兩類錯誤條件下方差檢驗中樣本容量的確定

郭 文

0 引言

樣本容量是指按照某種規(guī)則從總體中抽取出來的樣本觀察單位的數(shù)目。在抽樣調(diào)查中，樣本容量的研究是一個非常重要的問題,樣本容量直接影響著犯兩類錯誤的概率。在假設(shè)檢驗中，一般討論的是犯第一類錯誤的情況，通常只給出犯第一類錯誤的概率，那么在樣本容量自由選擇的情況下，犯第二類錯誤的概率是無法控制的。而犯第二類錯誤的情形一般在醫(yī)學、風險控制、質(zhì)量控制等領(lǐng)域應用較多。在研究這些領(lǐng)域時，我們希望能同時控制兩類錯誤的概率，那么樣本容量就需要通過計算來確定。目前國內(nèi)外對樣本容量的研究大多是建立在調(diào)查精度和費用控制的基礎(chǔ)上。本文研究樣本容量的角度與之不同，是在控制兩類錯誤的前提下，對方差檢驗中樣本容量進行探討。

1 兩類錯誤的概念

如果把假設(shè)檢驗中構(gòu)造的統(tǒng)計量記為T，把顯著性水平α下確定的拒絕域記為，把接收域記為W，則當T服從正態(tài)分布時，雙側(cè)檢驗的與W如圖1所示。圖中陰影部分為拒絕域，非陰影部分為接受域W。

當原假設(shè)H0為真時，由于樣本的隨機性，仍然有可能以α的概率拒絕原假設(shè)H0,這就是第一類錯誤，簡稱棄真，α為棄真的概率。如圖1，棄真顯然就是H0為真時T落入拒絕域Wˉ的事件，所以

圖1 雙側(cè)檢驗的拒絕域與接收域

當原假設(shè)非真時，我們也仍然有可能接受它，這就是第二類錯誤，簡稱取偽，取偽的概率以β表示。取偽顯然是當H0為非真時，T落入接受域W的事件，所以

P{T ∈ W| H0非真} =β

2 單母體情形下樣本容量的確定

2.1 μ已知

設(shè)隨機樣本(X1,X2,…,Xn)來自正態(tài)總體X～N(μ,σ2)，μ=μ0已知。

對于右側(cè)檢驗，首先建立假設(shè)檢驗：

其次構(gòu)造χ2統(tǒng)計量：

當H0為真時：

當 H1為真時：

根據(jù)定義，有

因此

uα、uβ為標準正態(tài)分布的上α分位點、β分位點。

將式（2）、（3）代入式（1）得：

解得：

同理，可計算出左側(cè)檢驗樣本容量為：

雙側(cè)檢驗時樣本容量為：

2.2 μ未知

設(shè)隨機樣本(X1,X2,…,Xn)來自正態(tài)總體 X～N(μ,σ2)，μ未知。

對于右側(cè)檢驗，首先建立假設(shè)檢驗：

構(gòu)造χ2統(tǒng)計量：

當H0為真時

當H1為真時

因此

同樣，當n充分大時（通常n＞45），有

這里uα、uβ為標準正態(tài)分布的上α分位點、β分位點。

將式（5）、（6）代入式（4）得：

解得

同理，可計算出左側(cè)檢驗樣本容量為：

雙側(cè)檢驗時樣本容量為：

3 雙母體情形下樣本容量的確定

3.1 μ1、μ2已知

設(shè) X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn是分別從服從和分布的兩個母體中抽出的獨立子樣，μ1、μ2已知。

首先建立假設(shè)檢驗：

其次構(gòu)造F統(tǒng)計量：

對于右側(cè)檢驗，建立假設(shè)檢驗：

則

則

當n→∞時，有 Fα(m,∞)=

又因為

因此

同理

所以，當n→∞時，有

解得：

同理，可計算出左側(cè)檢驗時樣本容量為：

雙側(cè)檢驗時樣本容量為：

3.2 μ1、μ2未知

設(shè) X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn是分別從服從和分布的兩個母體中抽出的獨立子樣，μ1、μ2未知。

首先建立假設(shè)檢驗：

其次構(gòu)造F統(tǒng)計量：

當H0成立時，F(xiàn)～F(m-1,n-1)。

對于右側(cè)檢驗，建立假設(shè)檢驗：

則

則

當n→∞時，有 Fα(m-1,∞)=

又因為

因此

同理

所以，當n→∞時，有

解得：

同理，可計算出左側(cè)檢驗樣本容量為：

雙側(cè)檢驗時樣本容量為：

4 結(jié)論

以上我們對方差檢驗中單母體及雙母體方差已知、方差未知情形下兩類錯誤與樣本容量的關(guān)系進行了探討，并在控制兩類錯誤的條件下，給出了確定樣本容量的公式。從上面的討論可以看出，方差檢驗中樣本容量的確定是件比較復雜的事情，必須給予足夠的重視。在實際操作中，樣本容量的確定既要考慮精度要求，又要考慮經(jīng)費預算、可操作性等，必須通過綜合考慮，以達到一個最優(yōu)樣本容量的選擇。

[1] 陳國銘，李世英.統(tǒng)計質(zhì)量控制：估計和檢驗[M].北京：中國石化出版社，北京,1995.

[2] 陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2009.

[3] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 馮士雍，施錫銓.抽樣調(diào)查——理論、方法與實踐[M].上海：上?？茖W技術(shù)出版社，1994.

[5] W.G.Cochran.Sampling Techniques[M].Chichester:John Wiley&Sons，1997.