夏宏明

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，它用聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)研究、描述客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系，形成變量數(shù)學(xué)的一大重要基礎(chǔ)和分支.函數(shù)思想以函數(shù)知識(shí)做基石，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，使函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用得到極大的擴(kuò)展，豐富并優(yōu)化了數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，給數(shù)學(xué)解題帶來(lái)一股很強(qiáng)的創(chuàng)新能力，因此越來(lái)越成為數(shù)學(xué)高考長(zhǎng)考不衰的熱點(diǎn).

函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切.解方程f(x)＝0就是求函數(shù)y＝f(x)當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)自變量x的值.求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)y＝f(x)與﹜=猤(x)的圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù).合參數(shù)的方程f(x,y,t)=0和參數(shù)方程更是具有函數(shù)因素，屬于能隨參數(shù)的變化而變化的動(dòng)態(tài)方程，它所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)不是一些孤立的點(diǎn)，而是具有某種共性的幾何曲線.正是這些聯(lián)系，促成了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的互化互換，豐富了數(shù)學(xué)解題的思想寶庫(kù).

在數(shù)學(xué)各分支形形色色的數(shù)學(xué)問(wèn)題或綜合題中，將非函數(shù)問(wèn)題的條件或結(jié)論，通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)造某些函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思想和方法使原問(wèn)題獲解，是函數(shù)思想解題的更高層次的體現(xiàn)，構(gòu)造時(shí)，要深入審題，充分發(fā)掘題設(shè)中可類(lèi)比、聯(lián)想的因素，促進(jìn)思維遷移.以下是筆者對(duì)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的舉例.

例1 a為何值時(shí)，不等式a2＋2a－玸in2x－2a玞os玿＞2對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立.

分析 易想到分離變量a和x，轉(zhuǎn)化為a的二次函數(shù)的最值解決，但實(shí)際解題中卻無(wú)法直接從原不等式中分離出參數(shù)a，深入審題知思維屏障產(chǎn)生于玸in2x與玞os玿的不和諧性.以此為突破口，利用整體思想、換元，將原不等式先轉(zhuǎn)換為玞os玿的二次不等式，再利用新構(gòu)造的函數(shù)關(guān)系求解.

略解 令t=玞os玿，則玸in2x＝1－t2，t∈［－1,1］,

不等式化為t2－2at＋a2＋2a－3＞0在t∈［－1,1］上恒成立.

設(shè)f(t)=t2－2at＋a2＋2a－3=(t－a）2＋2a－3.

當(dāng)゛≤－1時(shí)，f(t)┆玬in＝f(－1)=a2＋4a－2；

當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，ゝ(t)┆玬in＝f(a)＝2a－3；

當(dāng)a≥1時(shí)，f(t)┆玬in=f(1)=a2－2.

原問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)t∈［－1，1］時(shí)f(t)┆玬in＞0.即所求的a值為下列不等式組的解.

(1)a≤-1,

a2+4a-2>0或(2)-1

2a-3>0

或(3)a>1,

a2-2>0.

依次解得a＜－2－6或a≠0或a＞2，故所求a的取值范圍是a＜－2－6或a>2.

點(diǎn)撥解疑 ①不等式恒成立問(wèn)題的基本解法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，利用函數(shù)性質(zhì)解決，但本題無(wú)法分離參數(shù)，不能轉(zhuǎn)化為例2中的較簡(jiǎn)單情形，只好對(duì)含參數(shù)a的二次函數(shù)最值依對(duì)稱(chēng)軸位置分情況討論，利用函數(shù)性質(zhì)：f(t)＞0，對(duì)t∈［－1,1］恒成立等價(jià)于f(t)┆玬in＞0，t∈［－1，1］,使問(wèn)題解決.

②在解題中綜合使用了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想.分類(lèi)討論思想和化歸思想及換元法，對(duì)思維品質(zhì)要求較高.

例2 如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離.

分析 距離的概念常由最小值定義，故可設(shè)法將點(diǎn)B到平面的距離通過(guò)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，建立一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值解決.

解 連接AC,BD,EF,FG，分別交AC于H,O.因ABCD為正方形，故BD⊥AC，由已知易得BD與平面GEF內(nèi)的直線GH是異面直線，由此可將點(diǎn)B到平面GEF的距離轉(zhuǎn)化為兩異面直線BD,GH的距離，建立兩異面直線上任意兩點(diǎn)距離的一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式.

在GH上任取一點(diǎn)K，作KL⊥AC，垂足為L(zhǎng)，連接KO，設(shè)KL＝x.

利用玆t△KLH∽玆t△GCH，可得LO2=32[]2x-22.

∴KO2=獂2+32[]2x-22=11[]2x-6[]112+4[]11,(其中0≤x≤2).

所以KO的最小值為211[]11，即點(diǎn)B到平面EFC的距離.

點(diǎn)撥解疑 函數(shù)最值法求距離是函數(shù)思想應(yīng)用的較高層次，解題的關(guān)鍵是在于選取變?cè)獦?gòu)造恰當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)，應(yīng)注意積累有關(guān)技巧.

總之，函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多.函數(shù)思想即將所研究的問(wèn)題借助建立函數(shù)關(guān)系式抑或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題；方程思想即將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決.