時(shí)間序列模型在查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)降雨量預(yù)測(cè)中應(yīng)用

劉 楊，徐淑琴，董麗麗，王云鶴

(1.東北農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與建筑學(xué)院哈爾濱150030;2.中國(guó)農(nóng)業(yè)科學(xué)院農(nóng)田灌溉研究所，河南新鄉(xiāng)453003)

降水是自然界水循環(huán)的一個(gè)環(huán)節(jié)，如能有效干預(yù)降水，對(duì)于防洪抗旱，指導(dǎo)生產(chǎn)都是有益處的。到目前為止，有多種方法對(duì)降雨量進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，時(shí)間序列分析是其中的一種，對(duì)時(shí)間序列的研究起源于Yule(1927)［1］，他提出建立自回歸(AR)模型;Walker(1931)［2］在AR模型啟發(fā)下，建立了滑動(dòng)平均(MA)模型和自回歸滑動(dòng)平均(ARMA)混合模型，初步奠定了時(shí)間序列分析方法的基礎(chǔ);Box和Jenkins (1970)［3］提出了一套比較完善的建模理論，使時(shí)間序列方法迅速發(fā)展起來(lái)。本文將采用時(shí)間序列分析方法對(duì)查哈陽(yáng)地區(qū)1956—2008年的作物生育期月降雨量進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，探求該地區(qū)的作物生育期的降雨量變化規(guī)律，為合理制定灌溉制度，節(jié)約用水，為當(dāng)?shù)氐乃Y源可持續(xù)發(fā)展具有重要的深遠(yuǎn)的意義。

1 時(shí)間序列模型基本原理

1.1 模型的構(gòu)建

降雨量時(shí)間序列模型可由下列形式疊加表示為:

式中:Ht為降雨量;ft為趨勢(shì)變化項(xiàng);pt為周期變化項(xiàng);xt為隨機(jī)干擾項(xiàng)。

1.2 時(shí)間序列模型各分量的確定

1.2.1 趨勢(shì)變化項(xiàng)的確定

趨勢(shì)項(xiàng)f(t)表示為:

對(duì)于(2)式可以采用回歸分析的方法求出系數(shù)c0，c1，c2，…ck和階數(shù)k，具體求解方法可借用Excel軟件中現(xiàn)成的回歸分析模板來(lái)實(shí)現(xiàn)［4］。為檢驗(yàn)擬合結(jié)果，需要計(jì)算趨勢(shì)曲線擬合的相關(guān)系數(shù)R，若無(wú)最佳擬合函數(shù)則認(rèn)為無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)或趨勢(shì)項(xiàng)不顯著［5］。

1.2.2 周期變化項(xiàng)的確定

趨勢(shì)函數(shù)確定后，再對(duì)扣除趨勢(shì)分量后的部分Yt進(jìn)行周期項(xiàng)分析，對(duì)周期項(xiàng)采用諧波分析方法［6，7］分析提取。對(duì)序列Yt，可用L個(gè)波疊加的形式表示為:

式中:L為諧波個(gè)數(shù)，取n/2的整數(shù)部分;k為諧波序號(hào)，k=1，2，…，L;ak，bk為傅立葉系數(shù)，其計(jì)算式為:

1.2.3 隨機(jī)干擾項(xiàng)的確定

消除了趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)后，得到隨機(jī)項(xiàng)時(shí)間序列，對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)成分x(t)，我們可以用線性平穩(wěn)隨機(jī)模型來(lái)表示它的統(tǒng)計(jì)特征，可以考慮建立AR(p)模型［8］。一般自回歸模型表示為:

式中:p為模型階數(shù)，求解方法是對(duì)偏相關(guān)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，采用AIC準(zhǔn)則［6－7］確定。φi為模型自回歸系數(shù)，i=0，1，2，…，p。φi可采用尤爾－沃爾克估計(jì)法，應(yīng)用MATLAB求解。

1.3 時(shí)間序列模型檢驗(yàn)［9］

式中:μ為均值，求出ε1，ε2，ε3，...εn，計(jì)算其自相關(guān)系數(shù)r1(ε)，r2(ε)，r3(ε)，...rk(ε)。通過(guò)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:(ε)則Q漸近服從自由度(m－p－q)的x2分布。若Q＜x2(0.05)，則εt為相互獨(dú)立的假定可以接受。

2 時(shí)間序列模型的實(shí)例應(yīng)用

查哈陽(yáng)灌區(qū)始建于1939年，是我國(guó)東北地區(qū)四大灌區(qū)之一，根據(jù)查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)1956—2008年每年的作物生育期(5—9月)降雨量觀測(cè)資料，對(duì)該地區(qū)降雨量變化進(jìn)行模擬，并預(yù)測(cè)未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)農(nóng)場(chǎng)合理開發(fā)利用水資源具有重要的意義。查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)1956—2008年作物生育期的月降雨量變化情況如圖1所示。

2.1 建立趨勢(shì)項(xiàng)模型

根據(jù)上述建模方法，利用Excel軟件中現(xiàn)成的回歸分析模板來(lái)實(shí)現(xiàn)，趨勢(shì)項(xiàng)模型為:

f(x)=－0.0001t2+0.0221t+82.813 R=0.02

2.2 建立周期項(xiàng)模型

經(jīng)對(duì)各個(gè)諧波方差檢驗(yàn)，達(dá)到顯著水平的諧波只有1，112號(hào)。各諧波方差貢獻(xiàn)率分別為30.92%和3.24%，其F統(tǒng)計(jì)量分別為58.6450與4.3882，均大于Fα=3.05，達(dá)到顯著水平。故提取第1、112個(gè)諧波建立周期項(xiàng)模型:周期項(xiàng)變化圖形見圖2所示。

圖1 1956—2008年查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)月降雨量變化曲線圖

圖2 1956—2008年查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)月降雨量周期項(xiàng)變化曲線圖

2.3 建立隨機(jī)項(xiàng)模型

2.3.1 x(t)正態(tài)性檢驗(yàn)［9－11］

2.3.2 根據(jù)偏相關(guān)分析確定模型階數(shù)

根據(jù)偏相關(guān)圖初步定AR模型階數(shù)p=14，選定k=3，5，14，利用AIC準(zhǔn)則進(jìn)一步識(shí)別模型階數(shù)是否合適。AIC(13) =2104.3;AIC(14)=2101.8;AIC(15)=2103;根據(jù)AIC準(zhǔn)則確定模型階數(shù)p=14為最好。

2.3.3 AR模型檢驗(yàn)

主要檢驗(yàn)殘差ε項(xiàng)是否獨(dú)立。采用自相關(guān)系數(shù)綜合檢驗(yàn)法，經(jīng)過(guò)計(jì)算，統(tǒng)計(jì)量265，顯著水平 α=0.05時(shí)，查 χ2表得，故εt是相互獨(dú)立的假定可以接受。

獨(dú)立隨機(jī)序列εt的正態(tài)性檢驗(yàn):Cs(ε)=1.126，方差=0.5574×103，均值為－0.1069。該序列為εt～(0，0.1489)的正態(tài)分布。

因此，隨機(jī)項(xiàng)模型:x(t)=D(t)+ε(t)=0.1336xt－3+ 0.2136xt－5+0.1520xt－14+ε(t)εt～(0，0.1489)，隨機(jī)變化項(xiàng)圖形見圖3。

2.4 模型組合

將趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng)疊加，就得到降雨量變化時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，即

3 模型擬合及預(yù)測(cè)

應(yīng)用時(shí)間序列模型對(duì)查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)1956—2008年作物生育期的月降雨量序列進(jìn)行擬合，見圖4所示，從圖4可以看出，建立的降雨量時(shí)間序列模型擬合效果較好。計(jì)算模型的平均相對(duì)誤差為2.35%，后驗(yàn)差比值C=0.0235，小誤差頻率p=1，擬合準(zhǔn)確率1，滿足精度要求，該模型可應(yīng)用于預(yù)報(bào)該地區(qū)未來(lái)降雨量。運(yùn)用該模型預(yù)測(cè)未來(lái)3 a(2009—2011)中5—9月的月降雨量，預(yù)測(cè)曲線見圖5所示。

4 結(jié)論

1)選擇53 a的查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)月降雨量觀測(cè)資料進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)序列趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)、隨機(jī)項(xiàng)的識(shí)別和提取，建立降雨預(yù)測(cè)模型。從擬合曲線圖形上可以看出資料的序列越長(zhǎng)，建立的模型其代表性也就越好，預(yù)報(bào)精度也越高，是一種很好的模擬預(yù)測(cè)模型，該模型能夠反映該地區(qū)降雨量變化規(guī)律，對(duì)于預(yù)測(cè)未來(lái)年份降雨的豐枯狀況、水資源量的大小以及洪澇等方面都有重要的意義。同樣也為評(píng)價(jià)當(dāng)?shù)厮Y源利用效率提供資料，為管理和規(guī)劃當(dāng)?shù)氐乃Y源提供了可靠的依據(jù)。

2)在模型的應(yīng)用過(guò)程中，確定有效諧波數(shù)L和自回歸模型階數(shù)P是建模的關(guān)鍵，應(yīng)經(jīng)反復(fù)計(jì)算，選擇使模擬殘差達(dá)到最小的L和P。

圖3 1956—2008年查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)月降雨量隨機(jī)變化項(xiàng)圖

圖4 1956—2008年月降雨量時(shí)間序列模型擬合曲線

圖5 查哈陽(yáng)農(nóng)場(chǎng)未來(lái)3 a 5—9月月降雨量預(yù)測(cè)曲線

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