“微元法”在高中物理解題中的應用

龔建成

(石莊高級中學 江蘇 如皋 226531)

隨著新課改的深入發(fā)展，新的教育理念更加注重對學生各種能力的培養(yǎng)，尤其在高中物理教學中還應注重對學生物理思想方法的滲透.其中“微元”思想滲透于一些物理概念、公式中.近年來“微元法”在高考物理壓卷題中頻頻應用，這既說明這種方法的重要性，也體現(xiàn)了新課程理念的要求.但許多學生對此感到困惑，無從下手.對此，下面就“微元法”談談在一些物理問題中的具體應用和做法.

1 用“微元法”解決問題的基本方法

“微元法”通俗地說就是把研究對象分為無窮多個無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進行分析處理，再從局部到整體綜合起來加以考慮的科學思維方法.一般步驟可歸納為：

(1)確定研究對象，選取微元；

(2)列出相關(guān)微元方程；

(3)對相關(guān)微元進行累積求和.

2 “微元法”在解題中的應用

2.1 “微元法”應用于求非勻變速運動中的位移

【例1】從地面上以初速度v0豎直向上拋出一質(zhì)量為m的球，若運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關(guān)系，球運動的速率隨時問變化規(guī)律如圖1所示，t1時刻到達最高點，然后再落回地面.落地時速率為v1，且落地前球已經(jīng)做勻速運動．求：

圖1

(1)球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功；

(2)球拋出瞬間的加速度大小；

(3)球上升的最大高度 ．

解析：本題在第(3)問中用到“微元法”，球在上升階段就是一個非勻變速運動問題，一般解題方法就難以處理.此時我們可以把上升過程分割成無限多個元過程，任取一個元過程分析其受力和運動情況，確定加速度大小.由于所選的元過程可以近似看成勻變速問題，這樣就可列出速度大小的微元方程，最后進行累積求和，就能得到球上升的最大高度 .

(1)由動能定理得

克服空氣阻力做功

(2)空氣阻力

f=kv

由落地時勻速運動有

mg-kv1=0

設剛拋出時加速度大小為a0，則

mg+kv0=ma0

解得

(3)設上升至速度為v時加速度為a，則

-(mg+kv)=ma

取極短時間Δt，其速度變化為Δv，有

又因為vΔt=Δh

對上升全過程有

解得

2.2 利用在微元中變力做功的特點推導出力所做的總功

【例2】如圖2(a)所示，質(zhì)量為m的小車以恒定的速率v沿半徑為R的豎直圓環(huán)做圓周運動.小車與圓環(huán)間的動摩擦因數(shù)為μ.試求小車從軌道最低點運動至最高點的過程中摩擦力所做的功.

圖2

解析：本題中小車的運動為圓周運動，小車對軌道的壓力大小方向在不斷地變化，導致軌道與小車間的摩擦力大小方向也在不斷地變化，這是個求變力做功的問題.把握住小車的運動相對圓心有明顯的對稱，利用“微元法”，我們?nèi)蓚€對稱的微元進行研究.

如圖2(b)，在圓環(huán)上取兩個對稱點A和B，OA和OB與豎直的直徑的夾角均為θ，小車在做圓周運動，在A、B兩點的向心力為

在A、B兩點取兩段無窮小的圓弧，摩擦力在A、B兩點所做的微元功為

則小車由最低點運動至最高點的過程中，摩擦力所做的總功為

W總=ΔW1+ΔW2+ΔW3+ΔW4+…=

對稱是解本題的特點，“微元法”是具體的解法.若本題不采用對稱的方法求解，又不能用W=Fscosθ求功，則必須研究小車的牽引力，利用動能定理來求解.而這對于本題是不可能有結(jié)果的.因此，對稱法也是物理解題中一種常用的方法.

2.3 “微元法”應用于求非勻變速運動中的時間

【例3】如圖3所示，質(zhì)量為m、邊長為L的正方形閉合線圈，從有理想邊界的水平勻強磁場上方高h處由靜止起下落.磁場區(qū)域的邊界水平，磁感應強度B垂直紙面向里.線圈的電阻為R，線圈平面始終在豎直面內(nèi)并與磁場方向垂直，ab邊始終保持水平.若線圈一半進入磁場時恰開始做勻速運動，重力加速度為g.求：

(1)此勻速運動的速度v;

(2)從靜止起到達到勻速運動的過程中，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱Q;

(3)從線圈cd邊進入磁場到開始做勻速運動所經(jīng)歷的時間t.

圖3

解析：(1)線圈做勻速運動時，受到的重力和安培力平衡

mg=BIL

得

(2)線圈從開始下落到勻速運動過程中，由能量守恒定律

得

(3)設線圈進入磁場過程中的加速度為a

線圈進入磁場過程中，設極短時間Δt內(nèi)的速度變化為Δv

對上式取和并用到Δx=vΔt

則

其中

得

2.4 “微元法”應用于求非勻變速運動中的速度

【例4】如圖4所示，兩平行光滑的金屬導軌AD、CE相距L=1.0 m，導軌平面與水平面的夾角α=30°，AC端用導線連接R=0.40 Ω的電阻，導軌電阻不計．PQGH范圍內(nèi)存在方向垂直導軌平面的磁場，磁場的寬度d=0.40 m，邊界PQ、HG均與導軌垂直．質(zhì)量m=0.10 kg、電阻r=0.10 Ω的金屬棒MN垂直放置在導軌上，且兩端始終與導軌電接觸良好，從與磁場上邊界GH距離也為d的位置由靜止釋放，取g=10 m/s2．

圖4

(1)若PQGH范圍內(nèi)存在著磁感應強度隨高度變化的磁場(在同一水平線上各處磁感應強度相同)，金屬棒進入磁場后，以a=2.5 m/s2的加速度做勻加速運動，求磁場上邊緣(緊靠GH)的磁感應強度；

(2)在(1)的情況下，金屬棒在磁場區(qū)域運動的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量是多少？

(3)若PQGH范圍內(nèi)存在著磁感應強度B=0.50 T的勻強磁場，金屬棒在磁場中運動過程受到F=(0.75v-0.5) N(v為金屬棒運動速度)沿導軌向下的力作用，求金屬棒離開磁場時的速度．

解析：(1)設磁場上邊緣的磁感應強度為B0，金屬棒剛進入磁場時的速度為v0，產(chǎn)生的感應電流為I0，受到的安培力為F0，則有

F0=B0I0L

mgsinα-F0=ma

代入數(shù)據(jù)解得

B0=0.25 T

(2)設電阻R上產(chǎn)生的熱量為Q，金屬棒到達磁場下邊界時的速度為v，則

v2=v02+2ad

代入數(shù)據(jù)解得

Q=0.080 J

(3)設金屬棒離開磁場時的速度為v′，則

其中

則

代入數(shù)據(jù)解得

v′=3.0 m/s

總之，“微元法”是分析、解決高中物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法，更是近幾年高考提倡的處理物理問題的數(shù)學方法，是高考的熱點.結(jié)合“微元法”，可以考查電磁感應、力學等方面的知識，運用這一方法不僅豐富了處理物理問題的手段，拓展了我們的思維，還為高中階段的后續(xù)學習奠定了思維基礎.因此，對于高中特別是高三的學生，應當要熟練掌握.