張 丹

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

求解集中載荷下復(fù)雜邊界條件厚板的撓曲方程

張 丹

（湖南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 永州 425100）

應(yīng)用功的互等定理， 得到了兩鄰邊簡(jiǎn)支另兩鄰邊自由且角點(diǎn)支承的厚矩形板在集中載荷作用下的撓曲面方程；同時(shí), 通過(guò)編程計(jì)算給出了具有實(shí)際價(jià)值的數(shù)值結(jié)果，進(jìn)一步證明了應(yīng)用功的互等法求解厚矩形板的正確性和優(yōu)越性。

功的互等定理法；基本解；撓曲方程；Reissner理論；集中載荷

0 引 言

功的互等法(RTM)是付寶連教授提出的求解板殼力學(xué)及彈性力學(xué)平衡、穩(wěn)定和振動(dòng)問(wèn)題的一個(gè)系統(tǒng)的方法[1-3]。功的互等法求解厚板問(wèn)題的基本思想是將功的互等定理應(yīng)用在實(shí)際系統(tǒng)和基本系統(tǒng)之間，從而得到實(shí)際系統(tǒng)的位移方程，并根據(jù)邊界條件得到該位移方程得最終解。對(duì)于求解厚板彎曲的方法，有疊加法，變分法和有限元法等方法，其中疊加法的應(yīng)用最廣泛，與疊加法比，功的互等法具有求解簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)。

本文將功的互等法推廣于求解基于Reissner理論的厚矩形板彎曲問(wèn)題，利用功的互等法研究集中載荷下兩鄰邊簡(jiǎn)支另兩鄰邊自由且角點(diǎn)支承的厚板的彎曲情況。

1 基本方程

對(duì)于Reissner理論[4-5]，控制方程為

切力，彎矩，扭矩和轉(zhuǎn)角如下：

2 基本解

如圖2所示，取只受單位橫向二維Dirack-delta函數(shù) (x ? , y ?)作用的簡(jiǎn)支矩形板為基本系統(tǒng)，在這種情況下，控制方程(1-1)成為

我們稱該基本系統(tǒng)的解為基本解。易知該基本解為

3 兩鄰邊簡(jiǎn)支另兩鄰邊自由且角點(diǎn)支承的厚矩形板

我們將應(yīng)用功的互等定理法求解如圖3所示在集中載荷 P作用下兩鄰邊簡(jiǎn)支另兩鄰邊自由且角點(diǎn)支承的厚矩形板的彎曲。

圖3 兩鄰邊簡(jiǎn)支另兩鄰邊自由且角點(diǎn)支承的厚矩形板

如圖3所示，以在板面上作用有集中載荷P，兩鄰邊簡(jiǎn)支另兩鄰邊自由且角點(diǎn)支承的厚矩形板作為實(shí)際系統(tǒng)。設(shè)

5 算法設(shè)計(jì)

本例中含有六組未知參數(shù),,,,mnmnhfdb00,hf，其中Λ,3,2,1,=nm，系數(shù)矩陣也按對(duì)應(yīng)順序擺布，先生成分塊子矩陣，再組合生成整體系數(shù)矩陣，在Matlab中采用選主元LU分解法解邊界方程組，取 80, =nm ，結(jié)果見表1。

表1 by= 處 )(PW 沿 變化數(shù)據(jù)表

圖4 y b= 處 )(PW 沿 變化曲線

6 數(shù)值分析

表1、圖4分別給出了在 y = b 2處，撓度沿 變化的數(shù)據(jù)表和分布曲線，因厚跨比的變化而得到不同的結(jié)果。計(jì)算中參數(shù)分別取 a b =1,E = 3e11P a,v = 0.3,h / a=0.005,0.1,0.2,0.3.以 h / a =0.2為例，與ansys的計(jì)算結(jié)果比較，兩者能夠很好擬合；且當(dāng)厚板中h很小時(shí)與薄板撓度的計(jì)算結(jié)果完全一致。這充分說(shuō)明了利用功的互等定理求解厚板彎曲問(wèn)題的正確性及算法選擇與程序設(shè)計(jì)的正確性。

[1]付寶連.彎曲薄板功的互等新理論[M].北京:科學(xué)出版社, 2003.

[2]付寶連. 關(guān)于求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題的功的互等定理法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 1989. 10(5):437-466.

[3]付寶連, 陳英杰. 應(yīng)用功的互等定理求解中厚板彎曲[J]. 東北重型機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào), 1995.1.13(1):83-90.

[4]苗天德, 程昌鈞. 關(guān)于彈性板彎曲變形的Reissner理論.

[5]E. Reissner. On the Theory of Bending of Elastic Plates[J]. J. Math. Phys, 1944, 23:184.

A

1673-2219（2011）12-0005-04

2011－10－12

湖南科技學(xué)院2009年重點(diǎn)科研課題資助。

張丹（1982－），女，在讀博士，數(shù)學(xué)系講師，研究方向?yàn)橛邢拊獢?shù)值方法和脈沖微分動(dòng)力系統(tǒng)。

（責(zé)任編校：何俊華）