一元二次方程求根公式的推導(dǎo)及其教育價(jià)值

王子霞

在新課程教學(xué)中，教師必須改變那種完全依賴教材、照本宣科式的教學(xué)方法，變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地“學(xué)”. 教師創(chuàng)造性地“教”應(yīng)充分體現(xiàn)在精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程上，教學(xué)過(guò)程的精心設(shè)計(jì)是以對(duì)課標(biāo)和教材的深入研究為前提的，它凝聚著教師的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)感知、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)加工. 對(duì)課標(biāo)和教材研究得越深，設(shè)計(jì)出來(lái)的教學(xué)過(guò)程就越能取得良好的教學(xué)效果.

就一元二次方程求根公式的內(nèi)容來(lái)說(shuō)，一些教師往往只停留在對(duì)教材表面的理解和是否成為考點(diǎn)上，重視的是公式的運(yùn)用，忽視公式的推導(dǎo)和公式的教育價(jià)值. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確規(guī)定，要理解配方法，掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo). 為什么提出這樣的要求，教師需要研究和思考.

一、推導(dǎo)一元二次方程求根公式的必要性

因?yàn)樗械囊辉畏匠潭伎梢杂门浞椒ㄇ蠼?，所以這是一個(gè)通法，有規(guī)律可循. 如果我們不抽象、概括出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，那么每次都要做重復(fù)性的工作. 抽象、概括正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和方法.

二、推導(dǎo)求根公式的教育價(jià)值是突出的

１． 在思想方法上，求根公式的推導(dǎo)運(yùn)用了配方法，其基本思想是降次，通過(guò)配方法轉(zhuǎn)化為可直接開平方的形式，推導(dǎo)過(guò)程中還涉及分類討論的思想. 數(shù)學(xué)思想方法凝聚著數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，盡管學(xué)生走上社會(huì)后，數(shù)學(xué)知識(shí)似乎漸漸淡忘了，但留存的應(yīng)是那種銘刻在心頭的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方式.

２． 在解法上是多樣的． 對(duì)于一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ 0（ａ ≠ ０）的求根公式的推導(dǎo)，人教版教材采用了二次項(xiàng)系數(shù)化為１再配方的方法.

因?yàn)椋?≠ ０，所以可以把方程的兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)ａ，

得ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ ＝ ０，移項(xiàng)，得ｘ２ ＋ ■ｘ ＝ －■，

配方，得x2 + ■x + （■）2 = -■ + （■）2，

即（x + ■）2 = ■.∵ a ≠0，∴ 4a2 > 0.

當(dāng)ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０時(shí)，得

ｘ ＋ ■ ＝ ±■， ①

即x + ■ = ±■， ②

∴ x = -■±■，即x = ■．

首先領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，將二次項(xiàng)系數(shù)化為１，學(xué)生容易想到，而且易于配方.再深入分析可知，系數(shù)化為１后，易于發(fā)現(xiàn)a，b，c不是獨(dú)立的變量. 再進(jìn)行難點(diǎn)分析，公式推導(dǎo)過(guò)程中有兩個(gè)難點(diǎn)：難點(diǎn)１是對(duì)b2 - 4ac非負(fù)的認(rèn)識(shí)，需要分類；難點(diǎn)２是由①到②，化簡(jiǎn)■ = 2|a|出現(xiàn)“±”號(hào)問(wèn)題. 難點(diǎn)１是不可回避的，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)用字母表示數(shù)的理解，而對(duì)于難點(diǎn)２ ，也是不可回避的嗎？這個(gè)問(wèn)題值得我們深入思考.

思考１ 難點(diǎn)２ 是化簡(jiǎn)二次根式產(chǎn)生的，于是我們想到能否使得開方后等號(hào)的右邊是最簡(jiǎn)二次根式. 事實(shí)上，當(dāng)b2 - 4ac ≥ 0時(shí)，b2 - 4ac = （■）2，于是（x + ■）2 = ■ = ■ = （■）2，從而x + ■ = ±■. 這樣就達(dá)到了回避難點(diǎn)２的目的. 這個(gè)方法很巧妙，但我們?cè)谀嬗枚胃叫再|(zhì)（■）2 ＝ ａ（ａ ≥ ０）的同時(shí)，也會(huì)給一部分學(xué)生帶來(lái)困難，因而我們又有了新的思考.

思考２ 難點(diǎn)２是化簡(jiǎn)分母■產(chǎn)生的，而字母a是由于配方產(chǎn)生的，那么能否設(shè)法在配方時(shí)不出現(xiàn)字母呢？這是一個(gè)很好的創(chuàng)意，于是想到了要使二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)椋幔玻?/p>

因?yàn)椋?≠ ０，方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）兩邊同乘以a，得a2x2 + abx + ac = 0，

配方，得ａ２ｘ２ ＋ ａｂｘ ＋ （■）２ ＝ （■）２ － ａｃ，

即（ａｘ ＋ ■）2 = ■.

當(dāng)b2 - 4ac ≥ 0時(shí)，有ax + ■ = ■，

∴ ax =■. ∵ ａ ≠ ０，∴ x =■.

思考３ 欣賞之余，再認(rèn)真審視一下解題過(guò)程，這個(gè)解法似乎并不完美，配方時(shí)出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，因而再次產(chǎn)生了改進(jìn)的念頭，于是又有了下面漂亮的解法：

對(duì)于ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ｃ ＝ ０（ａ≠０），

∵ ａ ≠ ０，方程兩邊同乘以４ａ，得４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

配方，得（４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ｂ２） － ｂ２ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

即（２ａｘ ＋ ｂ）２ ＝ ｂ２ － ４ａｃ，

……

比較上述解法，思考３的解法明顯優(yōu)于其他方法. 它的優(yōu)點(diǎn)在于解法簡(jiǎn)潔，并且揭示了判別式是一個(gè)完全平方式. 上述三種思考解法的獨(dú)創(chuàng)性正是數(shù)學(xué)學(xué)科所要培養(yǎng)的學(xué)生的創(chuàng)造性思維，只有創(chuàng)造型的教師才能培養(yǎng)出創(chuàng)造型的學(xué)生！

三、公式自身的教育價(jià)值是多重的

１． 從運(yùn)算的角度看，公式包容了初中階段所學(xué)過(guò)的全部六種代數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方，體現(xiàn)了公式的和諧統(tǒng)一. 各級(jí)運(yùn)算的順序自動(dòng)決定了一元二次方程的解題順序. 開平方運(yùn)算不是總能進(jìn)行的，要根據(jù)判別式Δ = b2 - 4ac的符號(hào)來(lái)判斷方程是否有實(shí)數(shù)根，如果有實(shí)數(shù)根，則由其三個(gè)系數(shù)來(lái)確定. 通過(guò)運(yùn)算可以完美地解決根的存在性、根的個(gè)數(shù)、根的求法三個(gè)問(wèn)題，可以說(shuō)是“萬(wàn)能”求根公式. 它向我們展示了抽象性、一般性和簡(jiǎn)潔性等數(shù)學(xué)的美和魅力.

２． 從方程的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)公式中的三個(gè)量為常數(shù)時(shí)，則它是關(guān)于第四個(gè)量的方程. 比如a，b，c為確定的數(shù)值時(shí)，它便是關(guān)于x的方程. 當(dāng)a，b，c，x中不只有一個(gè)變量時(shí)，若視其中一個(gè)字母為變量，其余的為常數(shù)，則它是關(guān)于這個(gè)變量的一元方程；若視其中兩個(gè)字母為變量，其余的為常數(shù)，則它是關(guān)于這兩個(gè)變量的二元方程.

３． 從基本量的觀點(diǎn)來(lái)看，公式中有四個(gè)基本量，只要知道其中三個(gè)，就可以求出另外一個(gè)． 公式可變形為ｘ ＝ ■. 可見公式中只有三個(gè)獨(dú)立的基本量x，■，■，因此知二可求一，這就是為什么利用兩根之和、兩根之積可求方程的根的原因.

總之，深入鉆研課標(biāo)和教材，充分挖掘教材所蘊(yùn)含的具有創(chuàng)新教育的內(nèi)容，對(duì)教材內(nèi)容做進(jìn)一步地研究和推廣，并提出異于教材中的處理方法，是教師提高自身素質(zhì)和不斷提高創(chuàng)造性教學(xué)能力，合理選擇猜想、討論、變式推廣、多角度思考、批判反思等方法進(jìn)行創(chuàng)新教育的有效途徑.