二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用舉例

郭麗

二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生在初中階段已經(jīng)掌握了一部分內(nèi)容，但是初中時(shí)期學(xué)生接受知識(shí)的能力有限，學(xué)習(xí)二次函數(shù)知識(shí)的方法很機(jī)械，不能從本質(zhì)上加以理解和吸收.而進(jìn)入高中階段后，雖然這部分知識(shí)沒有做具體的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，但是二次函數(shù)的應(yīng)用卻始終貫穿其中，尤其是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)后，進(jìn)入到高三總復(fù)習(xí)的時(shí)候，這部分知識(shí)更是顯得尤為重要，因此，對(duì)于二次函數(shù)的知識(shí)高中階段需要作進(jìn)一步地深入研究.

對(duì)于這部分知識(shí)的復(fù)習(xí)，不能簡單地識(shí)記，可以結(jié)合二次函數(shù)的圖像來深入研究其性質(zhì)，以便靈活地應(yīng)用這些相關(guān)性質(zhì).

一、從函數(shù)概念本身來深入了解二次函數(shù)的意義

初中階段已經(jīng)介紹了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)了映射的基礎(chǔ)上，接著重新學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是以二次函數(shù)為例來加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A中的元素x對(duì)應(yīng)，記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0).這里y=ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的像.從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

（1）已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+3).

這里不能把f(x+3)理解為x=x+3時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的對(duì)應(yīng)函數(shù)值.

（2）設(shè)f(x+1)=x2－4x+1,求f(x).

這個(gè)問題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的像是x2－4x+1，求定義域中元素x的像，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則.

二、利用二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式

掌握一元二次不等式的解法是對(duì)高中學(xué)生最基本的運(yùn)算要求.對(duì)于這部分知識(shí)的講解，利用二次函數(shù)的圖像最直觀、最清晰，學(xué)生也容易從圖像中發(fā)現(xiàn)一元二次不等式和二次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，易于掌握，便于理解.

高中階段涉及一元二次不等式的解法的應(yīng)用很多，例如：

(1) 在區(qū)間［-1,4］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,求（x+2）(x-1)≤0的概率.

(2) 求函數(shù)的定義域：y=x2-2x.

(3) 求函數(shù)f(x)=x3-3x2-10的單調(diào)區(qū)間.

三、利用二次函數(shù)的單調(diào)性求值域及最值

在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間－∞，－b[]2a及－b[]2a，+∞上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性.

例如：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性.

（1）y=x2+2|x－1|－1.

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系，掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像.

（2）設(shè)f(x)=x2－2x－1在區(qū)間［t,t+1］上的最小值是g(t).求g(t)并畫出y=g(t)的圖像.

解 f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時(shí)取最小值－2.

當(dāng)1∈［t,t+1］即0≤t≤1，g(t)=－2；

當(dāng)t＞1時(shí)，g(t)=f(t)=t2－2t－1；

當(dāng)t＜0時(shí)，g(t)=f(t+1)=t2－2.

g(t)=t2－2,(t<0)，

-2，(0≤t≤1)，

t2－2t－1,(t>1).

四、二次函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用

例如：設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程ゝ(x)－獂=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0

(1)當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，證明x

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明﹛0<獂[]2.

解題思路 本題要證明的是x

二次函數(shù)是貫穿初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn),也是歷年高考的熱點(diǎn),更是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).在初、高中階段,教材對(duì)其處理方式是不同的.初中階段,教材是在明處讓學(xué)生在全體實(shí)數(shù)上感知二次函數(shù)的整體性態(tài);而高中階段,教材則在暗處用后繼知識(shí)不斷深化對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用.因此,在高中階段,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生打破思維定式,用后繼知識(shí)不斷充實(shí)對(duì)其新的認(rèn)識(shí)和理解,化暗為明,讓其豐富的內(nèi)涵得到充分的展現(xiàn)和深化二次函數(shù).