雷兆鋒

摘要： 周期函數(shù)在定義域內(nèi)的形態(tài)是周期變化的，所以在解決周期函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常利用它的周期性解題.

關(guān)鍵詞： 周期函數(shù)題解應(yīng)用周期性

設(shè)f（x）是定義在某一數(shù)集D上的函數(shù)，若存在一常數(shù)T（T≠0），具有性質(zhì)：（1）?坌x∈D，有x±T∈D;（2）?坌x∈D，有f（x±T）=f（x）.那么稱T為f（x）的一個(gè)周期.如果所有正周期中有一個(gè)最小的，稱它為函數(shù)f（x）的最小正周期.

一、求函數(shù)的周期

引理1：若周期函數(shù)f（x）有最小正周期T，則kf（x）+c（k≠0），1/f（x）也有最小正周期T；函數(shù)f（ax+b）（a≠0）有最小正周期T/|a|.

例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期

分析：將函數(shù)解析式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)式的形式，再求最小正周期.

解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos（x-2x）/cosxsin2x=1/sin2x

函數(shù)y=sinx的最小正周期為2π

函數(shù)y=sin2x的最小正周期為π

函數(shù)y=1/sin2x的最小正周期為π

故函數(shù)y=tgx+ctg2x的最小正周期為π

由例1可知解這類問(wèn)題的一般方法是將解析式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的周期，求所給函數(shù)的周期.

二、求函數(shù)的定義域

引理2：若f（x）有最小正周期T，則f（x）的任何正周期T一定是T的整數(shù)倍.

例2.求函數(shù)y=1/（1+tgx）的定義域

分析：分式有意義的條件是分母不為零，還要注意正切函數(shù)本身要有意義.

解：要使函數(shù)y=1/（1+tgx）有意義，則1+tgx≠0且x≠kπ+π/2（k∈Z）

要使1+tgx≠0即tgx≠-1，

又∵函數(shù)y=tgx的周期是π

∴在（-π/2，π/2）內(nèi)，x≠π/4

∴x≠kπ+π/4（K∈Z）

故函數(shù)y=1/（1+tgx）的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.

因?yàn)橹芷诤瘮?shù)在定義域內(nèi)形態(tài)呈周期變化，所以研究這種函數(shù)時(shí)，不必分析其整個(gè)定義域內(nèi)的情況，而只需在一個(gè)定義域內(nèi)討論特解.

引理3：如果f（x）是g（x）定義在同一個(gè)集合M上的周期函數(shù)，周期分別為T和T，且T/T=a，而a是有理數(shù)，則它們的和、差、積也是周期函數(shù)，且T和T的公倍數(shù)為其一個(gè)周期.

三、求函數(shù)的極值

例3.求函數(shù)y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值

解：設(shè)函數(shù)y=sinx+cosx，y=sinxcosx

∵y=sinx+cosx=cos（x-π/4）

∴y的周期是T=2π

∴當(dāng)x=2kπ+π/4（k∈Z）時(shí)，y有最大值

有∵y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π

∴當(dāng)x=kπ（k∈Z）時(shí)，y有最大值1/2

又∵T與T的公倍數(shù)為2π

由上述定理可知，2π是函數(shù)y=1+y+y的一個(gè)周期，而在［0，2π］內(nèi)，y、y都只有一個(gè)最大值點(diǎn)x=π/4

當(dāng)x=2kπ+π/4（k∈Z）時(shí)，y=1+y+y=（3+2）/2

四、解方程

例4.解方程tg10x+tg2x=0

解:設(shè)y=tg10x，y=tg2x，則他們的最小正周期分別為T=π/10、T=π/2

由上述引理可知，它們的最小公倍數(shù)π/2就是函數(shù)y=tg10x+tg2x的一個(gè)周期.在［0，π/2］內(nèi)，方程無(wú)意義的點(diǎn)的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}

將方程改寫為tg10x=tg（-2x）

10x=k-2x，即x=kπ/12（k∈Z）

當(dāng)k取0，1，2，3，4，5，6時(shí)，x在［0，π/2］上的值分別為0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.

原方程的根是x=nπ/2+kπ（0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z）

五、解不等式

例5.解不等式cos3x+2cosx≤0

解：∵cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx（2cos2x+1）≤0

由cosx=0，得x=kπ+π/2（k∈Z）

由（2cos2x+1）=0得x=kπ±π/3（k∈Z）

又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它們的最小公倍數(shù)2π，故在［0，2π］上，cosx=0的根為π/2，3π/2；（2cos2x+1）=0的根為π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在［0，2π］有6個(gè)根，它們分別為π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集為：

M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}（k∈Z）

從以上幾類可以知道，從三角形的周期性解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助三角形周期性這一特殊性質(zhì)可以解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題并且使之簡(jiǎn)單化，所以當(dāng)我們利用三角形函數(shù)周期性解決這些問(wèn)題時(shí)，前提是必須理解和掌握三角形的周期性.

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