幾點(diǎn)線性代數(shù)教學(xué)改革的思考

李靖建 韓 霞

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 廣西 南寧 530004）

《線性代數(shù)》是高等學(xué)校理工科和經(jīng)管類學(xué)科的最基礎(chǔ)的學(xué)科。它不但在微分方程、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，也是經(jīng)濟(jì)學(xué)、農(nóng)學(xué)、機(jī)電學(xué)以及工程管理學(xué)等專業(yè)的基礎(chǔ)學(xué)科之一。隨著電子技術(shù)的飛速發(fā)展，許多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)換成可以計(jì)算出來的線性化問題，而解決這一類問題的最有力的工具就是《線性代數(shù)》。另一方面，《線性代數(shù)》還是訓(xùn)練、提高學(xué)生抽象思維能力與邏輯推理能力的重要學(xué)科。于是，在高等院校，對(duì)于《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)和教學(xué)就特別引人注目。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為《線性代數(shù)》的內(nèi)容主要是一個(gè)中心∶求解線性方程組；三個(gè)工具：行列式、矩陣和線性空間。于是老師的教和學(xué)生的學(xué)都圍繞著這個(gè)分類來進(jìn)行。表面上是有利于教學(xué)，可是這樣的分類無形當(dāng)中割裂了《線性代數(shù)》特有的連貫性，阻礙了對(duì)《線性代數(shù)》本質(zhì)內(nèi)容的理解。最終的結(jié)果就是學(xué)習(xí)的過程中會(huì)產(chǎn)生種種疑問，為什么就是這樣的？老師也只是機(jī)械的給學(xué)生們灌輸抽象的概念和古怪的定理。這樣，教學(xué)變得機(jī)械、呆板，學(xué)習(xí)變成了枯燥無味的接受和訓(xùn)練，甚至是背書，就更談不上靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)。我們應(yīng)該轉(zhuǎn)變一下我們的思路，從《線性代數(shù)》的本質(zhì)出發(fā)，把教學(xué)的核心從線性方程組轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃?。這主要是因?yàn)槿缦碌膸c(diǎn)理由。

1 教學(xué)的內(nèi)容更系統(tǒng)、完整

《線性代數(shù)》的內(nèi)容可以用矩陣來系統(tǒng)起來?？梢允紫葘W(xué)習(xí)矩陣的定義和性質(zhì)。從定義上來看，矩陣只是一個(gè)數(shù)表，沒有其他的任何附加的條件，所以學(xué)生們?nèi)菀桌斫夂徒邮堋Ｌ貏e是，以這樣開始的線性代數(shù)可以勾起學(xué)生們的好奇心“一個(gè)數(shù)表會(huì)有什么玄機(jī)和應(yīng)用呢”？另一方面，數(shù)表是學(xué)生們特別是工科的學(xué)生們經(jīng)常見到的，這樣就會(huì)引起學(xué)生們極大的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)矩陣基本知識(shí)的學(xué)習(xí)，可以使同學(xué)們對(duì)矩陣有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，那一個(gè)自然的問題就會(huì)出現(xiàn)的同學(xué)們的面前：矩陣有什么用處呢？下面接著介紹行列式的知識(shí)。講行列式時(shí)一定要強(qiáng)調(diào)行列式是防震的行列式，也就是對(duì)一個(gè)行數(shù)和列數(shù)相等的數(shù)表按照一定的規(guī)則可以定義一個(gè)實(shí)值單值函數(shù)。也就是按照既定的對(duì)應(yīng)法則，每一個(gè)這樣的方陣都唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣的一個(gè)函數(shù)在一定的意義下也可以稱之為運(yùn)算。那當(dāng)然，我們首先要學(xué)習(xí)這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則也就是行列式的定義和計(jì)算。學(xué)習(xí)完這些問題后，一個(gè)自然的問題就是它的應(yīng)用。行列式的應(yīng)用很多，其中最常見的應(yīng)用就是可以用來求解一些線性方程組——克萊默法則。講解克萊默法則的時(shí)候，需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)其適應(yīng)的條件，要讓學(xué)生們深刻的理解它的優(yōu)、缺點(diǎn)。在學(xué)習(xí)應(yīng)用行列式來解方程組的時(shí)候，同學(xué)們肯定會(huì)和原來解線性方程組的方法（消元法）做一個(gè)對(duì)比，看哪個(gè)更簡(jiǎn)單一些。講解這一部分時(shí)，可以對(duì)這個(gè)問題做一個(gè)簡(jiǎn)單的說明，克萊默法則就是在我們?cè)瓉硐ǖ幕A(chǔ)上給出來的，它的思路簡(jiǎn)單可是計(jì)算起來并不見得輕松多少，而且能解決的問題只是一部分。那有沒有更好的方法去解決這個(gè)問題呢？答案是肯定的。注意到，行列式只是矩陣的一個(gè)性質(zhì)，我們可以用矩陣的其他方面的性質(zhì)徹底的解決這樣一個(gè)問題。這樣自然的來介紹矩陣的初等變換。作為這一部分的應(yīng)用舉例，講解用矩陣的初等變換來解線性方程組的解的問題。

通過對(duì)上面知識(shí)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)該對(duì)矩陣有了一個(gè)較為深刻的理解和認(rèn)識(shí)。下面呢，可以對(duì)矩陣作進(jìn)一步的剖析。把矩陣分解開來，把它的每一行或列拿出來研究，它們稱為矩陣的行或列向量。這就是說，一個(gè)矩陣可以看成是由向量構(gòu)成的，要想更深入的學(xué)習(xí)矩陣，就得先學(xué)習(xí)向量的知識(shí)。于是介紹向量的基本概念和性質(zhì)。注意，講這部分知識(shí)時(shí)一定要結(jié)合矩陣來講，也就是要從矩陣的角度去講解向量，這樣做有下面的一些好處：1）可以讓學(xué)生們更好的理解向量和矩陣的關(guān)系。以往都是單純的講解向量，同學(xué)們不好理解，特別是不知道為什么是這樣的，為什么要學(xué)習(xí)這些看似沒有用的、怪怪的定義和定理！都后來矩陣又出來了，同學(xué)們不好理解這些之間到底是一個(gè)什么關(guān)系？如果可以從矩陣的角度去講的話，學(xué)生們就會(huì)明白，向量矩陣的一部分，矩陣是由向量構(gòu)成的，它們之間有著非常緊密的聯(lián)系！2）可以讓學(xué)生對(duì)向量的理解找到歸宿和出處。以往都是單純的講解向量，給出定義之后，緊接著就給出線性組合、相關(guān)性以及向量秩這些古怪、抽象的概念。結(jié)果是學(xué)生們聽得一頭霧水，自信心備受打擊，學(xué)習(xí)的熱情消失殆盡。老師們講起來也只剩下照本宣科的介紹概念，非?？菰?，最后只有用“抽象”二字來搪塞了。如果從矩陣的角度來講得話，學(xué)生們知道，學(xué)習(xí)矩陣就是學(xué)習(xí)剖解開來的矩陣，是從細(xì)小的地方來學(xué)習(xí)矩陣。而且這個(gè)時(shí)候會(huì)非常自然的給出矩陣的秩的概念。學(xué)習(xí)了向量的概念，向量空間的定義就隨之出來了。接下來可以介紹線性空間的基本知識(shí)。作為矩陣之間的基本關(guān)系，可以給出矩陣相似的概念。然后作為矩陣的一個(gè)重要的應(yīng)用，講解二次型的知識(shí)。

這樣，通過矩陣，可以把《線性代數(shù)》的內(nèi)容完全系統(tǒng)起來，而且好比較好理解和教學(xué)。通過作者多年的教學(xué)實(shí)踐來看，這樣的教學(xué)效果非常好，得到了廣大學(xué)生和同事們的認(rèn)可。

2 有利于更好的理解矩陣的本質(zhì)

從矩陣的定義看，矩陣就是一個(gè)數(shù)表，而許多的實(shí)際問題，都可以抽象成一個(gè)數(shù)表。這樣，矩陣的運(yùn)算和變換就反映了原來問題的變化。例如用矩陣解線性方程組的解的問題，對(duì)系數(shù)矩陣或者增廣矩陣施行行初等變換實(shí)際上就反映了方程組中相應(yīng)方程之間的變化。特別是在線性空間中，線性變換可以用矩陣表示，即矩陣實(shí)際上就表示了線性空間里的向量的運(yùn)動(dòng)。這樣，線性空間就不止是向量的集合，實(shí)際上變成了動(dòng)態(tài)的了，也就是說，線性空間是運(yùn)動(dòng)著的向量的集合。這就是所謂的“空間為體，矩陣為用”的道理。

3 矩陣是線性代數(shù)實(shí)際應(yīng)用的橋梁

前面我提到，許多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為可計(jì)算線性化問題來解決，而這當(dāng)中，矩陣在許多場(chǎng)合充當(dāng)著橋梁的作用。例如(參考文獻(xiàn)[1])：某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣其中aij為工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量。下面我們從線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用和在其他學(xué)科中的應(yīng)用為例來說明這個(gè)問題。

3.1 實(shí)際應(yīng)用

在組合圖論的研究中，對(duì)于一個(gè)圖，它的好多性質(zhì)可以通過計(jì)算得到。在這個(gè)過程中，我們一般根據(jù)圖頂點(diǎn)的鄰接關(guān)系定義一個(gè)鄰接矩陣，這樣，圖和鄰接矩陣一一對(duì)應(yīng)，即任何一個(gè)圖都對(duì)應(yīng)一個(gè)鄰接矩陣，反之，任何一個(gè)矩陣都可以定義一個(gè)圖。有了鄰接矩陣，我們就可以據(jù)此研究一些圖的性質(zhì)，例如圖的同構(gòu)，以及對(duì)稱性等（更多的知識(shí)讀者可以參考文獻(xiàn)[2]）。對(duì)于一些有限點(diǎn)數(shù)的圖，我們可以利用一些計(jì)算機(jī)軟件來計(jì)算許多圖的性質(zhì)，例如圖的自同構(gòu)群，點(diǎn)穩(wěn)定子等等。常用的這方面的計(jì)算機(jī)軟件有 Matlap,GAP,Maxmal, Nauty等等。

3.2 線性代數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用

我們都知道《線性代數(shù)》與《微積分》的關(guān)系密切，它們之間好多地方可以相互滲透包括方法和內(nèi)容（參考文獻(xiàn)[3]）。而在在數(shù)學(xué)或者工程技術(shù)中，經(jīng)常要研究一階常系數(shù)微分方程組的問題。下面我們引用文獻(xiàn)[4]中的一個(gè)例子來說明我們的問題。

例 求解微分方程組初值問題

則微分方程組可以寫成如下矩陣的形式：

總結(jié)，《線性代數(shù)》歷來以抽象著稱，是理工科學(xué)生非常頭疼的科目。矩陣是《線性代數(shù)》的重要內(nèi)容，如果教學(xué)過程中能從矩陣出發(fā)，以矩陣來系統(tǒng)整個(gè)教學(xué)內(nèi)容，一方面，可以讓學(xué)生們跳出原來的抽象的模式，讓同學(xué)們有的放矢的去學(xué)習(xí)，而且邊學(xué)邊用，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)也鍛煉提高了發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，從而能夠激起學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情，達(dá)到教學(xué)改革的目的。另一方面，可以還原矩陣的本來面目，有助于更深入的理解矩陣以及它的應(yīng)用。

［1］徐明曜.有限群導(dǎo)引：上、下[M].科學(xué)出版社，1999.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

［3］米永生.線性代數(shù)與微積分學(xué)問題與解法的滲透[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007(2)23.

［4］徐仲，等.矩陣論簡(jiǎn)明教程[M].2版.科學(xué)出版社，2005.