張一安 實(shí) 徐照宇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150001)

合理有效地測(cè)度資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)具有重要的理論與實(shí)踐意義。在Artzner等人提出的一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度公理體系中，風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度應(yīng)滿足單調(diào)性、正齊次性、平移不變性以及次可加性等條件。一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度被提出后，得到了廣泛認(rèn)可，許多學(xué)者也相繼從不同角度對(duì)一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度展開了各種拓展性研究。Follmer等人放寬了一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中的次可加性要求，提出了凸風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。Piera用平移遞減性和規(guī)模遞減性代替了一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中的平移不變性和正齊次性條件，進(jìn)一步提出了弱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，相對(duì)于一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，弱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在理論假設(shè)上相對(duì)寬松。Rockafellar等人提出了一般離差風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，并指出既定形式的一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在一定條件下都有與之對(duì)應(yīng)的一般離差風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度形式。張昇平等人在Artzner和Rockafellar等人研究的基礎(chǔ)上，討論了更多的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度屬性，提出了類一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。

上述研究從不同角度豐富和深化了風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的相關(guān)理論，但對(duì)于投資者來說，現(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度公理體系仍存在如下不足:(1)并未充分反映出投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。在現(xiàn)有的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度公理體系下，分散化的投資策略要優(yōu)于非分散化的投資策略。然而Statman等人的研究卻表明現(xiàn)實(shí)世界中的投資活動(dòng)并不完全是分散化的，大量投資者采取的投資策略并沒有達(dá)到理論上應(yīng)有的分散化程度。(2)只考慮單一的目標(biāo)收益參考點(diǎn)。Shefrin等人指出投資者實(shí)際構(gòu)建的資產(chǎn)組合是具有層次性的，分配在各層的資產(chǎn)都與不同的目標(biāo)收益參考點(diǎn)和風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度相聯(lián)系?，F(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度公理體系只考慮存在單一目標(biāo)收益參考點(diǎn)的情形，難以完整地反映投資者的多層次風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。

為了彌補(bǔ)上述不足，本文提出一種新的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度——非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，這一風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在多參考點(diǎn)的情形下考慮了投資者對(duì)收益雙向波動(dòng)的不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)現(xiàn)有風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度公理體系的補(bǔ)充與完善。本文進(jìn)一步給出了一類非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的函數(shù)形式，構(gòu)建了相應(yīng)的投資組合優(yōu)化模型，最后通過實(shí)證研究說明新的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在實(shí)踐中的可行性與合理性。

一、非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的提出

記τi為投資者的第i個(gè)目標(biāo)收益參考點(diǎn)，其中i=1，2，…，M，而所有參考點(diǎn)組成的參考點(diǎn)向量則記為 T=(τ1，τ2，…，τM)。對(duì)于單獨(dú)的 τi來說，資產(chǎn) X 的風(fēng)險(xiǎn)為 ρ(X，τi)，記(X，τi)=ρ(min(X，τi)，τi)，表示小于 τi的 X 分布所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，ρ+(X，τi)= ρ(max(X，τi)，τi)則表示大于τi的X分布所帶來的風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于所有的參考點(diǎn)來說，資產(chǎn)X的總體風(fēng)險(xiǎn)是ρ(X，τi)的函數(shù)，記為 ρ(X，T)=G(ρ(X，τi)，…，ρ(X，τM))。此外，記ρ-(X，T)=G(ρ-(X，τ1)，…，ρ-(X，τM))，ρ+(X，T)=G(ρ+(X，τ1)，…，ρ+(X，τM))，分別對(duì)應(yīng)于只考慮 ρ-(X，τi)和ρ+(X，τi)時(shí)的總體風(fēng)險(xiǎn)。

定義1 若風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度ρ滿足如下的條件(M)、(ZR)、(TR)、(LCV)、(LCC)和(IC)，則稱ρ為非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。

(M)單調(diào)性(Monotonicity):ρ(X，T)≤ρ(Y，T)，?X≥Y;ρ(X，τi)≤ρ(X，τi+ δ)，?δ≥0;ρ(X，T)≤ρ(X，T+ Δ)，Δ =(δ1，δ2，…，δM)，δi≥0，i=1，2，…，M

(ZR)零風(fēng)險(xiǎn)性(Zero Risk):ρ(δ，δ)=0，δ∈R

(TR)平移遞減性(Translation Reduction):ρ(X+ δ，T)≤ρ(X，T)+ ρ(δ，0)，?δ≥0

(LCV)局部凸性(Local Convexity):ρ-(λX+(1- λ)Y，T)≤λρ-(X，T)+(1- λ)ρ-(Y，T)，0≤λ≤1

(LCC)局部凹性(Local Concavity):ρ+(λX+(1- λ)Y，T)≥λρ+(X，T)+(1- λ)ρ+(Y，T)，0≤λ≤1

(IC)不滅性(Incorruptibility):ρ(X+ δ，τi+δ)= ρ(X，τi)，δ∈R

上述條件的經(jīng)濟(jì)意義如下:

(M)單調(diào)性:一方面，在投資目標(biāo)收益相同的情況下，若一項(xiàng)資產(chǎn)X優(yōu)于另一項(xiàng)資產(chǎn)Y，即前者隨機(jī)回報(bào)的各分量大于或等于后者隨機(jī)回報(bào)對(duì)應(yīng)的分量，則前者的風(fēng)險(xiǎn)不大于后者。另一方面，同一資產(chǎn)對(duì)于不同的目標(biāo)收益來說，其風(fēng)險(xiǎn)大小也有所不同，較高目標(biāo)收益實(shí)現(xiàn)難度較大，因此其對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)也較大。

(ZR)零風(fēng)險(xiǎn)性:如果資產(chǎn)具有與目標(biāo)收益參考點(diǎn)相等的確定性收益，那么其風(fēng)險(xiǎn)為0。

(TR)平移遞減性:結(jié)合單調(diào)性和零風(fēng)險(xiǎn)性，對(duì)于?δ≥0，有 ρ(δ，0)≤ρ(δ，δ)=0，于是 ρ(X+δ，T)≤ρ(X，T)+ ρ(δ，0)≤ρ(X，T)+ ρ(δ，δ)=ρ(X，T)，這樣平移遞減性就意味著在現(xiàn)有的資產(chǎn)中加入具有確定性非負(fù)收益的資產(chǎn)δ后，所形成的新資產(chǎn)(組合)的風(fēng)險(xiǎn)將不會(huì)增加。

(LCV)局部凸性:對(duì)于收益低于參考點(diǎn)的分布所對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)來說，其在資產(chǎn)組合中的總體水平不大于其在各項(xiàng)資產(chǎn)中的分量之和，也就是說這一部分風(fēng)險(xiǎn)可以通過分散化投資得以降低。

(LCC)局部凹性:對(duì)于收益高于參考點(diǎn)的分布所對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)來說，其在資產(chǎn)組合中的總體水平不小于其在各項(xiàng)資產(chǎn)中的分量之和，也就是說這一部分風(fēng)險(xiǎn)可以通過集中化投資得以降低。

(IC)不滅性:如果目標(biāo)收益和資產(chǎn)收益發(fā)生同向等量變化，那么資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)將不發(fā)生變化。另一種解釋是資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)不能通過投資其他無相關(guān)性資產(chǎn)得以消滅。

二、一類非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的函數(shù)形式

首先，用如下的式(1)測(cè)度資產(chǎn)X相對(duì)于單參考點(diǎn)τi的風(fēng)險(xiǎn):

其中ci(x)定義如下:

其中pi可以理解為R(X，τi)在總風(fēng)險(xiǎn)中所占的比重，由投資者的主觀風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度所決定。容易證明，式(3)所對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度是非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。

三、非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用

1.投資組合優(yōu)化模型的建立

采用式(3)測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，以投資總體風(fēng)險(xiǎn)最小化為目標(biāo)的投資組合優(yōu)化問題如下:

其中 CVaR*α和 μ*均為給定的數(shù)值。約束(5)中的條件在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaRα(X，0)是常見的一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，其含義為:在置信水平α下，若資產(chǎn)X的最大損失為 VaRα(X，0)，則 CVaRa(X，0)表示損失超過VaRα(X，0)時(shí)的平均值。問題P1采用CVaRα(X，0)對(duì)極端損失進(jìn)行控制，主要是為了滿足監(jiān)管當(dāng)局和清算機(jī)構(gòu)等行為主體的相關(guān)要求。約束(6)則對(duì)應(yīng)于投資者的最低期望收益要求。

在實(shí)際問題中，對(duì)于X的S個(gè)離散樣本x1，x2，…，xS，可以通過來近似計(jì)算 R(X，τi)，此時(shí)pici(xk)(xk-τi)。當(dāng)X由N種資產(chǎn)構(gòu)成時(shí)，記其中第n種資產(chǎn)所占比重為用來控制該種資產(chǎn)持有量。若第n種資產(chǎn)收益的第k個(gè)樣本為，問題P1的優(yōu)化目標(biāo)變?yōu)椋s束(6)則變?yōu)榇送?，根?jù)Rockafellar等人的研究，CVaRα(X，0)可以通過如下的問題P2求出:

這樣，問題P1就變?yōu)槿缦滦问?

2.實(shí)證分析

本文選擇不同地區(qū)、不同種類(股票、債券和貴金屬)的10種資產(chǎn)構(gòu)建投資組合，采用1992年3月31日至2009年9月30日的香港恒生指數(shù)、深證綜合指數(shù)、上證綜合指數(shù)、費(fèi)城金銀指數(shù)、美國30年期國債指數(shù)、道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)、納斯達(dá)克綜合指數(shù)、德國DAX指數(shù)、巴黎CAC指數(shù)以及新加坡海峽時(shí)報(bào)指數(shù)的月收益率作為10種資產(chǎn)投資收益的歷史數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于銳思金融研究數(shù)據(jù)庫(www.resset.cn)。根據(jù)上述數(shù)據(jù)的基本情況，有N=10，S=211，同時(shí)設(shè)定兩個(gè)參考點(diǎn)，即M=2。利用Matlab7.8.0軟件在不同的參數(shù)設(shè)定下對(duì)問題P3進(jìn)行求解，以考察各參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)投資組合的影響，計(jì)算結(jié)果見圖1。

圖1 不同參數(shù)設(shè)定下的最優(yōu)投資組合

對(duì)計(jì)算結(jié)果的進(jìn)一步分析如下:

1)p1減小時(shí)，最優(yōu)投資組合的分散化程度隨之降低，反之，當(dāng)p2減小(p1增大)時(shí)，投資組合的分散化程度應(yīng)該隨之增加，上述計(jì)算結(jié)果恰好反映了這一情形，是符合實(shí)際情況的。

2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，當(dāng)投資者更加偏好獲取超額收益，即c+/c-增大時(shí)，最優(yōu)投資組合的分散化程度也隨之降低，這與實(shí)際情況是相符的。

3)相對(duì)集中化的投資有利于較高目標(biāo)收益的實(shí)現(xiàn)，因此當(dāng)τ1和τ2增大時(shí)，最優(yōu)投資組合的集中化程度增加，即分散化程度降低，這一情形也在計(jì)算結(jié)果中得到了反映。

綜上，在多參考點(diǎn)的情形下，計(jì)算結(jié)果如實(shí)地體現(xiàn)了以下因素對(duì)最優(yōu)投資組合的影響:投資者對(duì)不同參考點(diǎn)對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)所持的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、對(duì)參考點(diǎn)以上收益波動(dòng)的偏好程度、參考點(diǎn)的設(shè)定。

四、結(jié)論

在已有的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度公理體系下，投資者對(duì)目標(biāo)參考點(diǎn)以上收益波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度不能得到合理反映，并且單一參考點(diǎn)的設(shè)置也不能與投資者的多層次風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度相對(duì)應(yīng)。為了彌補(bǔ)這些不足，本文提出非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，這一風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度在多參考點(diǎn)的情形下通過局部凹性和局部凸性分別描述了投資者對(duì)收益雙向波動(dòng)的不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，與此同時(shí)已有風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度公理體系中的平移不變性、零風(fēng)險(xiǎn)性等條件也被弱化，使其更符合實(shí)際情況。雖然本文從投資者的角度定義了新的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，但進(jìn)一步的分析表明其應(yīng)用并不局限于投資者，在一定條件下也適用于監(jiān)管當(dāng)局等其他行為主體。

此外，本文還給出一類非對(duì)稱一致性風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的函數(shù)形式，并以其為基礎(chǔ)構(gòu)建了投資組合優(yōu)化模型，同時(shí)結(jié)合具體數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究。投資者的多層次風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、對(duì)參考點(diǎn)以上收益波動(dòng)的偏好程度、參考點(diǎn)的設(shè)定等因素對(duì)最優(yōu)投資組合的影響在計(jì)算結(jié)果中都得到如實(shí)反映，這表明本文提出風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度和構(gòu)建的投資組合優(yōu)化模型在實(shí)踐中是合理可行的。

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