王 霞，賈學(xué)龍

(天津科技大學(xué)理學(xué)院，天津 300457)

保加利亞學(xué)者Atanassov于1983年提出了直覺模糊集的概念，模糊集的特點(diǎn)是能夠同時考慮元素與給定集合的隸屬度、非隸屬度和猶豫度，從而能比Zadeh給出的經(jīng)典模糊集更細(xì)致地刻畫研究對象的模糊性[1–2]．

1993年，Gau等[3]又提出 Vague集的概念，但Bustiuce和Burillo[4]于1996年指出，Vague集實(shí)質(zhì)上仍然是直覺模糊集．1994年 Chen和 Tan[5]將 Vague集應(yīng)用于模糊多指標(biāo)決策問題，2000年 Hong和Choi[6]在 Chen工作的基礎(chǔ)上又提出精確函數(shù)應(yīng)用于多目標(biāo)決策．國內(nèi)學(xué)者徐澤水[7]、南江霞等[8]和黎華等[9]也先后把直覺模糊集用于多屬性決策，但這些工作的一個明顯不足是：忽略了對直覺模糊集中猶豫度所承載的不確定性分析，使得在客觀意義上具有不確定性的直覺模糊集多屬性決策問題變成完全確定的決策問題，從而使決策結(jié)果失去了理論價值和實(shí)際意義．

本文考慮二元聯(lián)系數(shù)與同異反聯(lián)系數(shù)的等價性，把直覺模糊數(shù)直接轉(zhuǎn)換成二元聯(lián)系數(shù)，利用二元聯(lián)系數(shù)的普通加、乘運(yùn)算進(jìn)行直覺模糊決策，利用二元聯(lián)系數(shù)i的不同取值考察不確定性對直覺模糊決策的影響，并結(jié)合一個實(shí)例說明具體的計算過程，從而為直覺模糊多屬性決策提供了一種新的簡便算法．

1 直覺模糊數(shù)及其向二元聯(lián)系數(shù)的轉(zhuǎn)換

1.1 直覺模糊數(shù)

定義1 設(shè)X是一個非空集合，界定形如

的三重(元)組稱為X上的一個直覺模糊集，其中uA: X →[0,1] ，vA: X→[0,1]均為X上的普通模糊集，這里 uA(x) ，vA(x)分別表示X上的元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，并滿足0 ≤uA(x) +vA(x )≤ 1，?x∈X 用IFS[X]表示X上的所有直覺模糊集全體構(gòu)成的集合．

進(jìn)一步，稱

為X中元素x屬于A的猶豫度，也稱為直覺模糊集A的直覺指標(biāo)[10]．

易知，0≤πA(x)≤1,?x∈X，特別地，若πA(x)=0,則直覺模糊集退化為Zadeh的模糊集．稱數(shù)對(uA(x),vA(x))(x∈X )為直覺模糊數(shù)[11]．由文獻(xiàn)[5]知，通常把直覺模糊數(shù)的一般形式簡記為 α=，其中0 ≤ uα+vα≤ 1，并定義得分函數(shù)s(α)=等．

1.2 直覺模糊數(shù)轉(zhuǎn)換成二元聯(lián)系數(shù)

由直覺模糊集的定義，把直覺模糊集A可以等價地寫成

由于隸屬度和非隸屬度是對事物的肯定性與否定性的回答，具有確定性，猶豫度是對事物排除隸屬度和非隸屬度后的一種刻畫，具有不確定性，將直覺模糊數(shù)的隸屬度uA(x)與聯(lián)系數(shù)的同一關(guān)系a相對應(yīng)，猶豫度πA(x)與聯(lián)系數(shù)的差異關(guān)系b相對應(yīng)，直覺模糊數(shù)就轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)．即令uA(x)=a和πA(x)=b ，則直覺模糊數(shù)(uA(x),πA(x))(x∈X)就 可以寫成二元聯(lián)系數(shù)

稱式(4)為直覺模糊數(shù)向集對分析的二元聯(lián)系數(shù)的轉(zhuǎn)換形式．由式(4)看出，直覺模糊數(shù)中的隸屬度與猶豫度的數(shù)值在轉(zhuǎn)換前后沒有改變，所不同的是，猶豫度 πA(x)在轉(zhuǎn)換后，按聯(lián)系數(shù)的定義，被添置了一個不確定系數(shù)i，而正是這個i，把直覺模糊數(shù)與聯(lián)系數(shù)μ(x)顯著地區(qū)別開來；其次是在二元聯(lián)系數(shù)中，原直覺模糊數(shù)中的隸屬度uA(x)與猶豫度πA(x)用“＋”系，成為一代數(shù)式，從而為后續(xù)的代數(shù)運(yùn)算提供了客觀條件．

2 多屬性決策

2.1 問題描述

2.2 決策步驟

步驟1：把所給的各指標(biāo)的直覺模糊數(shù)αtk=(utk,vtk)改寫成特別，當(dāng)各指標(biāo)權(quán)重wk是用非定量信息表示時，用文獻(xiàn)[12]的方法，將各wk也改寫成二元聯(lián)系數(shù)μwk的形式．

步驟2：利用式(4)把各αt′k轉(zhuǎn)化成二元聯(lián)系數(shù)μtk(x)=atk+btki .

步驟3：建立綜合加權(quán)模型

或

步驟 4：對 M (st)作不確定性分析，也就是對其中的i作取值分析，由于權(quán)重不能為負(fù)，所以，一般讓i在[0，1]區(qū)間等間隔取值，如令 i= 0,0.5,1等．根據(jù)M (st)的大小作出優(yōu)劣排序，M (st)大的優(yōu)先于M (st)小的．同時考察 M (st)在不同i值下的大小變化及其帶來的排序變化．必要時，從數(shù)學(xué)期望的角度計算各方案的平均序數(shù)值p，p值小的方案被認(rèn)為是數(shù)學(xué)期望意義上最優(yōu)方案．

3 應(yīng)用實(shí)例

為便于比較和分析，采用文獻(xiàn)[7]中的例子說明本方法的具體應(yīng)用．

一個家庭欲購買一臺冰箱，現(xiàn)有 5種品牌st(t = 1,2,…… ,5)可供選擇，主要的評價指標(biāo)(屬性)有Gk(k = 1,2,……,6)共 6項(xiàng)，其中G1表示“安全性”，G2表示“制冷性”，G3表示“結(jié)構(gòu)性”，G4表示“可靠性”，G5表示“經(jīng)濟(jì)性”，G6表示“美觀性”．利用統(tǒng)計方法，得到方案 st(t = 1,2,……,5)對屬性 Gk(k=1,2,……,6)的滿意程度utk和不滿意程度vtk，記直覺模糊數(shù)為 αtk= (utk,vtk)，見表1．

已知各指標(biāo)的權(quán)重信息wk如下：w1≤0.3，w2≤ 0.2，0 .2 ≤ w3≤ 0.5，w4≤0.1，0 .1 ≤w5≤0.4，w6≥ 0.2，試作出決策．

步驟 1：將表 1利用式(4)改寫成用二元聯(lián)系數(shù)表示的決策矩陣表，見表2．

表1 直覺模糊決策矩陣表Tab.1 Intuitionistic fuzzy decision matrix

表2 權(quán)重和指標(biāo)值轉(zhuǎn)換為二元聯(lián)系數(shù)的直覺模糊決策矩陣表Tab.2 Intuitionistic fuzzy decision matrix of binary connection number by weight and target value

步驟2：應(yīng)用式(5)計算各方案的綜合加權(quán)聯(lián)系數(shù)st，得表3．

表3 各方案綜合加權(quán)聯(lián)系數(shù)stTab.3 Varied program synthesize weigh connection number st

步驟3：計算和分析 M (st)在不確定性下的各種方案排序，得表4．

表4 i取不同值時M(st)的排序Tab.4 M(st)’ s rank of different value of i

由表 4、可見，在忽略不計不確定性條件下，是s4優(yōu)于s5優(yōu)于s2優(yōu)于s1優(yōu)于s3，當(dāng)考慮不確定性，僅取i= 0.5，i=1這兩種情況時，除s1仍為最差方案外，其余 4個方案的優(yōu)劣順序在i=0.5時與i=1時都不同．由于i在[0，1]區(qū)間，取i=0時相當(dāng)于忽略不確定性，因而又作了 i= 0.1,0.2,? ,1共 10種情況下的M (st)計算，并作各方案的序數(shù)總平均p處理，結(jié)果是s2優(yōu)于s4優(yōu)于s5優(yōu)于s3優(yōu)于s1，這一結(jié)果與文獻(xiàn)[7]中的排序結(jié)果完全一致．但文獻(xiàn)[7]是在經(jīng)過一系列繁瑣計算后得到的結(jié)果，沒有作不確定性分析．

本文是在承認(rèn)不確定性條件下，用聯(lián)系數(shù)客觀地描述這些不確定性，通過聯(lián)系數(shù)的普通加、乘運(yùn)算及不確定性分析得到的結(jié)果，整個分析計算過程簡單，且原理清晰．

［1］ Atanassov K T. Intuitionistic fuzzy set [J]. Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1)：87-96.

［2］ Zadeh L A. Fuzzy sets [J]. Inform and Control，1965，8(3)：338-353.

［3］ Gau W L，Buehrer D J. Vague sets[J]. IEEE Transactionson Systems，Man，and Cybernetics，1993，23(2)：610-614.

［4］ Bustince H，Burillo P. Vague sets are Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems，1996，79(3)：403-405.

［5］ Chen S M，Tan J M. Handling multicriteria fuzzy decisiorr making problems based on vague set theory[J]. Fuzzy Sets and Systms，1994，67(2)：163-172.

［6］ Hong D H，Choi C H. Multicriteria fuzzy decision-making problems based on vague set theory [J]. Fuzzy Sets and Systems，2000，114(1)：103-113.

［7］ 徐澤水. 直覺模糊偏好信息下的多屬性決策途徑[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2007，27(11)：62-71.

［8］ 南江霞，李登峰，張茂軍. 直覺模糊多屬性決策的Topsis法[J]. 運(yùn)籌與管理，2008，17(3)：38-41.

［9］ 黎華，王周敬. 基于直覺模糊集的多屬性決策問題[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報：理工版，2008，33(6)：109-112.

［10］Szmidt E，Kacprzyk J. A consensus reaching process under intuitionistic fuzzy preference relations[J].International Journal of Intelligent Systems，2003，18(7)：837-852.

［11］劉秀梅. 基于聯(lián)系數(shù)的直覺模糊數(shù)多指標(biāo)評價研究[J].連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2008(4)：91-94.

［12］劉秀梅，趙克勤. 基于區(qū)間數(shù)確定性相互作用點(diǎn)的多屬性決策[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2009，39(8)：68-75.