淺談立體幾何課本例題在高考中的應(yīng)用

縱觀近幾年高考立體幾何題，不難發(fā)現(xiàn)基本遵循了“穩(wěn)定大局、控制難度、改革探索”的指導(dǎo)思想和原則，難度有所降低，更著重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握能力，試題大多源于課本習(xí)題。課本習(xí)題是教材的重要組成部分,它蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)功能和思維模式,運(yùn)用這些典型題目解答問(wèn)題,具有巧妙、簡(jiǎn)捷、明快的特點(diǎn)。本文以課本數(shù)學(xué)必修2《立體幾何》直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系習(xí)題為例,說(shuō)明課本習(xí)題在高考中的應(yīng)用。

我們先從課本例題入手，梳理立體幾何高考相關(guān)考查知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而分析課本例題在高考中的應(yīng)用，為同學(xué)們指明高考立體幾何考查的方向。

【例1】（蘇教版課本P31頁(yè)）已知E、F分別是三棱錐ABCD的側(cè)棱AB,AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD.

這道例題主要考查了學(xué)生對(duì)于直線與平面位置關(guān)系的判定，以及空間想象能力和推理論證能力。

2008年、2009年、2011年的高考立體幾何題的第1問(wèn)全是基于本例題出題，同學(xué)們只要對(duì)課本例題了解和掌握，對(duì)于此類高考題的解答將是駕輕就熟的。

【例2】（蘇教版課本P44頁(yè)）在正方體ABCDA′B′C′D′中，求證：平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.

這道例題主要考查了學(xué)生對(duì)于平面與平面位置關(guān)系的判定，2008年、2009年、2011年的高考立體幾何題的第2問(wèn)均出自于本例題，面面垂直的判定看似簡(jiǎn)單，實(shí)則對(duì)于學(xué)生識(shí)圖、將概念、性質(zhì)靈活應(yīng)用于圖形以及對(duì)圖形的處理能力有相當(dāng)高的要求，包括會(huì)把非標(biāo)準(zhǔn)圖形轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)圖形，對(duì)圖形的割、補(bǔ)、折、展等高考長(zhǎng)考不衰的內(nèi)容。

下面就2008年、2009年、2011年高考立體幾何題進(jìn)行分析和解答。

例題一（2008年江蘇高考）如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，

求證:（1） 直線EF∥面ACD;

（2） 面EFC⊥面BCD.

分析第1問(wèn)要證明直線EF∥面ACD，只要證明直線EF和面ACD內(nèi)的直線AD平行即可。

第2問(wèn)要證明面EFC⊥面BCD，只要證明線面垂直。由題目可知，只要證明直線BD⊥面EFC即可。

解（1） E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)軪F∥AD

軪F∥AD

AD濟(jì)鍭CD

EFっ鍭CD軪F∥面ACD.

（2） EF∥AD

AD⊥BD軪F⊥BD

CD=CB

F為BD的中點(diǎn)軨F⊥BD

EF∩CF=F

BD⊥面EFC，又BD濟(jì)鍮CD，

所以面EFC⊥面BCD.

例題二（2009年江蘇高考）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E,F分別是A1B,A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D⊥B1C.

求證：（1） EF∥平面ABC;

（2） 平面A1FD⊥平面BB1C1C.

分析第1問(wèn)重點(diǎn)考查的是直線和平面的位置關(guān)系，由線線平行，得到線面平行。目標(biāo)很明確，對(duì)于考生來(lái)講，只要掌握最基本的判定定理，即可順利完成證明。

第2問(wèn)重點(diǎn)考查的是平面和平面的位置關(guān)系，要證明面面垂直，只要證明線面垂直，根據(jù)判定定理即可得到證明。

解（1） 因?yàn)镋,F分別是A1B,A1C的中點(diǎn)，所以EF∥BC，又EFっ鍭BC，BC濟(jì)鍭BC，所以EF∥平面ABC.

（2） 因?yàn)橹比庵鵄BCA1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D濟(jì)鍭1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

牛刀小試

1. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E,F分別是AD,DD1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面A1BC1.

2. 如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.求證：平面AEC⊥平面PDB.

【參考答案】

1. 證明：連接AD1，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，可知AB∥D1C1,AB=D1C1，則四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以AD1∥BC1.因?yàn)镋,F分別是AD,DD1的中點(diǎn)，所以AD1∥EF，則EF∥BC1，又EFっ鍭1BC1，BC1濟(jì)鍭1BC1，則EF∥平面A1BC1.

2. 證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD,AC濟(jì)鍭BCD,所以AC⊥PD.

又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AC⊥BD.從而可得AC⊥面PDB，又AC濟(jì)鍭EC,所以平面AEC⊥平面PDB.

(作者：蔡飛，揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué))