任立民 福建江夏學(xué)院信息系，福州 350108

文科線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐與思考

任立民 福建江夏學(xué)院信息系，福州 350108

由于線性代數(shù)理論性很強(qiáng)，高的抽象，嚴(yán)謹(jǐn)，再加上課時(shí)較少，老師難教，學(xué)生難學(xué)，作者經(jīng)過(guò)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線性代數(shù)的課程體系改革、教學(xué)方法以及學(xué)習(xí)技巧等進(jìn)行剖析總結(jié)與大家分享，希望同行之間加強(qiáng)交流與合作，進(jìn)一步提高文科線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量。

線性代數(shù)；教學(xué)實(shí)踐與思考；教材體系改革；教學(xué)方法改革

引言

隨著經(jīng)濟(jì)、管理和信息等學(xué)科的飛速發(fā)展和更新，對(duì)數(shù)學(xué)的要求越來(lái)越高，本文試圖結(jié)合我對(duì)線性代數(shù)教學(xué)的一些實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析，思考與探索。線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支根植于古老的歐式幾何、解析幾何、線性方程組理論三者構(gòu)成了線性代數(shù)的歷史淵源，是研究線性范疇的一門理論學(xué)科。

線性代數(shù)教學(xué)被認(rèn)為是困難的。同微積分相比，一些學(xué)生甚至感覺(jué)到好像“來(lái)到了另外一個(gè)世界”。有些十分簡(jiǎn)單的概念學(xué)生都無(wú)法理解，譬如有的同學(xué)對(duì)“逆序數(shù)”就無(wú)法理解，老師也往往感到非常困惑。應(yīng)該承認(rèn)，線性代數(shù)學(xué)習(xí)的困難，跟他們相關(guān)的預(yù)備知識(shí)不足和學(xué)習(xí)能力水平有關(guān)。因?yàn)樵诔橄蠡^(guò)程中需要有批判的眼光，找出事物的本質(zhì)特征，再加以一般化，這往往是大一新生所缺乏的。為此，我們需要找出一些合適的教法和學(xué)法。

一、國(guó)內(nèi)院校線性代數(shù)課程與教材體系改革

自80年代以來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅猛發(fā)展和更新，線性代數(shù)作為一門“工具”課，無(wú)論是在研究手段，研究對(duì)象還是研究成果都正在飛速發(fā)展，對(duì)國(guó)內(nèi)非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)課程教材主要包括：行列式—矩陣—線性空間—線性方程組—特征值與特征向量—二次型—應(yīng)用模型理論。這幾乎成為大多數(shù)教材的標(biāo)準(zhǔn)，只是不同教材安排次序不一樣而已。對(duì)此，怎么看待這種現(xiàn)象呢？我想可能是由以下三個(gè)原因造成的。一是歷史原因。事實(shí)上，行列式、矩陣、線性方程組等線性代數(shù)學(xué)科的具體對(duì)象原本是各自獨(dú)立的（當(dāng)然也有某種聯(lián)系）發(fā)展演化而來(lái)，逐漸成為一門學(xué)科是后來(lái)發(fā)展的。其次，對(duì)具體“教學(xué)”對(duì)象一個(gè)個(gè)地進(jìn)行介紹，每一個(gè)部分相互獨(dú)立，好像比較容易接受，因而長(zhǎng)期沿襲下來(lái)了。再次是非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)時(shí)很少。我現(xiàn)在所教的線性代數(shù)就只有36課時(shí)，所以更愿意把它花到工具使用的那些內(nèi)容上，至于線性代數(shù)的理論核心部分只能點(diǎn)到為止了。通過(guò)幾年的教學(xué)下來(lái)，對(duì)這種現(xiàn)象我頗有怨言，學(xué)生實(shí)際沒(méi)有學(xué)到線性代數(shù)的真正內(nèi)容，但現(xiàn)實(shí)的課時(shí)問(wèn)題沒(méi)辦法解決，也就無(wú)從說(shuō)起。尤其是在信息化和素質(zhì)教育的今天，線性代數(shù)不能只是當(dāng)做“工具”來(lái)使用。

學(xué)生普遍反映線性代數(shù)“抽象”難懂。一個(gè)簡(jiǎn)單的逆序數(shù)就讓學(xué)生頭疼，相關(guān)性無(wú)從下手，線性空間更是抽象。學(xué)生難學(xué)，老師難教。如何改變這種困境呢？以科學(xué)性、知識(shí)性和實(shí)用性為原則，嘗試一下改變《線性代數(shù)》教材內(nèi)容體系。以矩陣的初等變換為主線進(jìn)行教學(xué)：

（一）先講矩陣及其運(yùn)算—矩陣的初等變換—用初等變換求逆矩陣—用初等變換解方程組—用初等變換求向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩—化二次行為標(biāo)準(zhǔn)型。

（二）向量空間中首先給出二維、三維向量之間的關(guān)系，結(jié)合幾何直觀上給出線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的具體含義，然后拋出抽象的定義。把空間解析幾何與線性代數(shù)中的概念、性質(zhì)類比，從而，使抽象的概念具體而直觀的表現(xiàn)，學(xué)生更容易接受。

（三）用矩陣行向量組的秩定義矩陣的行秩，列向量組的秩定義矩陣的列秩，直接說(shuō)明矩陣的行秩等于列秩，然后介紹向量空間與方程組解的結(jié)構(gòu)。這樣就可以回避行列式的定義。這不僅保持內(nèi)容完整而嚴(yán)謹(jǐn)，并且降低了難度，學(xué)生更容易理解領(lǐng)會(huì)。

（四）歸納定義行列式的定義，羅列行列式的性質(zhì)并簡(jiǎn)單證明。

（五）通過(guò)實(shí)例引入方陣的特征值與特征向量，實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型等串聯(lián)起來(lái)。實(shí)踐證明，這種教學(xué)嘗試是成功的，教學(xué)效果明顯改善，學(xué)生的反響和考核成績(jī)都得到明顯改善和提高。

二、教育教學(xué)方法改革探索

目前該課程仍以講授為主，對(duì)基礎(chǔ)好的同學(xué)沒(méi)有任何問(wèn)題，而對(duì)學(xué)習(xí)主動(dòng)性差，基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)而言，就聽(tīng)不懂，不會(huì)做練習(xí)，甚至厭學(xué)，結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)兩極分化。這種現(xiàn)象引發(fā)了我對(duì)教學(xué)方法的摸索與改革。后來(lái)，我進(jìn)行了自學(xué)、討論、講授并輔助多媒體與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行教學(xué)試點(diǎn)。引領(lǐng)在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行“手、腦、心”的全方位自主學(xué)習(xí)，學(xué)生與老師共同探討，師生互動(dòng)的新教學(xué)學(xué)習(xí)模式。讓學(xué)生由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)，教師也由領(lǐng)導(dǎo)者變?yōu)橐啡?，正所謂“師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個(gè)人”，事實(shí)上，老師應(yīng)該是導(dǎo)演，學(xué)生是執(zhí)行者。

講授法與其他教學(xué)法巧妙結(jié)合：譬如，講授法與探究法相結(jié)合，探究法是指老師組織和引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立的探究和研究而獲得新知識(shí)的一種方法。它首先是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理時(shí)，教師只給提供一些事例和為題情景，讓學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、實(shí)驗(yàn)、思考、討論等途徑獨(dú)自探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)數(shù)學(xué)概念和原理；其次是指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題是，老師只給創(chuàng)設(shè)出問(wèn)題的情景，讓學(xué)生通過(guò)探究找到解決問(wèn)題的方法。其指導(dǎo)思想是在老師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自覺(jué)地、主動(dòng)地探索，掌握知識(shí)和解決問(wèn)題的方法和步驟，研究客觀事物的屬性，發(fā)現(xiàn)事物的起因和事物的內(nèi)部聯(lián)系，從中找出規(guī)律，形成自己的概念。這種方法實(shí)際上對(duì)學(xué)習(xí)線性代數(shù)很有幫助，但由于時(shí)間的限制無(wú)法實(shí)現(xiàn)，我們不妨把這種思想應(yīng)用到講授過(guò)程中，卻會(huì)收到不錯(cuò)的教學(xué)效果。因?yàn)閷W(xué)生參與了這種過(guò)程才會(huì)身臨其境的體會(huì)其中的奧妙和樂(lè)趣。

另外，教學(xué)中不僅要重視優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更要培養(yǎng)學(xué)生將陳述型知識(shí)轉(zhuǎn)化為理解型、應(yīng)用型知識(shí)的能力。要做到這一點(diǎn)，只有將結(jié)果與過(guò)程有機(jī)的結(jié)合，才能體現(xiàn)其思維過(guò)程，其真正的數(shù)學(xué)思想才得以提煉與升華。這就需要老師在講授知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，還要揭示他們之間的內(nèi)在聯(lián)系，使這些知識(shí)能融會(huì)貫通。譬如在介紹完行列式的計(jì)算需要總結(jié)常見(jiàn)的類型和方法：

（一）定義法—將行列式按某行（列）展開(kāi)化為低階的行列式（注意零按元素較多的行（列）展開(kāi)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算）。

（二）零值法—對(duì)于各行（列）形式基本一樣，只是字母的符號(hào)略有不同的行列式常用此法。將某一行（列）的若干倍數(shù)加到另外兩行（列）上，使其兩行（列）成比例即可。

（三）三角形法—利用行列式的性質(zhì)將其化為上（下）三角形行列式得出結(jié)果，這是最常用的一種方法。

（四）遞推法—一般從原行列式出發(fā)，找到高階行列式和一個(gè)或幾個(gè)同型的低階行列式之間的關(guān)系式，歸納遞推得出結(jié)論。

（五）拆項(xiàng)法—行列式中某行（列）的元素為兩數(shù)（以上）相加時(shí)把原行列式拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單行列式相加的方法。

（六）范德蒙法—將原行列式利用性質(zhì)化為范德蒙行列式，再利用結(jié)論計(jì)算行列式的方法。

要把現(xiàn)代信息技術(shù)與線性代數(shù)相結(jié)合，應(yīng)善于以信息技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)為手段，把信息技術(shù)與應(yīng)用性相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件、構(gòu)件數(shù)學(xué)模型、完成與文科相關(guān)課程的定量分析能力，掌握解決問(wèn)題的算法及其實(shí)現(xiàn)，掌握一些數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用。提高效率，節(jié)約課時(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和創(chuàng)新精神。

以上是筆者在線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐中的一些嘗試，希望能和更多的同行和需要學(xué)習(xí)線性代數(shù)的同志共同學(xué)習(xí)進(jìn)步，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，促進(jìn)本科教學(xué)質(zhì)量。

[1]李秉德.教學(xué)論[M].北京：人民教育出版社.1991

[2][美]M.克萊因著.古今數(shù)學(xué)思想[M].上?？茖W(xué)出版社.1979

[3]黃惠青，梁治安.線性代數(shù)[M].高等教育出版社.2006

[4]劉吉佑，徐誠(chéng)浩.線性代數(shù)[M]，武漢大學(xué)出版社.2006

[5]趙樹(shù)原.線性代數(shù)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社.1997

[6]張定強(qiáng)，金江熙.對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合的一些新思考[J].電化教育研究.2006（1）

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.08.173