不確定條件下缺貨不補(bǔ)貨的庫(kù)存模型分析

潘祥武 （青島濱海學(xué)院，山東 青島 266555）

不確定條件下缺貨不補(bǔ)貨的庫(kù)存模型分析

潘祥武 （青島濱海學(xué)院，山東 青島 266555）

對(duì)以前研究得很少的一種情況——連續(xù)檢查庫(kù)存、提前期固定、需求隨機(jī)且缺貨不補(bǔ)進(jìn)行了分析，詳細(xì)推導(dǎo)了其最佳訂貨點(diǎn)和訂貨批量，并探討了簡(jiǎn)化計(jì)算的合理性，然后用EXCEL進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，最后進(jìn)一步推廣到提前期也隨機(jī)的情況。

隨機(jī)；缺貨；不補(bǔ)；最優(yōu)策略

很多論著里都提到了延期交貨下的最優(yōu)庫(kù)存策略參考[1]，有學(xué)者分析了確定情況下的缺貨不補(bǔ)貨最優(yōu)庫(kù)存策略[2]，但對(duì)隨機(jī)情況下的缺貨不補(bǔ)貨模型，即訂貨當(dāng)時(shí)不能滿足即失去該筆交易 （簡(jiǎn)稱為脫銷或失銷），研究的比較少，或講述不詳細(xì)[3]。本文嘗試對(duì)隨機(jī)情況下的缺貨不補(bǔ)貨模型的最優(yōu)庫(kù)存策略做比較詳細(xì)的分析，并用EXCEL進(jìn)行了實(shí)例的計(jì)算。

1 假設(shè)與符號(hào)說明

1.1 假設(shè)

物品需求為單一品種，不考慮生產(chǎn)能力約束；需求速度是連續(xù)、隨機(jī)的；允許缺貨，但缺貨在下一周期不需補(bǔ)充；每次訂貨量、每次訂購(gòu)費(fèi)、單位存貯費(fèi)、單位缺貨損失費(fèi)均不變；入庫(kù)時(shí)間很短，可以近似地看作零；沒有價(jià)格折扣；訂貨有提前期，它固定或隨機(jī)；假設(shè)使用連續(xù)檢查，當(dāng)庫(kù)存下降到再訂貨點(diǎn)r時(shí)，訂購(gòu)q單位的貨物；精確求解使期望年度存儲(chǔ)、脫銷和訂購(gòu)費(fèi)用最低的q和r。

1.2 本文涉及的符號(hào)意義

TC（ q,r）：預(yù)期年度總費(fèi)用，包括年度存儲(chǔ)費(fèi)用、訂購(gòu)費(fèi)用和缺貨不補(bǔ) （脫銷）的費(fèi)用；C1：?jiǎn)挝划a(chǎn)品年度存儲(chǔ)費(fèi)用；C2：每次的訂購(gòu)費(fèi)用 （不含產(chǎn)品采購(gòu)價(jià)格）；C3：每次缺貨不補(bǔ)貨 （脫銷）所導(dǎo)致的費(fèi)用；L：各份訂單的提前期，單位為年；T：周期，任意相鄰的兩個(gè)收到訂購(gòu)貨物時(shí)間之間的時(shí)間間隔；D：年度需求量的隨機(jī)變量，其均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ；X：提前期內(nèi)需求量的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)記為f，分布函數(shù)記為F，均值為μL，標(biāo)準(zhǔn)差為σL；fS：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)；FS：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)；S：安全庫(kù)存；Br：每個(gè)周期的脫銷量的隨機(jī)變量，期望值為μr；I（t）：時(shí)間t時(shí)的凈存儲(chǔ)水平。

2 提前期固定、需求隨機(jī)且缺貨不補(bǔ)貨的模型分析

圖1簡(jiǎn)單描述了庫(kù)存隨時(shí)間下降的情況，示意了提前期、再訂貨點(diǎn)、訂貨量和缺貨不補(bǔ)情況。

圖1 缺貨不補(bǔ)下的庫(kù)存隨時(shí)間變化示意圖

2.1 預(yù)期年度總費(fèi)用的計(jì)算

預(yù)期年度總費(fèi)用由存儲(chǔ)費(fèi)用、訂購(gòu)費(fèi)用和缺貨不補(bǔ)的費(fèi)用三部分組成，分述如下。

2.1.1 年度存儲(chǔ)費(fèi)用的計(jì)算

一個(gè)周期結(jié)束時(shí)I（t）的期望值約為：r-μL+μr。一個(gè)周期開始時(shí)I（t）的期望值約為：r-μL+q+μr。 因此， 一個(gè)周期內(nèi)I（t）的期望值約為［周期開始時(shí)I（t）的期望值+周期結(jié)束時(shí)I（t）的期望值 ］/2=q/2+r-μL+μr。

年度存儲(chǔ)費(fèi)用約為：c1［q/2 + r-μL+μr］。

2.1.2 年度訂購(gòu)費(fèi)用的計(jì)算

年度訂購(gòu)費(fèi)用=c2*（期望訂購(gòu)次數(shù)/年 ）=c2μ/q。

2.1.3 年度脫銷的費(fèi)用的計(jì)算

年度脫銷的費(fèi)用=脫銷費(fèi)率*周期內(nèi)期望脫銷數(shù)量*年期望訂購(gòu)次數(shù)=c3μrμ/q。

2.1.4 總成本費(fèi)用及最優(yōu)解求解

年預(yù)期總費(fèi)用：

將總成本函數(shù)先對(duì)q偏導(dǎo)，令它等于零，得：

再將總成本函數(shù)對(duì)r求偏導(dǎo)，令它等于零，得：

將式 （6）所表示的期望缺貨值，代入式 （2）中，得：

3 實(shí)例計(jì)算分析

已知某產(chǎn)品的年度平均銷售量為1 000臺(tái)，年需求量服從標(biāo)準(zhǔn)差為40.8的正態(tài)分布。該產(chǎn)品從批發(fā)商那進(jìn)貨，每次訂購(gòu)兩星期后到貨，每次訂購(gòu)費(fèi)用為50元。單位產(chǎn)品的年儲(chǔ)存費(fèi)用為10元。所有需求均不延期交貨，缺貨就意味著失銷，失銷時(shí)單位損失為40元。請(qǐng)你為該產(chǎn)品確定最優(yōu)再訂購(gòu)點(diǎn)、訂購(gòu)量、安全庫(kù)存水平及周期服務(wù)水平 （CSL） （一年以52周計(jì)）。

解：提前期需求量的平均值μL為：1 000/26＝38.46

先給一個(gè)初始值，比如y=0，計(jì)算正態(tài)損失函數(shù)值，再計(jì)算訂貨量，再反過來計(jì)算訂貨點(diǎn)；第二次迭代，用新的訂貨點(diǎn)計(jì)算y的值，計(jì)算正態(tài)損失函數(shù)值，再計(jì)算訂貨量，再反過來計(jì)算新的訂貨點(diǎn)，從而不斷逼近最優(yōu)解。用EXCEL計(jì)算的情況如表1。

表1

可根據(jù)實(shí)際意義來判斷是否需進(jìn)一步迭代。本例中，當(dāng)相鄰兩次的訂貨量的差值小于等于1時(shí)，可認(rèn)為無需繼續(xù)迭代計(jì)算。因此，經(jīng)過四輪運(yùn)算，即可確定本題的最優(yōu)解：最優(yōu)再訂貨點(diǎn)為54.12；最優(yōu)訂貨量為103；最優(yōu)周期服務(wù)水平為97.49%；最優(yōu)安全庫(kù)存水平為15.66。

4 簡(jiǎn)化的計(jì)算

上面的計(jì)算有些復(fù)雜，可不可以不考慮缺貨對(duì)訂貨量的影響，即仍沿用EOQ法來計(jì)算近似的最優(yōu)訂貨量，然后再計(jì)算最優(yōu)再訂貨點(diǎn)呢？回答是肯定的。仍以上題為例，用EOQ法計(jì)算的近似最優(yōu)訂貨量：

用EXCEL中的統(tǒng)計(jì)函數(shù)求解，NORMINV（ 0.9756,38.46,8 ）=54.22，即最優(yōu)再訂貨點(diǎn)為54.22單位；最優(yōu)周期服務(wù)水平為97.56%；最優(yōu)安全庫(kù)存為15.76。除了訂貨量小三單位外，其它結(jié)果與前面精確計(jì)算的基本一致。

事實(shí)上，如提前期內(nèi)需求的標(biāo)準(zhǔn)差為一較小值時(shí)，缺貨對(duì)最優(yōu)訂貨量的影響也較小。雖然，單位脫銷的損失越大則訂貨點(diǎn)越大，訂貨點(diǎn)越大則安全庫(kù)存越大，而安全庫(kù)存越大，正態(tài)損失函數(shù)NL（y ）的值越小，所以，單位脫銷的損失與正態(tài)損失函數(shù)NL（y）的值的乘積仍然較小，對(duì)最優(yōu)訂貨量影響很小。以上面所述題目為例，筆者分別計(jì)算了單位脫銷損失從10元到60元的六種情況下的單位脫銷的損失與正態(tài)損失函數(shù)NL（y ）損的值的乘積，與訂購(gòu)費(fèi)用50元相比，影響較小，不超過8%，具體情況如表2：

表2

5 進(jìn)一步推廣到提前期隨機(jī)且服從正態(tài)分布的情況

表3

6 結(jié)束語(yǔ)

本文先分析了隨機(jī)情況下缺貨不補(bǔ)的最優(yōu)庫(kù)存策略，給出了具體的表達(dá)式，并用EXCEL針對(duì)正態(tài)分布的情況進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，具有一定的理論和實(shí)踐意義，然而還有一些問題待深入研究，包括可近似計(jì)算的具體條件，非正態(tài)分布下的計(jì)算，定期檢查下的最優(yōu)庫(kù)存策略等。

[1]錢頌迪.運(yùn)籌學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1990.

[2]朱俊，詹明清.缺貨不補(bǔ)的存貯模型分析[J].武漢汽車工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1999(6)：76-79.

[3]Wayne L.Winston.運(yùn)籌學(xué)：概率模型應(yīng)用范例與解法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

Analysis of Non-compensated Understock Inventory Model Under Uncertainty

PAN Xiang-wu(Qingdao Binhai University,Qingdao 266555,China)

With continuous review inventory policy,the optimal strategies of understock inventory models which lead time is fixed,demand is stochastic and the absent is non-compensating,is seldom researched.This article attempt to make a analysis,deduce the optimal order point and order quantity,and discuss the rationality of simplified computation.Then,several examples are computed by the using of EXCEL.At last,the model is expaded to cincumstance which lead-time is random.

random;understock;non-compensating;optimal policy

F253.7

A

1002-3100(2010)01-0065-03

2009-06-19

潘祥武（1974-），男，湖北仙桃人，青島濱海學(xué)院國(guó)際商學(xué)系，講師，碩士，研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理。