金 龍 李文鋒 李 斌

（武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院 武漢 430063）

在汽車運(yùn)動(dòng)分析領(lǐng)域，對(duì)車輛的前輪轉(zhuǎn)向、四輪轉(zhuǎn)向已經(jīng)進(jìn)行了較為深入的分析［1］.汽車的底盤結(jié)構(gòu)均為矩形，并且多為四輪結(jié)構(gòu)，對(duì)于特殊底盤結(jié)構(gòu)的智能車輛并不適用，也缺乏對(duì)六輪汽車轉(zhuǎn)向性能的分析.國(guó)內(nèi)外有許多關(guān)于六輪智能車輛轉(zhuǎn)向特性的研究［2－3］，其底盤結(jié)構(gòu)都類似于汽車底盤結(jié)構(gòu)［4－5］.研究方法大都基于汽車領(lǐng)域的前輪轉(zhuǎn)向和四輪轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu).其中包括差速驅(qū)動(dòng)、兩輪轉(zhuǎn)向、四輪轉(zhuǎn)向以及全轉(zhuǎn)向.差速驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)向主要依靠在地面滑移實(shí)現(xiàn)，具有不確定性.兩輪轉(zhuǎn)向和四輪轉(zhuǎn)向的實(shí)質(zhì)是假設(shè)其轉(zhuǎn)向圓心位于另外不轉(zhuǎn)動(dòng)車輪的軸線上，其結(jié)構(gòu)類似于汽車領(lǐng)域的四輪轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)，并且有失一般性.全轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)是將其中的兩個(gè)車輪作為萬(wàn)向輪處理，其實(shí)質(zhì)也屬于汽車領(lǐng)域的四輪轉(zhuǎn)向范疇.對(duì)于特殊底盤結(jié)構(gòu)的六輪智能車輛并未有深入的轉(zhuǎn)向特性的研究.本文以一種新型的六輪小車的底盤結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，深入研究了六輪小車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向性能.建立了小車轉(zhuǎn)向的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了分析.通過(guò)改變參數(shù)，進(jìn)行仿真，分析了小車行駛速度對(duì)轉(zhuǎn)向性能的影響.

1 假設(shè)條件

為了使研究方便，現(xiàn)對(duì)機(jī)器人小車作如下理論性假設(shè)［6－7］：（1）假設(shè)車輛行駛于平坦路面，建立小車局部坐標(biāo)系XOY，O為小車的質(zhì)心，X軸為小車縱向，Y為小車橫向，Z軸垂直于地面.小車沿X方向的行駛速度不變，忽略與行駛動(dòng)力學(xué)相關(guān)的垂直力影響及耦合作用；（2）認(rèn)為車體結(jié)構(gòu)是剛性的，各部件不存在彈性變形，忽略轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中的不確定因素；（3）車輛的行駛速度較慢，車速恒定，不存在慣性力，也沒(méi)有空氣阻力作用，車體轉(zhuǎn)向時(shí)不會(huì)傾翻；（4）小車始終處于平衡狀態(tài)，也即車輪轉(zhuǎn)角足夠小，從而保證車輛的運(yùn)動(dòng)方程為線性；（5）地面與車輪的接觸認(rèn)為是剛體與剛體的接觸.車輪與地面之間的最大側(cè)向靜摩擦系數(shù)充分大，不存在側(cè)向滑動(dòng)現(xiàn)象；（6）小車的六個(gè)車輪認(rèn)為是同時(shí)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)向，不存在各個(gè)車輪之間的相互制約作用.

通過(guò)以上假設(shè)，本機(jī)器人小車被簡(jiǎn)化為一個(gè)具有一個(gè)平移自由度（沿Y軸）和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（繞Z軸）的線性二自由度模型.

2 小車轉(zhuǎn)向時(shí)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

根據(jù)假設(shè)可知，小車僅具有沿Y軸方向的平移和繞Z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)獨(dú)立的自由度，圖1為小車的線性二自由度模型.

圖1 小車的線性二自由度模型

在不考慮小車的勢(shì)能和耗散能的情況下，用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.二自由度六輪小車受到的外力沿車輛坐標(biāo)系Y軸方向的合力與繞質(zhì)心的力矩和為

式中：m為小車的質(zhì)量；Iz為小車?yán)@Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

令各車輪的側(cè)偏剛度為ki，則有，F(xiàn)i＝kiαi（i＝1～6）.由車體的結(jié)構(gòu)特征有，k2＝k5，k1＝k3＝k4＝k6.

根據(jù)坐標(biāo)系的規(guī)定，六個(gè)車輪的側(cè)偏角分別為

小車質(zhì)心的側(cè)偏角為

又因?yàn)?/p>

將式（2）～（4）代入式（1），化簡(jiǎn)有

這就是該機(jī)器人小車的二自由度運(yùn)動(dòng)模型的微分方程.

2.2 模型理論分析

近似取車輪1，3的轉(zhuǎn)角相等，車輪4，6的轉(zhuǎn)角相等，即，δ1＝δ3，δ4＝δ6，并存在如下關(guān)系

式中：n1，n2，n3為車輪轉(zhuǎn)角的比例因子.

2.2.1 小車車體橫擺角速度與車輪轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù) 將式（5）的兩個(gè)等式進(jìn)行變換，得

式中：m1，h1，c1，b1，b0分別為由 m，μ，υ，Iz，k1，k2，n1，n2，n3，a，b，c，d 所確定的表達(dá)式.

對(duì)式（6）作拉普拉斯變換，可得小車車體的橫擺角速度ω與車輪5轉(zhuǎn)角δ5的傳遞函數(shù)

式中：s為復(fù)變量.根據(jù)式（7），可以求得當(dāng)車輪轉(zhuǎn)角δ5有輸入時(shí)，小車車體的橫擺角速度ω的變化情況.

2.2.2 小車質(zhì)心的側(cè)偏角與車輪轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù) 同理，由式（5）的兩個(gè)等式變換可得

式中：m2，h2，c2，a1，a0分別為由 m，μ，υ，Iz，k1，k2，n1，n2，n3，a，b，c，d 所確定的表達(dá)式.

對(duì)式（8）作拉普拉斯變換，可得小車質(zhì)心的側(cè)偏角β與車輪5的轉(zhuǎn)角δ5的傳遞函數(shù)

式中：s為復(fù)變量.根據(jù)式（9），可以求得當(dāng)車輪轉(zhuǎn)角δ5有輸入時(shí)，小車質(zhì)心的側(cè)偏角β的變化情況.

3 仿 真

由2.2中的兩個(gè)傳遞函數(shù)，用matlab自帶的simulink工具箱對(duì)其進(jìn)行仿真［8］.分析各車輪轉(zhuǎn)角成比例的六輪轉(zhuǎn)向小車的時(shí)域特性——角階躍響應(yīng)特性.把各車輪的轉(zhuǎn)角均轉(zhuǎn)化成車輪5的轉(zhuǎn)角，以車輪5的轉(zhuǎn)角δ5為輸入，以小車車體的橫擺角速度ω和小車質(zhì)心的側(cè)偏角β為輸出，傳遞函數(shù)如式（7）、（9）.車輪5轉(zhuǎn)角的階躍信號(hào)的起躍時(shí)間為0s，幅值為0.1rad，同時(shí)以理想階躍信號(hào)施加于其余各車輪，信號(hào)起躍時(shí)間為0s，幅值為0.1n1，0.1n2和0.1n3rad.

根據(jù)線性二自由度機(jī)器人小車運(yùn)動(dòng)模型的控制策略，化簡(jiǎn)式（5），得

由車體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，各車輪轉(zhuǎn)角的比例因子間近似有

聯(lián)立式（10）、（11）可以解出n1，n2和n3的值.

分別取車速：μ＝0.05，0.1，0.2m／s，小車的其余參數(shù)取為a＝0.8m，b＝0.7m，c＝d＝0.5m，k1＝k2＝45 000N／rad，m＝100kg，Iz＝150kg·m2.

不同車速下小車車體的橫擺角速度ω隨時(shí)間t變化的仿真結(jié)果如圖2所示.小車質(zhì)心的側(cè)偏角β隨時(shí)間t變化的仿真結(jié)果如圖3所示.

圖2 不同車速下小車車體的橫擺角速度ω隨時(shí)間t變化的仿真曲線

圖3 不同車速下小車質(zhì)心的側(cè)偏角β隨時(shí)間t變化的仿真曲線

仿真的開(kāi)始時(shí)刻，在三種速度的情況下，小車車體的橫擺角速度ω都迅速增大，然后趨于穩(wěn)定.圖2中的實(shí)線、點(diǎn)線和虛線分別代表υ＝0.1，0.05，0.2m／s時(shí)的仿真曲線.圖中υ＝0.2m／s時(shí)橫擺角速度ω的穩(wěn)定值最大，為0.035rad／s.υ＝0.05m／s時(shí)最小，為0.009rad／s.因此，小車車體的橫擺角速度ω隨著小車縱向速度υ的增大而增大.

當(dāng)小車縱向速度為υ＝0.2m／s時(shí)，小車質(zhì)心的側(cè)偏角β的均值最大，為－0.2×10－3rad.υ＝0.05m／s時(shí)，β的均值最小，為－0.9×10－3rad，如圖3所示.圖3中三條曲線所代表的車速與圖2相同.車速越大，質(zhì)心側(cè)偏角β的均值也就越大.同時(shí)，當(dāng)υ＝0.2m／s時(shí)β的震蕩幅度為0.4×10－3rad，υ＝0.05m／s時(shí)為1.7×10－3rad.由此可以看出，小車縱向速度u越小，其質(zhì)心的側(cè)偏角β的震蕩幅度就越大，說(shuō)明小車轉(zhuǎn)向時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向震蕩變化的越劇烈，因此小車轉(zhuǎn)向時(shí)的穩(wěn)定性越差.

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文以一種特殊結(jié)構(gòu)的六輪機(jī)器人小車為研究對(duì)象，通過(guò)假設(shè)條件建立了小車的線性二自由度模型，并由拉格朗日方程得出了該模型的微分方程.利用SIMULINK工具箱對(duì)該模型進(jìn)行時(shí)域性仿真，得出了該六輪機(jī)器人小車的轉(zhuǎn)向特性與行駛速度的關(guān)系.增大車速，可以使小車轉(zhuǎn)向時(shí)具有更好的穩(wěn)定性.但是速度的增加，會(huì)使小車轉(zhuǎn)向時(shí)的靈活性增加，不僅難以控制，甚至由于離心力的作用，還會(huì)發(fā)生傾翻.因此，小車轉(zhuǎn)向時(shí)并不是車速越小越好，而是應(yīng)該根據(jù)車體質(zhì)量、路面條件等因素選擇合理的的行駛速度.

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