劉福國(guó)

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

百慕大期權(quán)定價(jià)的離散模型

劉福國(guó)

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

本文給出離散市場(chǎng)模型下百慕大期權(quán)定價(jià)公式。對(duì)我國(guó)的上海權(quán)證市場(chǎng)中的百慕大式權(quán)證的實(shí)際數(shù)據(jù)利用離散(二叉數(shù)方法)模型下的百慕大期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，并給出實(shí)證分析，從而為百慕大期權(quán)定價(jià)理論的證明提供了現(xiàn)實(shí)根據(jù)。

百慕大期權(quán);二叉樹(shù);實(shí)證分析

1 前 言

期權(quán)按照交易時(shí)間的不同，期權(quán)有歐式期權(quán)和美式期權(quán)之分，標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)可在其有效期內(nèi)任何時(shí)間均可行使期權(quán)，它比歐式期權(quán)應(yīng)用得更為普遍，國(guó)際金融衍生市場(chǎng)交易的大多數(shù)期權(quán)都是美式期權(quán)，但實(shí)際中交易的美式期權(quán)不一定總是具備這些標(biāo)準(zhǔn)特征，尤以股票期權(quán)市場(chǎng)最為突出。有一種非標(biāo)準(zhǔn)的美式期權(quán)稱為百慕大(bermudan)期權(quán)，在這種期權(quán)中，提前行使只限于期權(quán)有效期內(nèi)特定日期，即其具備路徑依賴特征。例如現(xiàn)在一些公司發(fā)行的某些認(rèn)購(gòu)權(quán)證和認(rèn)沽權(quán)證實(shí)質(zhì)上就是百慕大期權(quán)，他們提前執(zhí)行只能在有效期內(nèi)的部分時(shí)間進(jìn)行，而不是有效期內(nèi)的所以時(shí)間都可以，所以對(duì)其定價(jià)，就顯得比較復(fù)雜，這也是購(gòu)買者最關(guān)心的問(wèn)題。在金融衍生市場(chǎng)中交易的大部分權(quán)證都是百慕大式的，所以對(duì)百慕大期權(quán)的定價(jià)就顯得尤為重要。由于其路徑依賴特征的復(fù)雜性使得對(duì)百慕大期權(quán)的定價(jià)比較有難度，關(guān)于該問(wèn)題研究的文獻(xiàn)比較有限，林建偉采用偏微分方程方法討論了帶跳擴(kuò)散項(xiàng)的永久百慕大期權(quán)定價(jià)問(wèn)題［1，2］，但他僅解決作為周期解的連續(xù)的數(shù)學(xué)模型。所以百慕大期權(quán)的定價(jià)一直是國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一。

2 百慕大期權(quán)定價(jià)方法—離散模型

定義2.1［3］按和約規(guī)定，提前實(shí)施只限于期權(quán)有效期內(nèi)的一些特定時(shí)間才可以進(jìn)行，在其他時(shí)間與其它歐式期權(quán)一樣不能提前實(shí)施，此類期權(quán)稱之為百慕大期權(quán)。

二叉樹(shù)模型為百慕大式期權(quán)定價(jià)原理

設(shè)t1，t2，……，tN為百慕大期權(quán)可以行權(quán)的時(shí)刻，把［0，T］分為N段:0＜t1＜t2

＜…… ＜tN=T，實(shí)際中不同百慕大期權(quán)N不同，即在不同時(shí)刻行權(quán)其價(jià)值不同，在每個(gè)可行權(quán)點(diǎn)ti可以選擇立即行權(quán)，也可以選擇在以后的行權(quán)點(diǎn)行權(quán)，如下圖:

圖中Y表示執(zhí)行期權(quán)，N表示不執(zhí)行期權(quán)

設(shè)V(s，t)表示t時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值，則

對(duì)于百慕大期權(quán)二叉樹(shù)模型首先解決的就是股價(jià)走勢(shì)的問(wèn)題，雖然不知道未來(lái)某個(gè)時(shí)點(diǎn)的股價(jià)具體是多少，但是二叉樹(shù)模型認(rèn)為在較短的時(shí)間間隔內(nèi)，股票價(jià)格S只有兩種運(yùn)動(dòng)方向，以概率P向上增長(zhǎng)為Su，或以概率1－P下降為Sd，根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率，可推算u、d，并設(shè)定如下:

二叉樹(shù)描繪出的股價(jià)路徑如下圖所示:

單步二叉樹(shù)示意圖

多步二叉樹(shù)示意圖

描繪出股價(jià)路徑之后，則需判斷每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值。由于股票和期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)源相同，因此通過(guò)構(gòu)建一個(gè)股票和期權(quán)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，便可求解P，f。在單步二叉樹(shù)中，它們滿足如下關(guān)系:

公式2.2顯示的是期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，從經(jīng)濟(jì)意義上很好理解，將未來(lái)股價(jià)上漲時(shí)的期權(quán)價(jià)值和股價(jià)下跌時(shí)的期權(quán)價(jià)值分別以其概率為權(quán)重相加后按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)回來(lái)即為其現(xiàn)值，也就是現(xiàn)在不行權(quán)而在將來(lái)行權(quán)的價(jià)值。實(shí)際上，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的期權(quán)可能還存在另一個(gè)價(jià)值，就是選擇立即行權(quán)而不是將來(lái)行權(quán)的價(jià)值，對(duì)于看跌期權(quán)而言，即max(X－S(T)，0)。歐式期權(quán)由于只在期末有行權(quán)的權(quán)利，所以除最后一層節(jié)點(diǎn)外，不存在第二種價(jià)值;美式期權(quán)

由于在期權(quán)的有效期內(nèi)任一天均可行權(quán)，因此除最后一層節(jié)點(diǎn)外，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處期權(quán)均存在兩種價(jià)值;百慕大期權(quán)由于期權(quán)有效期內(nèi)只有某段時(shí)間可行權(quán)，因此部分節(jié)點(diǎn)處期權(quán)存在兩種價(jià)值，部分節(jié)點(diǎn)處只有第一種價(jià)值。

在給期權(quán)定價(jià)時(shí)，實(shí)務(wù)界一般認(rèn)為采用20步二叉樹(shù)就能取得較好的定價(jià)效果，并且我們通過(guò)適當(dāng)調(diào)整步長(zhǎng)使行權(quán)點(diǎn)剛好與二叉樹(shù)分層點(diǎn)重合，對(duì)于看跌期權(quán)而言，由于最后一層節(jié)點(diǎn)處為期末，期權(quán)的價(jià)值僅為立即行權(quán)的價(jià)值max(X－S(T)，0)，然后根據(jù)公式(2.2)不斷的往前回溯，如果該節(jié)點(diǎn)處有行權(quán)的權(quán)利，則期權(quán)價(jià)值為:

如果該節(jié)點(diǎn)處無(wú)行權(quán)的權(quán)利，則期權(quán)價(jià)值為:e－rT［Pfu+(1－P)fd］，回溯到第一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)則為百慕大期權(quán)價(jià)值。

3 實(shí)證研究

定義3.1［4］權(quán)證，是指標(biāo)的證券發(fā)行人或其以外的第三人發(fā)行的，約定持有人在規(guī)定期間內(nèi)或特定到期日，有權(quán)按約定價(jià)格向發(fā)行人購(gòu)買或出售標(biāo)的證券，或以現(xiàn)金結(jié)算方式收取結(jié)算差價(jià)的有價(jià)證券。

權(quán)證本質(zhì)上是期權(quán)的一種，百慕大式權(quán)證實(shí)質(zhì)就屬于百慕大期權(quán)，在我國(guó)的上海權(quán)證市場(chǎng)中大部分的權(quán)證是百慕大式的，百慕大權(quán)證吸收了歐式權(quán)證和美式權(quán)證的靈活性，更加滿足市場(chǎng)的需求，對(duì)其定價(jià)就顯得更加重要。本文對(duì)中國(guó)上海權(quán)證市場(chǎng)中的所有百慕大式認(rèn)沽權(quán)證和認(rèn)購(gòu)權(quán)證的實(shí)際數(shù)據(jù)以MATHLAB作為數(shù)學(xué)模擬工具對(duì)二叉樹(shù)模型進(jìn)行模擬，并與實(shí)際進(jìn)行比較，部分結(jié)果如下圖:

首創(chuàng)JTB1模擬圖

國(guó)安JTB1模擬圖

雅戈?duì)朡CB1模擬圖

邯鋼JTB1模擬圖

對(duì)所有的百慕大式認(rèn)沽權(quán)證和認(rèn)購(gòu)權(quán)證都使用該方法進(jìn)行實(shí)證模擬對(duì)比，二叉樹(shù)定價(jià)結(jié)果比較接近實(shí)際，權(quán)證是指標(biāo)的證券發(fā)行人或其以外的第三人發(fā)行的，反映的是發(fā)行人與持有人之間的一種契約關(guān)系，發(fā)行人也以追求經(jīng)濟(jì)利益為目的，而且權(quán)證的價(jià)格往往還要受到權(quán)證的市場(chǎng)供求、發(fā)行人業(yè)績(jī)等因素影響，所以造成對(duì)于百慕大式認(rèn)沽權(quán)證和認(rèn)購(gòu)權(quán)證的理論價(jià)值有時(shí)與實(shí)際價(jià)格存在一定的差距。

本文對(duì)于百慕大期權(quán)定價(jià)是在標(biāo)的資產(chǎn)不存在分紅和利率、波動(dòng)率是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)的假設(shè)條件下進(jìn)行的，標(biāo)的資產(chǎn)存在分紅和利率、波動(dòng)率是隨機(jī)情形還有待繼續(xù)研究。

［1］林建偉.帶跳擴(kuò)散項(xiàng)的永久百慕大期權(quán)定價(jià)［J］.莆田學(xué)院學(xué)報(bào).2005，(4).

［2］林建偉.永久百慕大期權(quán)的定價(jià)公式［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，(10).

［3］姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［4］［美］John C.Hull.期權(quán)，期貨和其它衍生產(chǎn)品［M］.北京:華夏出版社，2000.

［5］錢敏平，龔光魯.隨機(jī)過(guò)程論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2004.

O212.7

A

1671－6469(2011)05－0091－03

2011－10－11

昌吉學(xué)院教研課題(2010YJYB007)

劉福國(guó)(1978－)，男，新疆呼圖壁人，昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系，講師，研究方向:數(shù)理金融。

(責(zé)任編輯:馬海燕)