACDB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.)

已知:如圖3,直線a∥b,點A,B分別在直線a,b外側(cè).

求作:點C在直線a上,點D在直線b上,并且CD⊥a,使AC+CD+DB最小.

作法:1.在直線a上任取點C′作C′D′⊥a,交直線b于D′;

2.平移C′D′到AA′;

3.連結A′B交直線b于點D;

4.過點D作CD⊥a,垂足為C;

5.連結AC.

點C,D就是所求的點.CD為建橋位置.

證明:略.

三、利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

【例4】 如圖4,已知:△ABC.求作:點P,使點P在△ABC內(nèi),且點P到△ABC三個頂點的距離之和最小.

作法:1.把AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到BM,把AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到CN;

2.連結BN,CM交于點P.

點P就是所求的點.

證明:設點Q是△ABC內(nèi)異于點P的任意一點,連結AQ,BQ,CQ,把△ABQ繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△MBQ₁,由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知:Q₁M=QA,Q₁B=QB,∠Q₁BQ=60°

∴△Q₁BQ是等邊三角形.

∴QQ₁=BQ.

∴AQ+BQ+CQ=MQ₁+QQ₁+QC,

連結AM,AN則

∵AB=MB,∠ABM=60°;AC=AN,∠ACN=60°,

∴△ABM,△CAN均為等邊三角形.

∴AM=AB,∠BAM=60°,AN=AC,∠CAN=60°,

∴△ABN是由△AMC繞A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°而得.

∴∠MPB=60°.

連結AQ,在PM上截取PP₁=BP,則△PP₁B是等邊三角形.

∴BP=BP₁,∠P₁BP=60°,

∵AB=MB,∠ABM=60°,

∴△MBP₁是由△ABP繞B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°而得.

∴MP₁=AP.

∴PA+PB+PC=MP₁+P₁P+PC=MC.

∵MC1